Aceleración

Na Galipedia, a Wikipedia en galego.
Este é un dos 1000 artigos que toda Wikipedia debería ter.

A aceleración é unha magnitude física vectorial que mide a variación da velocidade respecto á variación do tempo. Descrito en termos diferenciais, dada unha función da posición dun móbil respecto ó tempo, a aceleración será a segunda derivada desta función respecto á variable temporal.

No contexto da mecánica vectorial newtoniana represéntase normalmente como \vec a \, ou \mathbf a \, e o seu módulo como a \,. As súas dimensións son \scriptstyle [ L \cdot T^{-2} ]. Mídese en m/s2 no Sistema Internacional.

Na mecánica newtoniana, para un corpo con masa constante, a aceleración do corpo é proporcional á forza que actúa sobre o mesmo (segunda lei de Newton):



   \mathbf{F} =
   m \mathbf{a}
   \quad \to \quad
   \mathbf{a} =
   \cfrac{\mathbf{F}}{m}

onde F é a forza resultante que actúa sobre o corpo, m é a masa do corpo, e a é a aceleración. A relación anterior é válida en calquera sistema de referencia inercial.

Introdución[editar | editar a fonte]

En conformidade coa mecánica newtoniana, unha partícula non pode seguir unha traxectoria curva a menos que sobre ela actúe unha certa aceleración, como consecuencia da acción dunha forza, xa que se esta non existise, o seu movemento sería rectilíneo. Así mesmo, unha partícula en movemento rectilíneo só pode cambiar a súa velocidade baixo a acción dunha aceleración na mesma dirección da súa velocidade (dirixida no mesmo sentido se acelera; ou en sentido contrario se desacelera).

Algúns exemplos do concepto de aceleración serían:

  • A chamada aceleración da gravidade na Terra é a aceleración que produce a forza gravitatoria terrestre. O seu valor na superficie da Terra é, aproximadamente, de 9,8 m/s2. Isto quere dicir que se se deixara caer libremente un obxecto, aumentaría a súa velocidade de caída a razón de 9,8 m/s por cada segundo (sempre que omitamos a resistencia aerodinámica do aire). O obxecto caería, polo tanto, cada vez máis rápido, respondendo dita velocidade a ecuación:

v=at=gt=9,8\,t

  • Unha manobra de freado dun vehículo, que se correspondería cunha aceleración de signo negativo, ou desaceleración, ao opoñerse á velocidade que xa tiña o vehículo. Se o vehículo adquirise máis velocidade, dito efecto chamaríase aceleración e, neste caso, sería de signo positivo.

Aceleración media e instantánea[editar | editar a fonte]

Definición da aceleración dunha partícula nun movemento calquera. Obsérvese que a aceleración non é tanxente á traxectoria.

Cada instante, ou sexa, en cada punto da traxectoria, queda definido un vector velocidade que, en xeral, cambia tanto en módulo como en dirección ao pasar dun punto a outro da traxectoria. A dirección da velocidade cambiará debido a que a velocidade é tanxente á traxectoria e esta, polo xeral, non é rectilínea. Na Figura represéntanse os vectores velocidade correspondentes aos instantes t e tt, cando a partícula pasa polos puntos P e Q, respectivamente. O cambio vectorial na velocidade da partícula durante ese intervalo de tempo está indicado por Δv, no triángulo vectorial ao pé da figura. Defínese a aceleración media da partícula, no intervalo de tempo Δt, como o cociente:


 <\mathbf a>= \mathbf{\bar{a}}= \frac{\Delta \mathbf v}{\Delta t}

que é un vector paralelo a Δv e dependerá da duración do intervalo de tempo Δt considerado. A aceleración instantánea defínese como o límite ao que tende o cociente incremental Δvt cando Δt→0; isto é, a derivada do vector velocidade con respecto ao tempo:


\mathbf{a}= \lim_{\Delta t \to 0}\frac{\Delta \mathbf v}{\Delta t} = \frac{d \mathbf v}{dt}

Posto que a velocidade instantánea v á súa vez é a derivada do vector posición r respecto ao tempo, a aceleración é a derivada segunda da posición con respecto do tempo:


\mathbf{a} = \frac{d^2 \mathbf{r}}{dt^2}

De igual forma pódese definir a velocidade instantánea a partir da aceleración como:


\mathbf v - \mathbf{v}_0= \int_{t_0}^t \left({\mathrm{d}\mathbf{v} \over \mathrm{d}t}\right)\,\mathrm{d}t

Pódese obter a velocidade a partir da aceleración mediante integración:


\mathbf{v}= \int_0^t \mathbf{a} dt + \mathbf{v}_0

Medición da aceleración[editar | editar a fonte]

A medida da aceleración pode facerse cun sistema de adquisición de datos e un simple acelerómetro. Os acelerómetros electrónicos son fabricados para medir a aceleración nunha, dúas ou tres direccións. Contan con dous elementos condutivos, separados por un material que varia a súa condutividade en función das medidas, que á súa vez serán relativas á aceleración do conxunto.

Unidades[editar | editar a fonte]

As unidades da aceleración son:

1 m/s2
1 cm/s2 = 1 Gal

Compoñentes intrínsecos da aceleración: aceleración tanxencial e aceleración normal[editar | editar a fonte]

Compoñentes intrínsecos da aceleración.

En tanto que o vector velocidade v é tanxente á traxectoria, o vector aceleración a pode descompoñerse en dous compoñentes (chamados compoñentes intrínsecos) mutuamente perpendiculares: un compoñente tanxencial at (na dirección da tanxente á traxectoria), chamado aceleración tanxencial, e un compoñente normal an (na dirección da normal principal á traxectoria), chamado aceleración normal ou centrípeta (este último nome en razón a que sempre está dirixida cara ao centro de curvatura).

Derivando a velocidade con respecto ao tempo, tendo en conta que o vector tanxente cambia de dirección ao pasar dun punto a outro da traxectoria (isto é, non é constante) obtemos


 \mathbf{a}= \frac{d\mathbf{v}}{dt} =
\frac{d}{dt}(v \,\mathbf{\hat{e}}_t) =
\frac{dv}{dt}\mathbf{\hat{e}}_t + v \frac{d\mathbf{\hat{e}}_t}{dt} =
a_t \mathbf{\hat{e}}_t + v(\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{\hat{e}}_{\text{t}})

sendo \mathbf{\hat{e}}_t o vector unitario tanxente á traxectoria na mesma dirección que a velocidade e \boldsymbol{\omega} a velocidade angular. Resulta conveniente escribir a expresión anterior na forma


 \mathbf{a}= \frac{d\mathbf{v}}{dt} =
a_t \mathbf{\hat{e}}_t + \frac{v^2}{\rho} \mathbf{\hat{e}}_n =
a_t \mathbf{\hat{e}}_t + a_n \mathbf{\hat{e}}_{\text{n}}

sendo

\mathbf{\hat{e}}_n o vector unitario normal á traxectoria, isto é, dirixido cara ao centro de curvatura da mesma,
\rho\, o raio de curvatura da traxectoria, isto é, o raio da circunferencia osculatriz á traxectoria.

As magnitudes destes dous compoñentes da aceleración son:


 a_t = \frac{dv}{dt} \qquad\qquad\qquad a_n=\frac{v^2}{\rho}

Cada un destes dous compoñentes da aceleración ten un significado físico ben definido. Cando unha partícula se move, a súa velocidade pode cambiar e este cambio mídeo a aceleración tanxencial. Pero se a traxectoria é curva tamén cambia a dirección da velocidade e este cambio mídeo a aceleración normal.

  • Se no movemento curvilíneo a velocidade é constante (v=cte), a aceleración tanxencial será nula, pero haberá unha certa aceleración normal, de modo que nun movemento curvilíneo sempre haberá aceleración.
  • Se o movemento é circular, entón o raio de curvatura é o raio R da circunferencia e a aceleración normal escríbese como an = v2/R.
  • Se a traxectoria é rectilínea, entón o raio de curvatura é infinito (ρ→∞) de modo que an=0 (non hai cambio na dirección da velocidade) e a aceleración tanxencial at será nula ou non segundo a velocidade sexa ou non constante.

Os vectores que aparecen nas expresións anteriores son os vectores do triedro de Frênet que aparece na xeometría diferencial de curvas do seguinte xeito:

\mathbf{\hat{e}}_t é o vector unitario tanxente á curva.
\mathbf{\hat{e}}_n é o vector unitario normal á curva.
\boldsymbol{\omega} é o vector velocidade angular que é paralelo ao vector binormal á curva.

Movemento circular uniforme[editar | editar a fonte]

Cinemática do movemento circular.
Artigo principal: Movemento circular uniforme.

Un movemento circular uniforme é aquel no que a partícula percorre unha traxectoria circular de raio R con velocidade constante, é dicir, que a distancia percorrida en cada intervalo de tempo igual é a mesma. Para ese tipo de movemento o vector de velocidade mantén o seu módulo e vai variando a dirección seguindo unha traxectoria circular. Se se aplican as fórmulas anteriores, tense que a aceleración tanxencial é nula e a aceleración normal é constante: esta aceleración normal chámase "aceleración centrípeta". Neste tipo de movemento a aceleración simplemente modifica a traxectoria do obxecto e non a súa velocidade.


 \mathbf{a}= \frac{d\mathbf{v}}{dt} =
\frac{dv}{dt}\mathbf{\hat{e}}_t + \frac{v^2}{R} \mathbf{\hat{e}}_n = 0 \cdot \mathbf{\hat{e}}_t + \frac{v^2}{R} \hat{\mathbf{e}}_n = \omega^2 R \ \hat{\mathbf{e}}_n

Movemento rectilíneo acelerado[editar | editar a fonte]

No Movemento Rectilíneo Acelerado, a aceleración instantánea queda representada como a pendente da recta tanxente á curva que representa graficamente a función v(t).

Se se aplican as fórmulas anteriores ao movemento rectilíneo, no que só existe aceleración tanxencial, ao estar todos os vectores contidos na traxectoria, podemos prescindir da notación vectorial e escribir simplemente:


 a= \frac{dv}{dt}

Xa que nese tipo de movemento os vectores \scriptstyle \mathbf{a} e \scriptstyle \mathbf{v} son paralelos, satisfacendo tamén a relación:


v(t) = v_0 + \int_0^t a(\tau)\ d\tau

As coordenadas de posición veñen dada neste caso por:


x(t) = x_0 + v_0t + \int_0^t (t-\tau)a(\tau)\ d\tau

Un caso particular de movemento rectilíneo acelerado é o movemento rectilíneo uniformemente acelerado, onde a aceleración é ademais constante e polo tanto, a velocidade e as coordenadas de posición veñen dadas por:


v(t) = v_0 + at, \qquad x(t) = x_0 + v_0 t + \frac{at^2}{2}

Aceleración en mecánica relativista[editar | editar a fonte]

Artigo principal: Cuadriaceleración.

O análogo da aceleración en mecánica relativista chámase cuadriaceleración e é un cuadrivector cuns tres compoñentes espaciais que para pequenas velocidades coinciden cos da aceleración newtoniana (o compoñente temporal para pequenas velocidades resulta proporcional á potencia da forza divida pola velocidade da luz e a masa da partícula).

En mecánica relativista a cuadrivelocidade e a cuadriaceleración son sempre ortogonais, iso vén de que a cuadrivelocidade ten un (pseudo)módulo constante:


\mathbf{U}\cdot \mathbf{U} = c^2\ \Rightarrow\ 
2\mathbf{U}\cdot \frac{d \mathbf{U}}{d\tau} = 0\ \Rightarrow\ 
2\mathbf{U}\cdot \mathbf{A} = 0

onde c é a velocidade da luz e o produto anterior é o produto asociado á métrica de Minkowski:


V\cdot W := \eta(V,W) = \eta_{\mu\nu}V^\mu V^\nu

Véxase tamén[editar | editar a fonte]

Bibliografía[editar | editar a fonte]

Ligazóns externas[editar | editar a fonte]