Distribución normal

Normal

Función de densidade As catro distribucións do gráfico son normales, con distintos valores da media e o desvío típico. A verde é a "normal reducida", de media cero e desvío típico un
Función de distribución As cores son as mesmas do pdf de arriba
Parámetros	$\mu$ localización (real) $\sigma^2>0$ cadrado escala (real)
Soporte	$x \in (-\infty;+\infty)\!$
pdf	$\frac1{\sigma\sqrt{2\pi}}\; \exp\left(-\frac{\left(x-\mu\right)^2}{2\sigma^2} \right) \!$
cdf	$\frac12 \left(1 + \mathrm{erf}\,\frac{x-\mu}{\sigma\sqrt2}\right) \!$
Media	$\mu$
Mediana	$\mu$
Moda	$\mu$
Varianza	$\sigma^2$
Asimetría	0
Curtose	0
Entropía	$\ln\left(\sigma\sqrt{2\,\pi\,e}\right)\!$
mgf	$M_X(t)= \exp\left(\mu\,t+\frac{\sigma^2 t^2}{2}\right)$
Func. caract.	$\phi_X(t)=\exp\left(\mu\,i\,t-\frac{\sigma^2 t^2}{2}\right)$

A distribución normal ou gaussiana é a distribución de probabilidade que con máis frecuencia aparece na estatística e teoría de probabilidades. Isto débese a dúas razóns fundamentalmente:

1. A súa función de densidade é simétrica e con forma de campana, o que favorece a súa aplicación como modelo a gran número de variables estatísticas.
2. É ademais límite de outras distribucións e aparece relacionada con multitude de resultados ligados á teoría das probabilidades grazas ás súas propiedades matemáticas.

A función de densidade está dada por:

$P(x) = {1 \over \sigma\sqrt{2\pi}} e^{-(x-\mu)^2 / 2\sigma^2}$

onde $\mu$ é a media e $\sigma$ é a desvío estándar ($\sigma^2$ é a varianza).

A distribución normal, tamén chamada distribución Gaussiana, é unha moi importante distribución de probabilidade en moitos campos. É unha familia de distribucións coa mesma forma xeral, diferenciándose nos seus parámetros de localización e escala: a media ("valor esperado") e a desvío estándar ("variabilidade"), respectivamente. A distribución normal estándar é a distribución normal con media cero e desvío estándar un (as liñas verdes nos gráficos da dereita). A miúdo chámaselle curva de campá xa que a gráfica da súa densidade de probabilidade semella unha campá.

Resumo

A distribución normal é un modelo conveniente en fenómenos da natureza e en ciencias do comportamento. Unha grande variedade de test psicolóxicos e fenómenos físicos como a contaxe de fotóns seguen unha distribución normal. Mentres non se coñecen as causas de estes fenómenos, o uso da distribución normal pode xustificarse teoricamente en situacións nas que moitos pequenos efectos son engadidos a unha variable que pode ser observada. A distribución normal tamén aparece en moitas áreas da estatística: por exemplo, a distribución mostral da media é aproximadamente normal, ainda que a distribución da poboación da mostra non sexa normal. A distribución normal maximiza a entropía da información entre tódalas distribucións con media e varianza coñecida, o cal a fai a escolla natural de distribución de datos resumidos en termos de media e varianza. A distribución normal é a familia máis usada de distribución en estatística, e moitos test estatísticos están baseados na suposición de normalidade. Na teoría da probabilidade, as distribucións normais aparecen como as distribucións límite de varias familias de distribución continuas e discretas.

Historia

A distribución normal foi introducida por primeira vez por de Moivre nun artigo no 1733 (reimpreso na segunda edición do seu The Doctrine of Chances, 1738) no contexto de aproximar certas distribucións binomiais para un n grande. O seu resultado foi ampliado por Laplace no seu libro Analytical Theory of Probabilities (1812), e agora chámase Teorema de Moivre-Laplace.

Laplace usou a distribución normal na análise de erros nos experimentos. O método dos mínimos cadrados foi introducido por Legendre en 1805. Gauss, que reclamaba ter usado o método dende o 1794, xustificouno rigorosamente no 1809 asumindo unha distribución normal dos erros.

O nome "curva de campá" remóntase a Jouffret que usou o termo "curva de campá" no 1872 para unha distribución normal bivariable con compoñentes independentes. O nome "distribución normal" foi acuñado independentemente por Charles S. Peirce, Francis Galton e Wilhelm Lexis arredor do ano 1875. Esta terminoloxía e desafortunada, xa que reflexa e incremente a falacia de que moitas out todas as distribucións de probabilidade son "normais".

A cuestión de que a distribución se chame normal ou Gaussiana é un tema da ley de Stigler:

"Ningún descubrimento científico recibe o nome despois do seu descubridor orixinal."

Especificacións da distribución normal

Existen varias formas de especificar unha variable aleatoria. A máis visual é a función de densidade de probabilidade (gráfica superior), que representa a probabilidade de cada valor da variable aleatoria. A función de densidade acumulativa (función de distribución, integral da función de densidade de probabilidade), é unha forma máis clara conceptualmente de especificar a mesma información, pero para un ollo non adestrado a gráfica é moito menos informativa. Formas equivalentes de especificar a distribución normal son: os momentos, a función característica, a función xeradora de momentos. Algúns son útiles para o traballo teórico, pero non son intuitivos.

Función densidade de probabilidade

Función densidade de probabilidade para catro conxuntos diferentes de parámetros (a liña verde é a normal estándar)

A función de densidade de probabilidade da distribución normal con media $\mu$ e varianza $\sigma^2$ (equivalentemente, desvío estándar $\sigma$) é un exemplo de unha función Gaussiana,

$f(x;\mu,\sigma) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} \, \exp \left( -\frac{(x- \mu)^2}{2\sigma^2} \right).$

(Véxase tamén función exponencial e pi.)

se unha variable aleatoria $X$ ten esta distribución, escribimos $X$ ~ $N(\mu, \sigma^2)$. Se $\mu = 0$ e $\sigma = 1$, a distribución chámase distribución normal estándar e a función de densidade de probabilidade redúcese a

$f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \, \exp\left(-\frac{x^2}{2} \right).$

A imaxe da dereita mostra a gráfica de unha función de densidade de probabilidade de unha distribución normal con varios conxuntos de parámetros.

Algunhas calidades importantes da distribución normal son:

• A función de densidade é simétrica respecto á media.
• A media tamén é a moda e a mediana.
• 68.27% da área baixo a curva está dentro do rango de unha desvío estándar respecto á media.
• 95.45% da área baixo a curva está dentro do rango de dous desvíos estándar respecto á media.
• 99.73% da área está dentro do rango de tres desvíos estándar.
• O punto de inflexión da curva ocorre a un desvío estándar de distancia respecto á media..

Función de distribución

Función de distribución da función de densidade do gráfico superior

A función de distribución (cumulative distribution function, cdf) defínese como a probabilidade de que a variable $X$ teña un valor menor ou iguala $x$, e é expresado en termos de función de densidade como

$F(x;\mu,\sigma) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^x \exp -\frac{(u - \mu)^2}{2\sigma^2} \, du .$

A cdf da normal estándar, representada normalmente como $\Phi$, é a cdf xeral avaliada con $\mu=0$ e $\sigma=1$,

$\Phi(z) =F(x;0,1)= \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^z \exp\left(-\frac{x^2}{2}\right) \, dx .$

A cdf da normal estándar pode expresarse en termos de unha función especial chamada función error, como

$\Phi(z) = \frac{1}{2} \left[ 1 + \operatorname{erf} \left( \frac{z}{\sqrt{2}} \right) \right] .$

A función de distribución inversa, pode expresarse en termos da función inversa de error:

$\Phi^{-1}(p) = \sqrt2 \; \operatorname{erf}^{-1} \left(2p - 1 \right) .$

Esta función chámase as veces función probit.

Os valores de Φ(x) poden aproximarse bastante mediante varios métodos, como integración numérica, series de Taylor ou series asintóticas.

Funcións xeradoras

Función xeradora de momentos

A función xeradora de momentos defínese como o valor esperado de $\exp(tX)$. Para unha distribución normal, pódese ver que a función xeradora de momentos é

$M_X(t)\,$	$= \mathrm{E} \left[ \exp(tX) \right]$
	$= \int_{-\infty}^{\infty} \frac {1} {\sigma \sqrt{2\pi} } \exp \left( -\frac{(x - \mu)^2}{2 \sigma^2} \right) \exp (tx) \, dx$
	$= \exp \left( \mu t + \sigma^2 \frac{t^2}{2} \right)$

como pode verse completando o cadrado no expoñente.

Función característica

A función característica defínese como o valor esperado de $\exp (i t X)$, onde $i$ é a unidade imaxinaria e $i = \sqrt{-1}$. Para a distribución normal, a función característica é

$\phi_X(t;\mu,\sigma)\!$	$= \mathrm{E} \left[ \exp(i t X) \right]$
	$= \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} \exp \left(- \frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2} \right) \exp(i t x) \, dx$
	$= \exp \left( i \mu t - \frac{\sigma^2 t^2}{2} \right) .$

A función característica obtense substituindo $t$ por $i t$ na función xeradora de momentos.

Propiedades

Algunhas das propiedades da distribución normal son:

1. Se $X \sim N(\mu, \sigma^2)$ e $a$ e $b$ son numreos rales, entón $a X + b \sim N(a \mu + b, (a \sigma)^2)$ (véxase valor esperado e varianza).
2. Se $X \sim N(\mu_X, \sigma^2_X)$ e $Y \sim N(\mu_Y, \sigma^2_Y)$ son variables aleatorias normales e independentes entón:
   • A súa suma é normalmente distribuída con $U = X + Y \sim N(\mu_X + \mu_Y, \sigma^2_X + \sigma^2_Y)$.
   • A súa diferenza é normalmente distribuída con $V = X - Y \sim N(\mu_X - \mu_Y, \sigma^2_X + \sigma^2_Y)$.
   • Ambas $U$ e $V$ son independentes unha da outra.
3. Se $X \sim N(0, \sigma^2_X)$ e $Y \sim N(0, \sigma^2_Y)$ son variables aleatorias normales e independentes, entón:
   • O seu produto $X Y$ segue unha distribución con densidade $p$ dada por #*:$p(z) = \frac{1}{\pi\,\sigma_X\,\sigma_Y} \; K_0\left(\frac{|z|}{\sigma_X\,\sigma_Y}\right),$ onde $K_0$ é unha Función de Bessel modificada.
   • O seu ratio segue unha distribución de Cauchy con $X/Y \sim \mathrm{Cauchy}(0, \sigma_X/\sigma_Y)$.
4. Se $X_1, \cdots, X_n$ son variables independentes estándar e normales, entón $X_1^2 + \cdots + X_n^2$ segue unha distribución chi-cuadrada con n graos de liberdade.

Estandarización de variables aleatorias normales

Como consecuencia da Propiedade 1, é posible relacionar tódalas variables aleatorias normales coa normal estándar.

Se $X$ ~ $N(\mu, \sigma^2)$, entón

$Z = \frac{X - \mu}{\sigma} \!$

é unha variable aleatoria normal estándar: $Z$ ~ $N(0,1)$. Unha concecuencia importante é que a función de distribución (cdf) dunha distribución xeral normal é entón

$\Pr(X \le x) = \Phi \left( \frac{x-\mu}{\sigma} \right) = \frac{1}{2} \left( 1 + \operatorname{erf} \left( \frac{x-\mu}{\sigma\sqrt{2}} \right) \right) .$

Igualmente, se $Z$ ~ $N(0,1)$, entón

$X = \sigma Z + \mu$

é unha variable aleatoria normal con media $\mu$ e varianza $\sigma^2$.

A distribución estándar normal está tabulada, e as outras distribucións normales son simples transformacións da estándar. Polo tanto, pódense utilizar valores tabulados da función de distribución da normal estándar para atopar os valores da función de distribución dunha normal xeral.

Momentos

Algúns dos primeiros momentos da distribución normal son:

Número	Raw moment	Momento central	Cumulant
0	1	0
1	$\mu$	0	$\mu$
2	$\mu^2 + \sigma^2$	$\sigma^2$	$\sigma^2$
3	$\mu^3 + 3\mu\sigma^2$	0	0
4	$\mu^4 + 6 \mu^2 \sigma^2 + 3 \sigma^4$	$3 \sigma^4$	0

Tódolos cumulants da distribución normal despois do segundo son cero.

Véxase tamén

• Campana de Gauss
• Distribución lognormal

Notas

• John Aldrich. Earliest Uses of Symbols in Probability and Statistics. Electronic document, retrieved March 20, 2005. (See "Symbols associated with the Normal Distribution".)
• Abraham de Moivre (1738). The Doctrine of Chances.
• Stephen Jay Gould (1981). The Mismeasure of Man. First edition. W. W. Norton. ISBN 0-393-01489-4.
• R. J. Herrnstein and Charles Murray (1994). The Bell Curve: Intelligence and Class Structure in American Life. Free Press. ISBN 0-02-914673-9.
• Pierre-Simon Laplace (1812). Analytical Theory of Probabilities.
• Jeff Miller et al. Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics. In particular, the entries for "normal" (distribution) by John Aldrich, "Gaussian", and "Error, law of error, theory of errors, etc.". Electronic documents, retrieved March 20, 2005.
• S. M. Stigler (1999). Statistics on the Table, chapter 22. Harvard University Press. (History of the term "normal distribution".)
• Eric W. Weisstein et al. Normal Distribution at MathWorld. Electronic document, retrieved March 20, 2005.
• Marvin Zelen and Norman C. Severo (1964). Probability Functions. Chapter 26 of Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, ed, by Milton Abramowitz and Irene A. Stegun. National Bureau of Standards.

Ligazóns externas

• basic tools for sixsigma
• PlanetMath: normal random variable
• GNU Scientific Library – Reference Manual – The Gaussian Distribution
• Distribution Calculator – Calculates probabilities and critical values for normal, t, chi-square and F-distribution.
• Public Domain Normal Distribution Table
• Is normal distribution due to Karl Gauss? Euler, his family of gamma functions, and place in history of statistics
• Maxwell demons: Simulating probability distributions with functions of propositional calculus