Distribución de probabilidade

Para outras páxinas con títulos homónimos véxase: Distribución.

A distribución normal adoita coñecerse como a "campá de Gauss".

En teoría da probabilidade e estatística, a distribución de probabilidade dunha variable aleatoria é unha función que asigna a cada suceso definido sobre a variable aleatoria a probabilidade de que ese suceso ocorra. A distribución de probabilidade está definida sobre o conxunto de todos os sucesos; cada un dos sucesos é o rango de valores da variable aleatoria.

A distribución de probabilidade está completamente especificada pola función de distribución, que a cada x real asigna a probabilidade de que a variable aleatoria sexa menor ou igual que x.

Definición de función de distribución

Artigo principal: Función de distribución.

Dada unha variable aleatoria $\scriptstyle X$, a súa función de distribución, $\scriptstyle F_{X}(x)$, é

$F_{X}(x)=\mathrm {Prob} (X\leq x)=\mu _{P}\{\omega \in \Omega |X(\omega )\leq x\}$

Por simplicidade, cando non hai lugar a confusión, adoita omitirse o subíndice $\scriptstyle X$ e escríbese, simplemente, $\scriptstyle F(x)$. Onde na fórmula anterior:

$\mathrm {Prob} \,$, é a probabilidade definida sobre un espazo de probabilidade e unha medida unitaria sobre o espazo da mostra.

$\mu _{P}\,$ é a medida sobre a σ-álxebra de conxuntos asociada ao espazo de probabilidade.

$\Omega \,$ é o espazo da mostra, o conxunto de todos os posibles sucesos aleatorios, sobre o que se define o espazo de probabilidade en cuestión.

$X:\Omega \to \mathbb {R}$ é a variable aleatoria en cuestión, é dicir, unha función definida sobre o espazo da mostra nos números reais.

Propiedades

Como consecuencia case inmediata da definición, a función de distribución:

• é unha función continua pola dereita.
• é unha función monótona non decrecente.

Ademais, cumpre

$\lim _{x\to -\infty }F(x)=0,\qquad \lim _{x\to +\infty }F(x)=1$

Para dous números reais calquera $a$ e $b$ tales que $(a<b)$, os sucesos $(X\leq a)$ e $(a<X\leq b)$ son mutuamente excluíntes e a súa unión é o suceso $(X\leq b)$, polo que temos entón que:

$P(X\leq b)=P(X\leq a)+P(a<X\leq b)$

$P(a<X\leq b)=P(X\leq b)-P(X\leq a)$

e finalmente

$P(a<X\leq b)=F(b)-F(a)$

Polo tanto unha vez coñecida a función de distribución $F(x)$ para todos os valores da variable aleatoria $x$ coñeceremos completamente a distribución de probabilidade da variable.

Para realizar cálculos é máis cómodo coñecer a distribución de probabilidade, e polo contrario para ver unha representación gráfica da probabilidade é máis práctico o uso da función de densidade.

Distribucións de variable discreta

Gráfica da distribución binomial.

Denomínase distribución de variable discreta aquela que ten unha función de probabilidade que só toma valores positivos nun conxunto de valores de $X$ finito ou infinito numerable. Esta función chámase función de masa de probabilidade. Neste caso a distribución de probabilidade é a suma da función de masa, polo que temos entón que:

$F(x)=P(X\leq x)=\sum _{k=-\infty }^{x}f(k)$

e, tal como corresponde á definición de distribución de probabilidade, esta expresión representa a suma de todas as probabilidades dende $-\infty$ ata o valor $x$.

Distribucións de variable continua

Distribución normal.

Denomínase variable continua aquela que pode tomar calquera dos infinitos valores existentes dentro dun intervalo. No caso da variable continua a distribución de probabilidade é a integral da función de densidade, polo que temos entón que:

$F(x)=P(X\leq x)=\int _{-\infty }^{x}f(t)\,dt$

Véxase tamén

Outros artigos

• Función de densidade