Mediana (cálculo)

Na Galipedia, a Wikipedia en galego.

Na estatística, a mediana é unha medida de posición que representa o valor central da variable nun conxunto de datos ordenados.

Cálculo[editar | editar a fonte]

Existen dous métodos para o cálculo da mediana, considerando os datos en forma individual, sen agrupalos ou empregando o datos agrupados en intervalos de clase.

Datos sen agrupar[editar | editar a fonte]

Sexan x_1,x_2,x_3,\ldots,x_n os datos dunha mostra ordenada en orde creciente e designando a mediana como M_e, distínguense dous casos:

  • Se n é impar, a mediana é o valor que ocupa a posición (n+1)/2 porque este é o valor central. É dicir: M_e=x_{(n+1)/2}.

Por exemplo, se temos cinco datos que ordenados son x_1 = 3, x_2 = 6, x_3 = 7, x_4 = 8, x_5 = 9, o valor central é o terceiro, x_{(5+1)/2} = x_3 = 7. Este valor deixa dous datos por baixo del (x_1, x_2) e outros dous por riba (x_4, x_5).

  • Se n é par, a mediana é a media aritmética dos dous valores centrais. Cando n é par, os dous datos que están no centro da mostral ocupan as posicións n/2 e n/2+1. É dicir: M_e = (x_{\frac{n}{2}} + x_{{\frac{n}{2}}+1})/2.

Por exemplo, se temos seis datos que ordenados son x_1 = 3, x_2 = 6, x_3 = 7, x_4 = 8, x_5 = 9, x_6 = 10 => Hai dous valores que están por baixo do x_{\frac {6} {2}} = x_3 = 7 e outros dous que quedan por riba do seguinte dato x_{{\frac {6} {2}}+1} = x_4 = 8. Polo tanto, a mediana deste grupo de datos é a media aritmética destes dous datos: M_e = \frac {x_3 + x_4}{2} = \frac {7 + 8} {2}=7,5.

Datos agrupados[editar | editar a fonte]

Ao tratar con datos agrupados, se  {{\frac {n} {2}}} coincide co valor dunha frecuencia acumulada o valor da mediana coincidirá coa abscisa correspondente. Se non coincide co valor de ningunha abscisa calcúlase a través da semellanza de triángulos no histograma ou no polígono de frecuencias acumuladas, utilizando a seguinte equivalencia:

\frac{N_i-N_{i-1} }{a_i-a_{i-1} }=\frac{\frac{n}{2}-N_{i-1} }{p}\Rightarrow p=\frac{\frac{n}{2}-N_{i-1} }{N_i-N_{i-1} }(a_i-a_{i-1})

onde N_{i} y N_{i-1} son as frecuencias absolutas acumuladas tales que N_{i-1} < {{\frac {n} {2}}} < N_{i}, a_{i-1} y a_{i} son os extremos, interior e exterior, do intervalo onde se alcanza a mediana e M_e=a_{i-1}+p é a abscisa que hai que calcular, a mediana. Obsérvase que a_{i} - a_{i-1} é a lonxitude dos intervalos seleccionados para o diagrama.

Exemplo para datos agrupados[editar | editar a fonte]

Entre 1.50 e 1.60 hai 2 estudantes.
Entre 1.60 e 1.70 hai 5 estudantes.
Entre 1.70 e 1.80 hai 3 estudantes.

Mediana= 1.60 + \left( \frac{(10/2)-2}{5} \right)0.1=1.66

Método de cálculo xeral[editar | editar a fonte]

xi fi Ni
[x11-x12]
f1
N1
.
.
.
.
.
.
.
.
N(i-2)
[x(i-1)1-x(i-1)2]
f(i-1)
f(i-1)-N(i-2)=N(i-1)
[xi1-xi2]
fi
fi-Ni-1=Ni
[x(i+1)1-x(i+2)2]
f(i+1)
f(i+1)-Ni=N(i+1)
.
.
.
.
.
.
.
.
.
[xM1-xM2]
fM
fM-N(M-1)=NM

Entón:

Mediana= x_{i1} + \left( \cfrac{(N_M/2)-N_{i-1}}{f_i} \right).(x_{i2}-x_{i1})

Véxase tamén[editar | editar a fonte]

Outros artigos[editar | editar a fonte]

Ligazóns externas[editar | editar a fonte]