Distribución lognormal

Log-normal

Función de densidade μ=0
Función de distribución μ=0
Parámetros	$s \ge 0$ $-\infty \le \mu \le \infty$
Soporte	$x \in [0; +\infty)\!$
pdf	$\frac{e^{-[\frac{\ln(x)-\mu}{\sigma}]^2/2]}}{x\sigma \sqrt{2\pi}}$
cdf	$\frac{1}{2}+\frac{1}{2} \mathrm{Erf}\left[\frac{\ln(x)-\mu}{\sigma\sqrt{2}}\right]$
Media	$e^{\mu+\sigma^2/2}$
Mediana	$e^{\mu}$
Moda	$e^{\mu-\sigma^2}$
Varianza	$(e^{\sigma^2}\!\!-1) e^{2\mu+\sigma^2}$
Asimetría	$e^{-\mu-\sigma^2/2}(e^{\sigma^2}\!\!+2)\sqrt{e^{\sigma^2}\!\!-1}$
Curtose	$e^{4\sigma^2}\!\!+2e^{3\sigma^2}\!\!+3e^{2\sigma^2}\!\!-6$
Entropía	$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\ln(2\pi\sigma^2)$
mgf	(ver no texto os momentos)
Func. caract.

En probabilidade e estatísticas, a distribución log-normal é a distribución de probabilidade de calquera variable aleatoria con seu logaritmo normalmente distribuído (a base da función logarítmica non é importante xa que se log_a X está distribuída normalmente si e solo si log_b X está distribuída normalmente). Se X é unha variable aleatoria cunha distribución normal, entón exp(X) ten unha distribución log-normal.

"Log-normal" tamén se escribe "log normal" ou "lognormal".

Unha variable pode ser modelada como log-normal se pode ser considerada como o produto multiplicativo de moitos pequenos factores independentes. Un exemplo típico é o retorno a longo prazo de unha inversión nunha acción: pódese considerar como o produto dos retornos diarios.

A distribución log-normal ten a función densidade de probabilidade

$f(x;\mu,\sigma) = \frac{1}{x \sigma \sqrt{2 \pi}} e^{-(\ln x - \mu)^2/2\sigma^2}$

para $x>0$, onde $\mu$ e $\sigma$ son a media e o desvío estándar do logaritmo da variable. O valor esperado é

$\mathrm{E}(X) = e^{\mu + \sigma^2/2}$

e a varianza é

$\mathrm{var}(X) = (e^{\sigma^2} - 1) e^{2\mu + \sigma^2}$.

Relación coa media e o desvío estándar xeométrico

A distribución log-normal, a media xeométrica, e o desvío estándar xeométrico están relacionadas. Neste caso, a media xeométrica é igual a $\exp(\mu)$ e o desvío estándar xeométrico é igual a$\exp(\sigma)$.

Se unha mostra de datos determínase que proven dunha poboación distribuída seguindo unha log-normal, a media xeométrica e o desvío estándar xeométrico pódense utilizar para estimar os intervalos de confianza tal como a media aritmética e o desvío estándar se usan para estimar os intervalos de confianza para un dato distribuído normalmente.

Límite do intervalo de confianza	espazo log	xeométrica
3σ límite inferior	$\mu - 3\sigma$	$\mu_\mathrm{geo} / \sigma_\mathrm{geo}^3$
2σ límite inferior	$\mu - 2\sigma$	$\mu_\mathrm{geo} / \sigma_\mathrm{geo}^2$
1σ límite inferior	$\mu - \sigma$	$\mu_\mathrm{geo} / \sigma_\mathrm{geo}$
1σ límite superior	$\mu + \sigma$	$\mu_\mathrm{geo} \sigma_\mathrm{geo}$
2σ límite superior	$\mu + 2\sigma$	$\mu_\mathrm{geo} \sigma_\mathrm{geo}^2$
3σ límite superior	$\mu + 3\sigma$	$\mu_\mathrm{geo} \sigma_\mathrm{geo}^3$

Onde a media xeométrica $\mu_\mathrm{geo} = \exp(\mu)$ e o desvío estándar xeométrico $\sigma_\mathrm{geo} = \exp(\sigma)$

Momentos

Os primeiros momentos son:

$\mu_1=e^{\mu+\sigma^2/2}$

$\mu_2=e^{2\mu+4\sigma^2/2}$

$\mu_3=e^{3\mu+9\sigma^2/2}$

$\mu_4=e^{4\mu+16\sigma^2/2}$

ou de forma xeral:

$\mu_k=e^{k\mu+k^2\sigma^2/2}.$

Estimación de parámetros Maximum likelihood

Para determina-los estimadores que máis aproximan os parámetros μ e σ da distribución log-normal, podemos utilizar o mesmo procedemento que para a distribución normal. Para non repetilo, obsérvese que

$f_L (x;\mu, \sigma) = \frac 1 x \, f_N (\ln x; \mu, \sigma)$

onde por $f_L (\cdot)$ denotamos a función de densidade de probabilidade da distribución log-normal, e por $f_N (\cdot)$— a da distribución normal. Polo tanto, utilizando os memos índices para denotar as distribucións, podemos escribir que

$\begin{matrix} \ell_L (x_1, x_2, ..., x_n; \mu, \sigma) & = & - \sum _k \ln x_k + \ell_N (\ln x_1, \ln x_2, ..., \ln x_n; \mu, \sigma) = \\ \ & = & \operatorname {const} (\mu, \sigma) + \ell_N (\ln x_1, \ln x_2, ..., \ln x_n; \mu, \sigma). \end{matrix}$

Xa que o primeiro termo é constante respecto a μ e σ, ambas funcións logarítmicas, $\ell_L$ e $\ell_N$, obteñen o seu máximo co mesmo μ e σ. Por tanto, utilizando as fórmulas para os estimadores dos parámetros da distribución normal, e a inigualdade de arriba, deducimos que para a distribución log-normal cúmplese

$\widehat \mu = \frac {\sum_k \ln x_k} n, \ \widehat \sigma^2 = \frac {\sum_k {\left( \ln x_k - \widehat \mu \right)^2}} n.$

Distribución relacionadas

• $Y \sim N(\mu, \sigma^2)$ é unha distribución normal se $Y = \ln(X)$ e $X \sim \operatorname{Log-N}(\mu, \sigma^2)$.
• Se $X_m \sim \operatorname {Log-N} (\mu, \sigma_m^2), \ m = \overline {1 ... N}$ son variables independentes log-normalmente distribuidas co mesmo parámetro μ e permitindo que varie σ, e $Y = \prod_{m=1}^N X_m$, entón Y é unha variable distribuida log-normalmente como: $Y \sim \operatorname {Log-N} \left( \mu, \sum _m \sigma_m^2 \right)$.

Véxase tamén

• Media xeométrica
• Desvío estándar xeométrico
• Función error