Grupo simétrico

En álxebra abstracta, o grupo simétrico definido sobre calquera conxunto é o grupo cuxos elementos son todas as bixeccións do conxunto en si mesmo, e cuxa operación de grupo é a composición de funcións. En particular, o grupo simétrico finito $\mathrm {S} _{n}$ definido sobre un conxunto finito de $n$ símbolos consiste nas permutacións que se poden realizar sobre $n$ símbolos.^[1] Xa que hai un número de $n!$ ( $n$ factorial) de operacións de permutación, a orde (número de elementos) do grupo simétrico $\mathrm {S} _{n}$ é $n!$ .

Aínda que os grupos simétricos poden definirse en conxuntos infinitos, este artigo céntrase nos grupos simétricos finitos: as súas aplicacións, os seus elementos, as súas clases de conxugación, unha presentación finita, os seus subgrupos, os seus grupos de automorfismos e a súa teoría da representación. Para o resto deste artigo, "grupo simétrico" significará un grupo simétrico nun conxunto finito.

O teorema de Cayley estabelece que todo grupo é isomorfo a un subgrupo do grupo simétrico. Se o grupo é finito e ten orde $n$ , daquela é isomorfo a un subgrupo de $S_{n}$ .

Definición e primeiras propiedades

O grupo simétrico nun conxunto finito $X$ é o grupo cuxos elementos son todas as funcións bixectivas de $X$ a $X$ e cuxa operación de grupo é a da composición de funcións.^[1] Para conxuntos finitos, "permutacións" e "funcións bixectivas" refírense á mesma operación, é dicir, a reordenación. O grupo simétrico de grao $n$ é o grupo simétrico do conxunto $X=\{1,2,\ldots ,n\}$ .

O grupo simétrico nun conxunto $X$ denótase de varias maneiras, incluíndo $\mathrm {S} _{X}$ , ${\mathfrak {S}}_{X}$ , $\Sigma _{X}$ , $X!$ , e $\operatorname {Sym} (X)$ .^[1] Se $X$ é o conxunto $\{1,2,\ldots ,n\}$ daquela o nome pódese abreviar a $\mathrm {S} _{n}$ , ${\mathfrak {S}}_{n}$ , $\Sigma _{n}$ , ou $\operatorname {Sym} (n)$ .^[1]

Os grupos simétricos en conxuntos infinitos compórtanse de forma bastante diferente dos grupos simétricos en conxuntos finitos, e son discutidos en (Scott 1987), (Dixon & Mortimer 1996) e (Cameron 1999).

O grupo simétrico nun conxunto de $n$ elementos ten orde $n!$ (o factorial de $n$ ).^[2] É abeliano se e só se $n$ é menor ou igual a 2.^[3] Para $n=0$ e $n=1$ (o conxunto baleiro e o conxunto unitario), os grupos simétricos son triviais (teñen orde $0!=1!=1$ ). O grupo S_n é resolúbel se e só se $n\leq 4$ . Esta é unha parte esencial da demostración do teorema de Abel-Ruffini que demostra que para cada $n>4$ hai polinomios de grao $n$ que non son resolúbeis por radicais.

Propiedades do grupo e elementos especiais

Os elementos do grupo simétrico dun conxunto X son as permutacións de X.

Composición

A operación de grupo nun grupo simétrico é a composición de funcións, denotada polo símbolo ∘ ou simplemente escribindo seguidas as permutacións (como unha multipliación). A composición f ∘ g das permutacións f e g, pronunciada "f de g", asigna calquera elemento x de X a f (g(x)). Concretamente, sexa (ver permutación para unha explicación da notación):

f=(1\ 3)(2)(4\ 5)={\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\3&2&1&5&4\end{pmatrix}}

g=(1\ 2\ 5)(3\ 4)={\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\2&5&4&3&1\end{pmatrix}}.

Ao aplicar f despois de g asigna 1 primeiro a 2 e despois 2 a si mesmo; 2 a 5 e despois a 4; 3 a 4 e despois a 5, etc. Logo, compoñendo f e g temos

fg=f\circ g=(1\ 2\ 4)(3\ 5)={\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\2&4&5&1&3\end{pmatrix}}.

Un ciclo de lonxitude L = k · m, tomado á potencia k-ésima, descompoñerase en k ciclos de lonxitude m: Por exemplo, ( k = 2, m = 3),

(1~2~3~4~5~6)^{2}=(1~3~5)(2~4~6).

Verificación de axiomas de grupo

Para comprobar que o grupo simétrico dun conxunto X é realmente un grupo, é necesario verificar os axiomas de grupo de pechamento, asociatividade, identidade e inversos.^[4]

A operación de composición de funcións está pechada no conxunto de permutacións do conxunto dado X.
A composición da función é sempre asociativa.
A bixección trivial que asigna cada elemento de X a si mesmo serve de identidade para o grupo.
Toda bixección ten unha función inversa que desfai a súa acción e, polo tanto, cada elemento dun grupo simétrico ten un inverso que tamén é unha permutación.

Transposicións, signo e grupo alternante

Unha transposición é unha permutación que troca dous elementos e mantén fixos todos os demais; por exemplo (1 3) é unha transposición. Toda permutación pódese escribir como produto de transposicións; por exemplo, a permutación g enriba pódese escribir como g = (1 2)(2 5)(3 4). Dado que g pódese escribir como produto dun número impar de transposicións é unha permutación impar, mentres que f é unha permutación par.

A representación dunha permutación como produto de transposicións non é única; porén, o número de transposicións necesarias para representar unha determinada permutación é sempre par ou sempre impar. Hai varias probas breves da invariancia desta paridade dunha permutación.

O produto de dúas permutacións pares é par, o produto de dúas permutacións impares é par e todos os demais produtos son impares. Así podemos definir o signo dunha permutación:

\operatorname {sgn} f={\begin{cases}+1,&{\text{if }}f{\mbox{ is even}}\\-1,&{\text{if }}f{\text{ is odd}}.\end{cases}}

Con esta definición,

\operatorname {sgn} \colon \mathrm {S} _{n}\rightarrow \{+1,-1\}\

é un homomorfismo de grupo ({+1, −1} é un grupo baixo multiplicación, onde +1 é e, o elemento neutro). O kernel deste homomorfismo, é dicir, o conxunto de todas as permutacións pares, chámase grupo alternante A_n. É un subgrupo normal de S_n, e para n ≥ 2 ten n!/2 elementos. O grupo S_n é o produto semidirecto de A_n e calquera subgrupo xerado por unha única transposición.

A maiores, cada permutación pódese escribir como produto de transposicións adxacentes, é dicir, transposicións da forma (a a+1). Por exemplo, a permutación g enriba tamén se pode escribir como g = (4 5)(3 4)(4 5)(1 2)(2 3)(3 4)(4 5). A representación dunha permutación como produto de transposicións adxacentes tampouco non é única.

Ciclos

Un ciclo de lonxitude k é unha permutación f para a cal existe un elemento x en {1, ..., n } tal que x, f (x), f ² (x), ... , f ^k (x) = x son os únicos elementos movidos por f ; convencionalmente requírese que k ≥ 2 xa que con k = 1 tampouco non se movería o propio elemento x. A permutación h definida por

h={\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\4&2&1&3&5\end{pmatrix}}

é un ciclo de lonxitude tres, xa que h(1) = 4, h(4) = 3 e h(3) = 1, deixando 2 e 5 intactos. Denotamos tal ciclo por (1 4 3), mais igualmente podería escribirse (4 3 1) ou (3 1 4) comezando nun punto diferente. A orde dun ciclo é igual á súa lonxitude. Os ciclos de lonxitude dous son transposicións. Dous ciclos son disxuntos se teñen subconxuntos de elementos disxuntos. Os ciclos disxuntos conmutan: por exemplo, en S₆ existe a igualdade (4 1 3)(2 5 6) = (2 5 6)(4 1 3). Todo elemento de S_n pódese escribir como produto de ciclos disxuntos; esta representación é única ata a orde dos factores, e a liberdade dada para o seu punto de partida.

Os ciclos admiten a seguinte propiedade de conxugación con calquera permutación $\sigma$ , esta propiedade utilízase a miúdo para obter os seus as relacións.

\sigma {\begin{pmatrix}a&b&c&\ldots \end{pmatrix}}\sigma ^{-1}={\begin{pmatrix}\sigma (a)&\sigma (b)&\sigma (c)&\ldots \end{pmatrix}}

Elementos especiais

Algúns elementos do grupo simétrico de {1, 2, ..., n } son de particular interese (estes pódense xeneralizar ao grupo simétrico de calquera conxunto finito totalmente ordenado, mais non ao dun conxunto non ordenado).

A permutación de orde inversa ven dada por:

{\begin{pmatrix}1&2&\cdots &n\\n&n-1&\cdots &1\end{pmatrix}}.

Este é o único elemento máximo con respecto á orde de Bruhat e o elemento máis longo do grupo simétrico con relación ao conxunto xerador que consiste nas transposicións adxacentes (i i+1), 1 ≤ i ≤ n − 1.

Esta é unha involución, e consiste en $\lfloor n/2\rfloor$ transposicións (non adxacentes).

polo que ten signo:

\mathrm {sgn} (\rho _{n})=(-1)^{\lfloor n/2\rfloor }=(-1)^{n(n-1)/2}={\begin{cases}+1&n\equiv 0,1{\pmod {4}}\\-1&n\equiv 2,3{\pmod {4}}\end{cases}}

que é 4-periódico en n.

En S_2n, a mestura perfecta é a permutación que divide o conxunto en 2 pilas e as intercala. O seu signo tamén é $(-1)^{\lfloor n/2\rfloor }.$

Teña en conta que o revés en n elementos e a mestura perfecta en 2n elementos teñen o mesmo signo; estes son importantes para a clasificación das álxebras de Clifford, que son 8-periódicas.

Clases de conxugación

As clases de conxugación de S_n corresponden aos tipos de ciclo de permutacións; é dicir, dous elementos de S_n conxúganse en S_n se e só se consisten no mesmo número de ciclos disxuntos da mesma lonxitude. Por exemplo, en S₅, (1 2 3)(4 5) e (1 4 3)(2 5) están conxugados; (1 2 3)(4 5) e (1 2)(4 5) non o son. Un elemento conxugado de S_n pódese construír en "notación de dúas liñas" colocando as "notacións de ciclo" das dúas permutacións conxugadas unha encima da outra. Continuando co exemplo anterior, $k={\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\1&4&3&2&5\end{pmatrix}},$ que se pode escribir como produto de ciclos como (2 4). Esta permutación relaciona logo (1 2 3)(4 5) e (1 4 3)(2 5) mediante conxugación, é dicir, $(2~4)\circ (1~2~3)(4~5)\circ (2~4)=(1~4~3)(2~5).$ Está claro que tal permutación non é única.

As clases de conxugación de S_n corresponden a particións enteiras de n: á partición μ = (μ₁, μ₂, ..., μ_k) con ${\textstyle n=\sum _{i=1}^{k}\mu _{i}}$ e μ₁ ≥ μ₂ ≥ ... ≥ μ_k μ₁ ≥ μ₂ ≥ ... ≥ μ_k, está asociada ao conxunto C_μ de permutacións con ciclos de lonxitudes μ₁, μ₂, ..., μ_k . Daquela C _μ é unha clase de conxugación de S_n, cuxos elementos se di que son de tipo ciclo $\mu$ .

Grupos de grao baixo

Os grupos simétricos de baixo grao teñen unha estrutura máis sinxela e excepcional, e moitas veces deben ser tratados por separado.

S₀ e S₁: Os grupos simétricos do conxunto baleiro e do conxunto unitario son triviais, o que corresponde a $0! = 1! = 1$ $0! = 1! = 1$ $0! = 1! = 1$ . Neste caso, o grupo alternante concorda co grupo simétrico, en lugar de ser un subgrupo de índice 2, e o mapa de signos é trivial. No caso de S₀, o seu único membro é a función baleira.

S₂: Este grupo consta exactamente de dous elementos: a identidade e a permutación que intercambian os dous puntos. É un grupo cíclico e, polo tanto, é abeliano. Na teoría de Galois, isto corresponde ao feito de que a fórmula cadrática dá unha solución directa ao polinomio cadrático xeral despois de extraer só unha única raíz.

S₃: S₃ é o primeiro grupo simétrico non abeliano. Este grupo é isomorfo ao grupo diédrico de orde 6, o grupo de simetrías de reflexión e rotación dun triángulo equilátero, xa que estas simetrías permutan os tres vértices do triángulo. Os ciclos de lonxitude dous corresponden a reflexións, e os ciclos de lonxitude tres son rotacións. Na teoría de Galois, o mapa de signos de S₃ a S₂ corresponde á resolución cadrática dun polinomio cúbico, segundo o descubriu Gerolamo Cardano.

S₄: O grupo S₄ é isomorfo ao grupo de rotacións propias sobre caras opostas, diagonais opostas e arestas opostas, 9, 8 e 6 permutacións do cubo. Alén do grupo A₄, S₄ ten un grupo de Klein-4 como subgrupo normal propio, é dicir, as transposicións pares ${(1), (1 2)(3 4), (1 3)(2 4), (1 4)(2 3)},$ co cociente S₃. Na teoría de Galois, este mapa corresponde á resolución cúbica dun polinomio cuártico, o que permite resolver o cuartico mediante radicais, segundo estableceu Lodovico Ferrari.

S₅: S₅ é o primeiro grupo simétrico non resolúbel. Xunto co grupo linear especial $SL(2, 5)$ e o grupo icosaédrico $A 5 \times S 2$ , S₅ é un dos tres grupos non resolúbeis de orde 120, ata isomorfismo. S₅ é o grupo de Galois da ecuación quíntica xeral, e o feito de que ₅ non sexa un grupo resolúbel tradúcese na inexistencia dunha fórmula xeral para resolver polinomios quinticos por radicais. Hai un mapa de inclusión exótico $S 5 \to S 6$ como subgrupo transitivo; o mapa de inclusión obvio $S n \to S n +1$ fixa un punto e polo tanto non é transitivo. Isto produce o automorfismo externo de S₆, que se comenta a continuación, e corresponde ao resolvente séxtico dunha quintica.

S₆: A diferenza de todos os outros grupos simétricos, S₆, ten un automorfismo externo. Usando a linguaxe da teoría de Galois, isto tamén se pode entender en termos de resolventes de Lagrange.

Mapas entre grupos simétricos

Ademais do mapa trivial $S n \to C 1 ≅ S 0 ≅ S 1$ e do mapa de signos $S n \to S 2$ , os homomorfismos máis notables entre grupos simétricos, por orde de dimensión relativa, son:

$S 4 \to S 3$ correspone ao subgrupo normal excepcional $V < A 4 < S 4$ ;
$S 6 \to S 6$ corresponde ao automorfismo dexterno de S₆.
$S 5 \to S 6$ como grupo transitivo, produce o automorfismo externo de S₆ segundo visto enriba.

Tamén hai moitos outros homomorfismos $S m \to S n$ onde $m < n$ . .

Relación co grupo alterno

Para n ≥ 5, o grupo alternante A_n é simple e o cociente inducido é o mapa de signos: A_n → S_n → S₂ que se divide tomando unha transposición de dous elementos. Así, S_n é o produto semidirecto A_n ⋊ S₂, e non ten outros subgrupos normais propios, xa que se cruzarían con A_n na identidade (e, polo tanto, serían eles mesmos a identidade ou un grupo de 2 elementos, o que non é normal), ou en A_n (e, polo tanto, eles mesmos serían A_n ou S_n).

S_n pódese embeber en A_n+2 engadindo a transposición (n + 1, n + 2) a todas as permutacións impares, mentres que a incorporación en A_{n +1} é imposible para n > 1.

Xeradores e relacións

O grupo simétrico en $n$ letras é xerado polas transposicións adxacentes $\sigma _{i}=(i,i+1)$ que trocan $i$ e $i + 1$ . A colección $\sigma _{1},\ldots ,\sigma _{n-1}$ xera $S n$ suxeito ás seguintes relacións:

$\sigma _{i}^{2}=1,$
$\sigma _{i}\sigma _{j}=\sigma _{j}\sigma _{i}$ para $|i-j|>1$ , e
$(\sigma _{i}\sigma _{i+1})^{3}=1,$

onde 1 representa a permutación de identidade. Esta representación dota ao grupo simétrico da estrutura dun grupo de Coxeter (e así tamén dun grupo de reflexión).

Outros conxuntos xeradores posíbeis inclúen o conxunto de transposicións que trocan $1$ e $i$ por $2 \leq i \leq n$ , ou, de xeito máis xeral, calquera conxunto de transposicións que formen un gráfo conectado, e un conxunto que contén calquera $n$ -ciclo e un $2$ -ciclo de elementos adxacentes no $n$ -ciclo.

Estrutura de subgrupos

Un subgrupo dun grupo simétrico chámase grupo de permutacións.

Subgrupos normais

Os subgrupos normais dos grupos simétricos finitos son ben entendidos. Se $n \leq 2$ , S_n ten como máximo 2 elementos, polo que non ten subgrupos propios non triviais. O grupo alterno de grao n é sempre un subgrupo normal, un propio para $n \geq 2$ e un non trivial para $n \geq 3$ ; para $n \geq 3$ é de feito o único subgrupo normal propio non trivial de $S n$ , agás cando $n = 4$ onde hai un subgrupo normal adicional, que é isomorfo ao grupo de Klein 4.

O grupo simétrico nun conxunto infinito non ten un subgrupo de índice 2, xa que Vitali (1915^[5]) demostrou que cada permutación pode escribirse como un produto de tres cadrados. (Calquera elemento cadrado debe pertencer a un subgrupo hipotético de índice 2, polo que tamén debepertencer o produto de calquera número de cadrados.)

Subgrupos máximos

Os subgrupos máximos de $S n$ divídense en tres clases: os intransitivos, os imprimitivos e os primitivos. Os subgrupos máximos intransitivos son exactamente os da forma $S k \times S n - k$ para $1 \leq k < n /2$ . Os subgrupos máximos imprimitivos son exactamente os da forma $S k wr S n / k$ , onde $2 \leq k \leq n /2$ é un divisor propio de n e "wr" denota o produto da entrelazado. Os subgrupos máximos primitivos son máis difíciles de identificar, pero coa axuda do teorema de O'Nan–Scott e a clasificación de grupos simples finitos, (Liebeck, Praeger & Saxl 1988) deron unha descrición bastante satisfactoria dos subgrupos máximos deste tipo, segundo (Dixon & Mortimer 1996, p. 268).

Subgrupos de Sylow

Os subgrupos de Sylow dos grupos simétricos son exemplos importantes de grupos p. Descríbense máis facilmente en casos especiais:

Os p-subgrupos de Sylow do grupo simétrico de grao p son só os subgrupos cíclicos xerados polos p-ciclos. Hai $(p - 1)!/(p - 1) = (p - 2)!$ deses subgrupos simplemente contando xeradores. Polo tanto, o normalizador ten orde $p \cdot(p - 1)$ e coñécese como grupo Frobenius $F p (p -1)$ (especialmente para $p = 5$ ), e é o grupo linear xeral afín, $AGL(1, p)$ .

Subgrupos transitivos

Un subgrupo transitivo de S_n é un subgrupo cuxa acción sobre {1, 2, ,..., n } é transitiva. Por exemplo, o grupo de Galois dunha extensión (finita) de Galois é un subgrupo transitivo de S_n, para algúns n.

Subgrupos cíclicos

Os grupos cíclicos son aqueles que se xeran por unha única permutación. Cando unha permutación se representa en notación de ciclo, a orde do subgrupo cíclico que xera é o mínimo común múltiplo das lonxitudes dos seus ciclos. Por exemplo, en S₅, un subgrupo cíclico de orde 5 é xerado por (13254), mentres que os maiores subgrupos cíclicos de S₅ son xerados por elementos como (123)(45) que teñen un ciclo de lonxitude 3 e outro ciclo de lonxitude 2. Isto descarta moitos grupos como posibles subgrupos de grupos simétricos dun determinado tamaño. Por exemplo, S₅ non ten ningún subgrupo de orde 15 (un divisor da orde de S₅), porque o único grupo de orde 15 é o grupo cíclico. A maior orde posible dun subgrupo cíclico (equivalentemente, a maior orde posible dun elemento en S_n) vén dada pola función de Landau.

Grupo de automorfismos

n	Aut(S_n )	Out(S_n )	Z(S_n )
n ≠ 2, 6	S_n	C₁	C₁
n = 2	C₁	C₁	S₂
n = 6	S₆ ⋊ C₂	C₂	C₁

Para n ≠ 2, 6, S _n é un grupo completo: o seu centro e o seu grupo de automorfismos externos son triviais.

Para n = 2, o grupo de automorfismos é trivial, pero S₂ non é trivial: é isomorfo a C₂, que é abeliano e, polo tanto, o centro é todo o grupo.

Para n = 6, ten un automorfismo exterior de orde 2: Out(S₆) = C₂, e o grupo de automorfismos é un produto semidirecto Aut(S₆) = S₆ ⋊ C₂.

De feito, para calquera conxunto X de cardinalidade que non sexa 6, cada automorfismo do grupo simétrico en X é interior, un resultado primeiro debido a (Schreier & Ulam 1936) segundo (Dixon & Mortimer 1996, p. 259).

Notas

↑ ^1,0 ^1,1 ^1,2 ^1,3 Jacobson 2009, p. 31
↑ Jacobson 2009, p. 32 Theorem 1.1
↑ "Symmetric Group is not Abelian/Proof 1".
↑ Vasishtha, A.R.; Vasishtha, A.K. (2008). "2. Groups S3 Group Definition". Modern Algebra. Krishna Prakashan Media. p. 49. ISBN 9788182830561.
↑ Vitali, G. (1915). "Sostituzioni sopra una infinità numerabile di elementi". Bollettino Mathesis 7: 29–31.

Véxase tamén

Bibliografía

Cameron, Peter J. (1999). Permutation Groups. London Mathematical Society Student Texts 45. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-65378-7.
Dixon, John D.; Mortimer, Brian (1996). Permutation groups. Graduate Texts in Mathematics 163. Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-94599-6. MR 1409812.
Jacobson, Nathan (2009). Basic algebra 1 (2nd ed.). Dover. ISBN 978-0-486-47189-1. .
Kaloujnine, Léo (1948). La structure des p-groupes de Sylow des groupes symétriques finis. Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure. Série 3 65. pp. 239–276. ISSN 0012-9593. MR 0028834. doi:10.24033/asens.961.
Kerber, Adalbert (1971). Representations of permutation groups. I. Lecture Notes in Mathematics, Vol. 240 240. Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-05693-5. MR 0325752. doi:10.1007/BFb0067943.
Liebeck, M.W.; Praeger, C.E.; Saxl, J. (1988). On the O'Nan–Scott theorem for finite primitive permutation groups. Journal of the Australian Mathematical Society 44. pp. 389–396. doi:10.1017/S144678870003216X.
Nakaoka, Minoru (March 1961). Homology of the Infinite Symmetric Group. Annals of Mathematics. 2 73. pp. 229–257. JSTOR 1970333. doi:10.2307/1970333.
Netto, Eugen (1882). Substitutionentheorie und ihre Anwendungen auf die Algebra (en alemán). Leipzig. Teubner. JFM 14.0090.01.
Rotman, Joseph J. (1995). "Extensions and Cohomology" (PDF). An Introduction to the Theory of Groups. Graduate Texts in Mathematics 148. Springer. pp. 154–216. ISBN 978-1-4612-8686-8. doi:10.1007/978-1-4612-4176-8_7.
Scott, W.R. (1987). Group Theory. Dover Publications. pp. 45–46. ISBN 978-0-486-65377-8.
Schur, Issai (1911). Über die Darstellung der symmetrischen und der alternierenden Gruppe durch gebrochene lineare Substitutionen. Journal für die reine und angewandte Mathematik 1911. pp. 155–250. doi:10.1515/crll.1911.139.155.
Schreier, Józef; Ulam, Stanislaw (1936). Über die Automorphismen der Permutationsgruppe der natürlichen Zahlenfolge (PDF). Fundamenta Mathematicae (en alemán) 28. pp. 258–260. Zbl 0016.20301. doi:10.4064/fm-28-1-258-260.

Outros artigos

Ligazóns externas

"Symmetric group". Encyclopedia of Mathematics. EMS Press. 2001 [1994].
Weisstein, Eric W. "Symmetric group". MathWorld.
Weisstein, Eric W. "Symmetric group graph". MathWorld.
Marcus du Sautoy: Symmetry, reality's riddle (video of a talk)
OEIS Entries dealing with the Symmetric Group

[Jacobson-def-1] 1,0 ^1,1 ^1,2 ^1,3 Jacobson 2009, p. 31

[2] Jacobson 2009, p. 32 Theorem 1.1

[3] "Symmetric Group is not Abelian/Proof 1".

[4] Vasishtha, A.R.; Vasishtha, A.K. (2008). "2. Groups S3 Group Definition". Modern Algebra. Krishna Prakashan Media. p. 49. ISBN 9788182830561.

[5] Vitali, G. (1915). "Sostituzioni sopra una infinità numerabile di elementi". Bollettino Mathesis 7: 29–31.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]