Mínimo común múltiplo

Na Galipedia, a Wikipedia en galego.
Saltar ata a navegación Saltar á procura

En matemáticas, o mínimo común múltiplo (abreviado m.c.m.)[1] ou mínimo múltiplo común[2] de dous ou máis números naturais é o menor número natural que é múltiplo común de todos eles (ou o ínfimo do conxunto dos múltiplos comúns). Este concepto estivo ligado historicamente cos números naturais, pero pódese empregar para enteiros negativos ou enteiros gaussianos.

Cálculo do mínimo múltiplo común[editar | editar a fonte]

Partindo de dous ou máis números e por descomposición en factores primos, expresados como produto de factores primos, o seu mínimo múltiplo común será o resultado de multiplicar todos os factores comúns e non comúns elevados á maior potencia, por exemplo o mcm de 72 e 50 será:

Divisores 50 72.svg

Tomando os factores comúns e non comúns co seu maior expoñente, tense que:

Coñecendo o máximo divisor común de dous números, pódese calcular o mínimo múltiplo común deles, que será o produto de ambos os dous dividido entre o seu máximo común divisor.

Propiedades básicas[editar | editar a fonte]

  1. Se a é un enteiro, entón [a, a] = a
  2. Se a e b son enteiros, [a, b] = b se só se b é múltiplo de a.
  3. (a, b) = [a, b] se son iguais ou opostos.
  4. [a, b] = [ab] se e só se (a, b)= 1
  5. [a/d, b/d] = [m/a, m/b] onde m = mcm e d = mcd.
  6. [ma, b]= m[a, b] se ([a, b]/a, m) = 1[3]
  7. [a, b, c]= ''a'', ''b'', ''b'', ''c''
  8. [a, b, c]|ab', onde abc ≠ 0
  9. [a, b, c] = ab' (a, b, c)/(a, b)(b, c)(c, d)[4]

Outras propiedades son:

  • Se se divide o produto de dous números polo seu máximo divisor común devandito cociente é o mínimo múltiplo común.
  • O mínimo múltiplo común de dous números, onde o menor divide a maior, será o maior. É lóxico xa que un múltiplo de ambos inferior ao maior sería imposible xa que non sería múltiplo do maior.
  • O mínimo múltiplo común de dous números primos é o total da súa multiplicación. Isto é lóxico xa que o seu máximo divisor común é 1.
  • O mínimo múltiplo común de dous números compostos será igual ao cociente entre o seu produto e o m.c.d deles. É evidente segundo a propiedade 1.
  • O máximo divisor común de varios números é un divisor do mínimo múltiplo común de tales números.[5]
  • Sexa mℤ o conxunto dos múltiplos do enteiro m e nℤ o do enteiro n. Entón o conxunto nℤ∩mℤ está formado polos múltiplos comúns de m e n; noutra notación é o conxunto [m, n]ℤ.[6]

Aplicacións do mínimo múltiplo común[editar | editar a fonte]

Suma de fraccións[editar | editar a fonte]

O mcm pódese empregar para sumar ou restar fraccións de distinto denominador, tomando o mcm dos denominadores das fraccións, e converténdoas en fraccións equivalentes que poidan ser sumadas. Por exemplo:

Para poder efectuar a suma, primeiro débese buscar o mínimo múltiplo común dos denominadores (6 e 33)

Divisores 6 33.svg

daquela o mínimo común múltiplo de 6 e 33 é:

que corresponde ao número 66; ambas as fraccións terán como denominador 66; agora só hai que achar a cada fracción a súa fracción equivalente, con denominador 66 e será posible a suma:

operando as fraccións, pódese realizar a suma:

Expresións alxébricas[editar | editar a fonte]

O m.c.m. para dúas expresións alxébricas, corresponde á expresión alxébricas de menor coeficiente numérico e de menor grao que é divisible exactamente por cada unha das expresións dadas. Esta teoría é de suma importancia para as fraccións e ecuacións.[7]

Desta form o m.c.m. dos monomios e é igualmente para e é .

Algoritmo de cálculo[editar | editar a fonte]

Para máis de dous números, un algoritmo para calcular o mínimo múltiplo común é:

  1. Descompor cada un dos números nun produto de potencias de factores primos. Por exemplo, a descomposición factorial de 324 é 22·34.
  2. De entre todos as potencias de factores primos, escoller todos os existentes, e dentro dos comúns a todos os números, os de maior potencia.
  3. Multiplicar todos os factores escolleitos.

Por exemplo, calculando o mcm(324,16,7,5). A descomposición de 324 é 22·34.; a descomposición de 16 é: 24; a descomposición de 7 é 7 e a descomposición de 5 é 5.

Polo tanto, obtense o mcm 24·34·7·5 = 45360.

Xeneralización do concepto de m.c.m. e m.c.d.[editar | editar a fonte]

O concepto de m.c.m. e de m.c.d. pódese estender ás fraccións ou números racionais positivos.[8] Estritamente falando calquera número racional divide outro racional e non existe un racional maior ou menor que todos. No entanto, a extensión aquí descrita ten interese nalgúns problemas e está relacionada coa teoría de aneis, ideais, identidade de Bézout, teorema de Krull etc.

Sexan dúas fraccións e irreducibles

a descomposición en factores primos de . Entón

é unha fracción que é múltiplo común de e e é o mínimo polas propiedades do m.c.m. e m.c.d. de dous enteiros non negativos xa que e o m.c.m. dos numeradores e é o m.c.d. dos denominadores de xeito que se pode concluír que

Analogamente ou tendo en conta que o produto de dous números é igual ao do seu m.c.m. polo seu m.c.d. obtense:

As fórmulas anteriores son válidas para unha cantidade finita de fraccións. Ademais o cociente do mcm entre cada fracción é un enteiro e o conxunto dos cocientes forman un sistema de primos entre si. De igual maneira, o cociente de cada fracción entre o mcd é enteiro, os cocientes son primos entre si.[9]

De maneira máis xeral, o concepto de m.c.m. ten sentido en calquera dominio enteiro.[10]

Notas[editar | editar a fonte]

  1. Pérez Vázquez, Libia; Precedo Estraviz, Patricia; Seoane Bouzas, Nuria (2006). Profesionaliza a túa lingua matemática. Univesidade da Coruña. ISBN 84-9749-226-9. 
  2. Masa Vázquez, Xosé M.; Fortes López, Belén (1995). Servicio de Normalización Lingüística da Universidade de Santiago de Compostela, ed. Vocabulario de Matemáticas. Santiago de Compostela. ISBN 84-8121-369-1. 
  3. Rectificación y reconfrontación con "Aritmética" de Universidad de Ciencias y Humanidades del Perú
  4. Varios autores: Aritmética, Editorial UCH, Lima (2013)
  5. Nestes temas de divisibilidade cómpre falar de divisor, factor ou submúltiplo, mais non de inclusión.
  6. Kostrikin: Introducción al álgebra, Editorial Mir, Moscova (1974)
  7. Baldor, Aurelio. "XII". Álgebra (en castelán). Cultural. ISBN 9684392117. 
  8. Mathematics Stack Exchange
  9. Galdos; Aritmética 1m ISBN 9972-891-14-3]
  10. Birkhoff- Mc Lane. Álgebra Moderna

Véxase tamén[editar | editar a fonte]

Bibliografía[editar | editar a fonte]

Outros artigos[editar | editar a fonte]

Ligazóns externas[editar | editar a fonte]