Saltar ao contido

Subgrupo

Na Galipedia, a Wikipedia en galego.

Na teoría de grupos, unha rama das matemáticas, dado un grupo G baixo unha operación binaria ∗, un subconxunto H de G chámase subgrupo de G se H tamén forma un grupo baixo a operación ∗. Máis precisamente, H é un subgrupo de G se a restrición de ∗ a H × H é unha operación de grupo en H. Isto denótase tamén como HG, lido como "H é un subgrupo de G ".

O subgrupo trivial de calquera grupo é o subgrupo {e} que consiste só no elemento identidade.[1]

Un subgrupo propio dun grupo G é un subgrupo H que é un subconxunto propio de G (é dicir, HG). Isto represéntase por H < G, lido como "H é un subgrupo propio de G". Algúns autores tamén exclúen que o grupo trivial sexa propio (é dicir, H ≠ {e }). [2] [3]

Comprobación de subgrupos

[editar | editar a fonte]

Temos que G é un grupo e H é un subconxunto de G e a operación de grupo de G escríbese multiplicativamente.

  • Daquela H é un subgrupo de G se e só se H non é baleiro e é pechado baixo produtos e inversos. Pechado baixo produtos significa que para cada a e b en H, o produto ab está en H. Pechado baixo inversos significa que para cada a en H, o inverso a−1 está en H. Estas dúas condicións pódense combinar nunha soa, que para cada a e b en H, o elemento ab−1 está en H.[4]
  • Cando H é finito, a proba pódese simplificar: H é un subgrupo se e só se non é baleiro e é pechado baixo produtos. Estas condicións implican que cada elemento a de H xera un subgrupo cíclico finito de H, digamos de orde n, e entón o inverso de a é an−1. [4]
G é o grupo que son os enteiros mod 8 mediante adición. O subgrupo H contén só o 0 e o 4, e é isomorfo a Hai catro clases de H á esquerda: H en si, 1 + H, 2 + H e 3 + H (escribindo con notación aditiva xa que este é un grupo aditivo). Entre todos dividen todo o grupo G en conxuntos de igual tamaño e non superpostos. O índice [G : H] é 4.

Cosets e teorema de Lagrange

[editar | editar a fonte]

Dado un subgrupo H e algún a en G, definimos o coset (ou conxunto lateral, ou coclase) esquerdo aH = {ah : h in H}. Como a é invertible, o mapa φ : HaH dado por φ(h) = ah é unha bixección. Alén diso, cada elemento de G está contido precisamente nun coset esquerdo de H; as clases secundarias da esquerda son as clases de equivalencia correspondentes á relación de equivalencia a1 ~ a2 se e só se está en H. O número de clases esquerdas de H chámase índice de H en G e o denotamos por [G : H] .

O teorema de Lagrange afirma que para un grupo finito G e un subgrupo H,

onde |G| e |H| denotan as ordes (ou cardinalidades, número de elementos) de G e H, respectivamente. En particular, a orde de cada subgrupo de G (e a orde de cada elemento de G) debe ser un divisor de |G|.[5] [6]

Os cosets pola dereita defínense de xeito análogo: Ha = {ha : h in H}.

Se aH = Ha para cada a en G, entón dise que H é un subgrupo normal.

Exemplo: subgrupos de Z8

[editar | editar a fonte]

Sexa G o grupo cíclico Z8 cuxos elementos son

e cuxa operación de grupo é a suma módulo 8. A súa táboa de Cayley é

+ 0 4 2 6 1 5 3 7
0 0 4 2 6 1 5 3 7
4 4 0 6 2 5 1 7 3
2 2 6 4 0 3 7 5 1
6 6 2 0 4 7 3 1 5
1 1 5 3 7 2 6 4 0
5 5 1 7 3 6 2 0 4
3 3 7 5 1 4 0 6 2
7 7 3 1 5 0 4 2 6

Este grupo ten dous subgrupos non triviais: J = {0, 4} e H = {0, 4, 2, 6} , onde J tamén é un subgrupo de H. O grupo G é cíclico, e tamén o son os seus subgrupos. En xeral, os subgrupos de grupos cíclicos tamén son cíclicos.[7]

Exemplo: Subgrupos de S4

[editar | editar a fonte]

S4 é o Grupo simétrico cuxos elementos corresponden ás permutacións de 4 elementos. A continuación móstranse todos os seus subgrupos, ordenados por cardinalidades. Cada grupo (agás os de cardinalidade 1 e 2) está representado pola súa Táboa de Cayley.

24 elementos

[editar | editar a fonte]

Como en todos os grupo, S4 é un subgrupo de si mesmo (non é subgrupo propio).

Grupo simétrico S4

12 elementos

[editar | editar a fonte]

O grupo alternante A4 contén só as permutacións pares. É un dos dous subgrupos normais propios non triviais de S4. (O outro é o seu subgrupo de Klein).

Grupo alternante A4
Subgrupos:

8 elementos

[editar | editar a fonte]
Grupo diédrico de orde 8
Subgrupos:
Grupo diédrico de orde 8
Subgrupos:
Grupo diédrico de orde 8
Subgrupos:

6 elementos

[editar | editar a fonte]
Grupo simétrico S3
Subgrupo:
Grupo simétrico S3
Subgrupo:
Grupo simétrico S3
Subgrupo:
Grupo simétrico S3
Subgrupo:

4 elementos

[editar | editar a fonte]
Grupo de Klein
Grupo de Klein
Grupo de Klein
Grupo de Klein (subgrupo normal)
Grupo cíclico Z4
Grupo cíclico Z4
Grupo cíclico Z4

3 elementos

[editar | editar a fonte]
Grupo cíclico Z3
Grupo cíclico Z3
Grupo cíclico Z3
Grupo cíclico Z3

2 elementos

[editar | editar a fonte]

Cada permutación p de orde 2 xera un subgrupo {1, p }. Estas son as permutacións que só teñen 2 ciclos:

  • Hai 6 transposicións cun 2 ciclos. (fondo verde)
  • E 3 permutacións con dous ciclos. (fondo branco, números en grosa)

1 elemento

[editar | editar a fonte]

O subgrupo trivial é o único subgrupo de orde 1.

Outros exemplos

[editar | editar a fonte]
  • Os enteiros pares forman un subgrupo do anel dos enteiros a suma de dous enteiros pares é par e o negativo dun enteiro par é par.
  • Un ideal nun anel R é un subgrupo do grupo aditivo de R.
  • Un subespazo linear dun espazo vectorial é un subgrupo do grupo aditivo de vectores.
  • Nun grupo abeliano, os elementos de orde finita forman un subgrupo chamado subgrupo de torsión.

Véxase tamén

[editar | editar a fonte]

Bibliografía

[editar | editar a fonte]

Outros artigos

[editar | editar a fonte]