Función hiperbólica

Na Galipedia, a Wikipedia en galego.

As funcións hiperbólicas son unhas funcións con definicións baseadas na función exponencial, ligada mediante operacións racionais e son análogas ás funcións trigonométricas.[1] Estas son:

Curvas das funcións hiperbólicas sinh, cosh e tanh
Curvas das funcións hiperbólicas csch, sech e coth

O seno hiperbólico

O coseno hiperbólico

A tanxente hiperbólica

e outras derivadas:

(cotanxente hiperbólica)
(secante hiperbólica)
(cosecante hiperbólica)

Relación entre funcións hiperbólicas e funcións circulares[editar | editar a fonte]

As funcións trigonométricas e poden ser as coordenadas cartesianas dun punto P sobre a circunferencia unitaria centrada na orixe, onde t é o ángulo, medido en radiáns, comprendido entre o semieixe positivo X, e o segmento OP, segundo as seguintes igualdades:

Tamén pode interpretarse o parámetro t como a lonxitude do arco de circunferencia unitaria comprendido entre o punto e o punto P, ou como o dobre da área do sector circular determinado polo semieixe positivo X, o segmento OP e a circunferencia unitaria.

Animación da representación do seno hiperbólico.

De modo análogo, pódense definir as funcións hiperbólicas, como as coordenadas cartesianas dun punto P da hipérbole equilátera, centrada na orixe, cuxa ecuación é

onde t é o dobre da área da rexión comprendida entre o semieixe positivo X, e o segmento OP e a hipérbole, segundo as seguintes igualdades:

Con todo, tamén pode demostrarse que é válida a seguinte descrición da hipérbola:

dado que

De modo que o coseno hiperbólico e o seno hiperbólico admiten unha representación en termos de funcións exponenciais de variable real:

Relacións[editar | editar a fonte]

Ecuación fundamental[editar | editar a fonte]

Duplicación do argumento[editar | editar a fonte]

Téñense as seguintes fórmulas moi semellantes ás súas correspondentes trigonométricas[2]

o que leva á seguinte relación:

e por outra banda

que leva a:

tense estoutra relación

que permite ter

Derivación e integración[editar | editar a fonte]

Ademais a integración ao ser a operación inversa da derivación é trivial neste caso.

A derivada de está dada por e a derivada de é . O gráfico da función denomínase catenaria.

Inversas das funcións hiperbólicas e derivadas[editar | editar a fonte]

As funcións recíprocas das funcións hiperbólicas e as súas derivadas son:[3]

Series de Taylor[editar | editar a fonte]

As series de Taylor das funcións inversas das funcións hiperbólicas veñen dadas por:

Relación coa función exponencial[editar | editar a fonte]

Da relación do coseno e o seno hiperbólico pódense derivar as seguintes relacións:

e

Estas expresións son análogas ás que están en termos de senos e cosenos, baseadas na fórmula de Euler, como suma de exponenciais complexas.

Notas[editar | editar a fonte]

  1. Cálculo de Granville
  2. Manual de Matemáticas para Ingenieros y estudiantes. Mir. 
  3. Cálculo con Geometría Analítica. Prenttice-Hall Hispanoamericana S.A. ISBN 0-13-111807-2. 

Véxase tamén[editar | editar a fonte]

Outros artigos[editar | editar a fonte]