Teorema chinés do resto

Na Galipedia, a Wikipedia en galego.
Formulación orixinal de Sunzi: x ≡ 2 (mod 3) ≡ 3 (mod 5) 2 (mod 7) coa solución x = 23 + 105k, con k enteiro

En matemáticas, o teorema teorema chinés do resto expón que se un sabe os restos da división euclidiana dun enteiro n por varios enteiros, daquela un pode determinar o resto da división de n polo produto destes enteiros, baixo a condición de que os divisores sexan coprimos por pares (ningunha parella de divisores comparte un factor común á parte do 1).

As palabras resto e residuo son equivalentes, e ambas as dúas pódense ver nos documentos existentes.

Por exemplo, se sabemos que o resto de n dividido por 3 é 2, o resto de n dividido por 5 é 3, e o resto de n dividido por 7 é 2, daquela sen saber o valor de n, podemos determinar que o resto de n dividido por 105 (produto de 3, 5, e 7) é 23. Importante, isto dinos que se n é un número natural menor de 105, entón 23 é o único valor posíbel de n.

A redacción coñecida máis antiga do teorema foi feita polo matemático chinés Sunzi no Sunzi Suanjing entre os séculos III e V (d.C).

O teorema chinés do resto úsase amplamente para computar enteiros grandes, pois permite traballar con números de tamaño limitado.

O teorema chinés do resto (expresado como congruencias) é certo sobre todo dominio ideal principal. Está xeneralizado a calquera anel, cunha formulación que implica ideais bilaterais.

Historia[editar | editar a fonte]

A cita do matemático chinés Sunzi no Sunzi Suanjing foi:[1]

Hai certas cousas cuxo número se descoñece. Se os contamos por tres, sobran dous; por cinco, sobran tres; e aos sete sobran dous. Cantas cousas hai?[2]

O que ven sendo un algoritmo para resolver este problema foi descrito por Aryabhata (século VI).[3] Tamén Brahmagupta (no século VII))trataba casos especiais do teorema chinés do resto e aparecen no Liber Abaci (1202) de Fibonacci.[4] O resultado foi máis tarde xeneralizado cunha solución completa chamada Da-yan-shu (大衍術) en Qin Jiushao 1247 Tratado Matemático en Nove Seccións que foi traducido a inglés en temperán século XIX polo misioneiro británico Alexander Wylie.[5][6]

O teorema chinés do resto aparece no libro de Gauss de Disquisitiones Arithmeticae.[7]

A noción de Congruencia (álxebra) foi introducida e utilizada por Carl Friedrich Gauss no seu Disquisitiones Arithmeticae de 1801.[8] Gauss Ilustra o teorema chinés do resto nun problema que implica calendarios, "atopar os anos que teñen un determinado número de período en relación ao ciclo solar e lunar e a indición romana (período de 15 anos)." Gauss Presenta un procedemento para solucionar o problema que xa era utilizado por Leonhard Euler.[9][10]

Enunciado[editar | editar a fonte]

Sexan enteiros superiores a 1, chamados módulos. Denotamos por N o produto dos .

Enunciando o teorema chinés do resto podemos dicir que se os son coprimos por pares, e se son enteiros tal que para cada i, daquela hai un e só un enteiro x, tal que e o resto da división euclidiana de x por é para cada i.

Isto pódese reformular do seguinte xeito en termos de congruencias : Se os son coprimos por pares, e se

son enteiros calquera, daquela o sistema

ten solución, e dúas solucións calquera, digamos e , son congruentes módulo N, é dicir, x1x2 (mod N ) . [11]

En álxebra abstracta, o teorema adoita ser reformulado como: se os son coprimos por pares, o mapa

Define un isomorfismo de aneis[12]

entre o anel de enteiros módulo N e o produto directo dos aneis de enteiros módulo os . Isto significa que para facer unha secuencia de operacións aritméticas en pódese facer o mesmo cálculo independentemente en cada e despois obtér o resultado aplicando o isomorfismo (de dereita a esquerda). Isto será máis rápido que o cálculo directo se N e o número de operacións son grandes. Isto é amplamente usado, baixo o nome de computación multimodular, en álxebra lineal sobre os números enteiros ou os números racionais .

O teorema tamén se pode reaformular na linguaxe da combinatoria porque as infinitas progresións aritméticas de números enteiros forman unha familia Helly . [13]

Proba[editar | editar a fonte]

A existencia e a unicidade da solución poden probarse independentemente. Con todo, a primeira proba de existencia, dado abaixo, utiliza a unicidade.

Unicidade[editar | editar a fonte]

Se x e y son ambas as dúas solucións a todas as congruencias. Como x e y dan o mesmo resto, ao dividirse entre ni, temos que a súa diferenza xy é múltiplo de cada ni . Como os ni son coprimos por pares, o seu produto N tamén divide xy, polo que x e y son congruentes módulo N . Se x e y se supón que non son negativos e son menores que N (como no primeiro enunciado do teorema), entón a súa diferenza só pode ser múltiplo de N se x = y .

Existencia (primeira proba)[editar | editar a fonte]

Temos

este mapa asigna clases de congruencia módulo N a múltiples clases de congruencia módulo ni . A proba de unicidade mostra que este mapa é inxectivo. Como o dominio e o codominio deste mapa teñen o mesmo número de elementos, o mapa tamén é sobrexectivo, o que proba a existencia da solución.

Esta proba é moi sinxela mais non proporciona ningún xeito directo de calcular unha solución. Ademais, non se pode xeneralizar a outras situacións nas que a seguinte proba si.

A existencia pódese establecer mediante unha construción explícita de x. [14] Esta construción pódese dividir en dous pasos, primeiro resolvendo o problema no caso de dous módulos, e despois estendendo esta solución ao caso xeral por indución sobre o número de módulos.

Caso de dous módulos[editar | editar a fonte]

Queremos solucionar o sistema:

onde e son coprimos .

Pola identidade de Bézout sabemos da existencia de dous números enteiros e tal que

Os enteiros e pódense calcular mediante o algoritmo euclidiano estendido .

Unha solución vén dada por

Comprobamos,

iso implica que A segunda congruencia próbase de xeito similar, trocando os subíndices 1 e 2.

Caso xeral[editar | editar a fonte]

Considere unha secuencia de ecuacións de congruencia:

imos ver unha proba por construción e un exemplo por un método moi rápido

Sexa o produto de todos os módulos menos un. Como os son coprimos por pares, e son coprimos. Aplícamos a identidade de Bézout, e existen números enteiros e tal que

Unha solución do sistema de congruencias é

De feito, como é múltiplo de para temos

para cada

E agora o exemplo: [15]

Solución: o módulo da solución completa debe ser , por seren coprimos.

E comezamos os cálculos

Como un sistema diofantiano lineal[editar | editar a fonte]

O sistema de congruencias resolvido polo teorema chinés do resto pódese reescribir como un sistema de ecuacións diofantianas lineais :

Polo tanto, pódense usar todos os métodos xerais para resolver tales sistemas, como a redución da matriz do sistema á forma normal de Smith ou á forma normal de Hermite .

Sobre dominios de ideais principais[editar | editar a fonte]

O teorema enunciouse de tres formas diferentes: en termos de restos, de congruencias e dun isomorfismo de anel. A declaración en termos de restos non se aplica, en xeral, aos dominios de ideais principais, xa que os restos non se definen nestes aneis. Non obstante, as outras dúas versións teñen sentido sobre un dominio ideal principal R : abonda con substituír "enteiro" por "elemento do dominio" e por R Estas dúas versións do teorema son certas neste contexto, porque as demostracións (excepto a primeira proba de existencia), baséanse no lema de Euclides e na identidade de Bézout, que son certas en todos os dominios principais.

Sobre aneis de polinomios dunha variábel e dominios euclidianos[editar | editar a fonte]

Os polinomios univariados sobre un corpo son o exemplo típico dun dominio euclidiano que non son os enteiros. Polo tanto, enunciamos o teorema para o caso do anel para un corpo Para obter o teorema nun dominio euclidiano en xeral, abonda con substituír o grao pola función euclidiana do dominio euclidiano.

O teorema chinés do resto para polinomios é así: Sexan (os módulos), para , polinomios coprimos por pares en . Sexa o grao de , e a suma dos Se son polinomios tales que ou para cada i, daquela, hai un e só un polinomio , tal que e o resto da división euclidiana de por é por cada i .

Polo tanto, agora queremos atopar un polinomio , que satisfai as congruencias

para

Considere os polinomios

A descomposición en fraccións parciais de k polinomios de grao tal que

e así

Por tanto unha solución do sistema de congruencia simultánea vén dada polo polinomio

De feito, temos

para

A solución pode ter un grao superior a Podemos deducir a única solución de grao menor que se consideramos o resto da división euclidiana de por Esta solución é

Interpolación de Lagrange[editar | editar a fonte]

Un caso especial para polinomios é a interpolación de Lagrange . Para isto, considere k polinomios mónicos de grao un:

Son coprimos por pares se os son todos diferentes. O resto da división por dun polinomio é , polo teorema do resto .

Agora, sexan constantes (polinomios de grao 0) en Tanto a interpolación de Lagrange como o teorema chinés do resto afirman a existencia dun polinomio único de grao inferior a tal que

para cada

A fórmula de interpolación de Lagrange é exactamente o resultado, neste caso, da construción anterior da solución. Máis precisamente, se temos

A descomposición parcial da fracción é

Agora, se reducimos o lado dereito a un denominador común obtemos

e o numerador é igual a 1, xa que é un polinomio de grao menor que que toma o valor 1 para diferentes valores de Desta fórmula, podemos obter a fórmula de interpolación de Lagrange:

Interpolación de Hermite[editar | editar a fonte]

A interpolación de Hermite é unha aplicación do teorema para polinomios univariados, que admite módulos de graos arbitrarios (a interpolación de Lagrange só admite módulos de grao un).

Debemos conseguir un polinomio do menor grao posible, de xeito que o polinomio e as súas primeiras derivadas tomen valores dados nalgúns puntos fixos.

Sexan , elementos do corpo e, para sexan os valores das primeiras derivadas en do polinomio buscado (incluída a derivada 0, que é o valor do propio polinomio). O problema consiste en atopar un polinomio tal que a súa derivada j -ésima tome o valor en para e

Considere o polinomio

Este é o polinomio de Taylor de orde en do polinomio descoñecido Polo tanto, debemos ter

Pola contra, calquera polinomio que satisfai estas congruencias, en particular verifica, para calquera

polo tanto é o seu polinomio de Taylor de orde en , e con iso temos que resolve o problema inicial da interpolación de Hermite. O teorema chinés do resto afirma que existe exactamente un polinomio de grao menor que a suma dos que satisfai estas congruencias.

Xeralización a módulos non coprimos[editar | editar a fonte]

O teorema chinés do resto pódese xeneralizar a módulos non coprimos. Sexa ser calquera número enteiro, deixe  ; , e considere o sistema de congruencias:

Se , entón este sistema ten unha solución única módulo . En caso contrario, non ten solucións.

Se usamos a identidade de Bézout para escribir , daquela a solución vén dada por

Isto define un número enteiro, xa que g divide tanto m como n . A demostración é moi semellante á dos módulos coprimos. [16]

Xeralización a aneis arbitrarios[editar | editar a fonte]

O teorema chinés do resto pódese xeneralizar a calquera anel, usando ideais coprimos (tamén chamados ideais comaximais ). Dous ideais I e J son coprimos se hai elementos e tal que Esta relación xoga o papel da identidade de Bézout nas probas relacionadas con esta xeralización, que polo demais son moi semellantes. A xeralización pódese expresar do seguinte xeito. [17] [18]

Sexan I1, ..., Ik ideais bilaterais dun anel e sexa I a súa intersección . Se os ideais son coprimos por pares, temos o isomorfismo :

entre o anel cociente e o produto directo de onde " " denota a imaxe do elemento no anel cociente definido polo ideal Alén diso, se é conmutativo, daquela, o ideal intersección dos ideais coprimos par pares é igual ao seu produto ; é dicir

se e son coprimos para todo ij .

Interpretación en termos de idempotentes[editar | editar a fonte]

Sexan ideais bilaterais coprimos por pares con e sexa

o isomorfismo definido anteriormente. Sexa o elemento de cuxos compoñentes son todos 0 agás o elemento i -ésimo que é 1 e

Os son idempotentes centrais que son ortogonais por pares; isto significa, en particular, que e para cada i e j . Máis aínda, un ten e

En resumo, esta xeralización do teorema chinés do resto é a equivalencia entre ideais bilaterais coprimos por pares con intersección cero e idempotentes centrais e ortogonais por pares que suman 1 . [19]

Aplicacións[editar | editar a fonte]

Numeración secuencial[editar | editar a fonte]

O teorema chinés do resto utilizouse para construír unha numeración de Gödel para as secuencias, que forma parte da demostración dos teoremas de incompletitude de Gödel .

Transformada de Fourier rápida (FFT)[editar | editar a fonte]

O algoritmo FFT de factor primo usa o teorema chinés do resto para reducir o cálculo dunha transformada de Fourier rápida de tamaño ao cálculo de dúas transformadas rápidas de Fourier de tamaños menores e (coa condición de e seren coprimos).

Cifrado[editar | editar a fonte]

Na sinatura de certificados HTTPS e durante o descifrado utilízase habitualmete o algoritmo RSA que usa o teorema chinés do resto.

Resolución de ambigüidade de rango[editar | editar a fonte]

As técnicas de resolución de ambigüidade de rango utilizadas co radar de frecuencia de repetición de pulso medio poden verse como un caso especial do teorema chinés do resto.

Descomposición de funcións sobrexectivas de grupos abelianos finitos[editar | editar a fonte]

Dada unha función sobrexectiva de grupos abelianos finitos, podemos usar o teorema chinés do resto para dar unha descrición completa de calquera mapa deste tipo. En primeiro lugar, o teorema dá isomorfismos

onde . Alén diso, para calquera mapa inducido

da sobrexección orixinal, temos e xa que para un par de primos , as únicas sobrexeccións diferentes de cero

poden definirse se e .

Estas observacións son fundamentais para construír o anel de enteiros profinitos, que se dá como o límite inverso de todos estes mapas.

Teorema de Dedekind[editar | editar a fonte]

Teorema de Dedekind sobre a independencia lineal dos caracteres. Sexa M un monoide e k un dominio integral, visto como un monoide considerando a multiplicación en k . Daquela calquera familia finita fi )iI de distintos homomorfismos monoides fi : Mk é linealmente independente . Noutras palabras, toda familia (αi)iI de elementos αik que satisfai

debe ser igual á familia (0)iI .

Proba. Primeiro supoña que k é un corpo, se non, substitúe o dominio integral k polo seu corpo cociente, e nada mudará. Podemos estender linealmente os homomorfismos monoides fi : Mk a homomorfismos de k-álxebra (álxebra de corpo k) Fi : k[M] → k, onde k[M] é o anel monoide de M sobre k . Así, por linealidade, a condición

produce

Proseguimos, para i, jI; ij os dous mapas k -lineais Fi : k[M] → k e Fj : k[M] → k non son proporcionais entre si. En caso contrario fi e fj tamén serían proporcionais e, polo tanto, iguais xa que como homomorfismos monoides satisfán: fi (1) = 1 =  fj (1), o que contradí a suposición de que son distintos.

Polo tanto, os núcleos Ker Fi e Ker Fj son distintos. Xa que k[M]/Ker FiFi (k[M]) = k é un corpo, Ker Fi é un ideal máximo de k[M] para cada i en I . Como os ideais Ker Fi e Ker Fj son distintos e máximos tamén son coprimos sempre que ij . O teorema chinés do resto chinés (para aneis en xeral) produce un isomorfismo:

onde

En consecuencia, o mapa

é sobrexectivo. Baixo os isomorfismos k[M]/Ker FiFi (k[M]) = k, o mapa Φ corresponde a:

Agora,

produce

para cada vector (ui)iI na imaxe do mapa ψ . Dado que ψ é sobrexectivo, isto significa que

para cada vector

En consecuencia, (αi)iI = (0)iI . QED.

Notas[editar | editar a fonte]

Véxase tamén[editar | editar a fonte]

Bibliografía[editar | editar a fonte]


Outros artigos[editar | editar a fonte]

Ligazóns externas[editar | editar a fonte]