Identidade de Bézout

En teoría de números, a identidade de Bézout (tamén coñecido como lema de Bézout^[1]) é un teorema que se enuncia como: "Sexan a e b enteiros con máximo común divisor d. Entón, existen x e y enteiros tales que ax + by = d. En xeral, os enteiros da forma ax+by son exactamente os múltiplos de d".^[2]

O enteiros x e y son coñecidos como os coeficientes de Bézout para (a, b). Esta parella de enteiros non é única e pode calcularse usando o algoritmo de Euclides estendido. De ser ámbolos dous non nulos, o algoritmo de Euclides estendido produce unhas das dúas parellas tales que $|x|\leq \left|{\frac {b}{c}}\right|$ e $|y|\leq \left|{\frac {a}{c}}\right|$ (a igualdade só pode ocorrer se a é múltiplo de b ou, ao revés, se b é múltiplo de a).

Moitos outros teoremas elementais de teoría de números son consecuencias da identidade de Bézout, como o lema de Euclides ou o teorema chinés do resto.

Un dominio de Bézout é un dominio de integridade no que se cumpre a identidade de Bézout. En particular, a identidade de Bézout cúmprese nos dominios de ideais principais. Deste xeito, todo resultado que sexa demostrado a partir da identidade de Bézout, tamén será certa en todos estes dominios.

Estrutura das solucións[editar | editar a fonte]

Ao calcular un par de coeficientes de Bézout $(x, y)$ (por exemplo, utilizando o algoritmo de Euclides estendido), todos estes pares pódense representar da forma

\left(x+k{\frac {b}{\gcd(a,b)}},\ y-k{\frac {a}{\gcd(a,b)}}\right),

onde $k$ é certo número enteiro, e as fraccións simplifican a enteiros.

Entre estes pares de coeficientes de Bézout, hai exactamente dous deles que satisfán

|x|\leq \left|{\frac {b}{\gcd(a,b)}}\right|\quad {\text{e}}\quad |y|\leq \left|{\frac {a}{\gcd(a,b)}}\right|,

e estes dous pares serán iguais de dividir $a$ ou $b$ ao outro.

Isto baséase nunha propiedade de división euclidiana: dado dous enteiros c e d, se d non divide c, entón hai exactamente unha parella $(q, r)$ tal que $c = dq + r$ e $0 < r < | d |$ , e outra tal que $c = dq + r$ e $-| d | < r < 0$ .

Estes dous pares de coeficientes de Bézout son obtidas do par $(x, y)$ inicial, ao escoller o $k$ na fórmula de riba algún dos dous enteiros próximos a ${\frac {-x}{b/\gcd(a,b)}}$ .

O algoritmo de Euclides estendido sempre produce un destes dous pares.

Exemplo[editar | editar a fonte]

Sexa a = 12 e b = 42, gcd (12, 42) = 6. Entón temos as seguintes identidades de Bézout, cos coeficientes de Bézout escritos en vermello, no caso dos pares mínimos, e en azul tódolos demais.

{\begin{aligned}\vdots \\12&\times ({\color {blue}{-10}})&+\;\;42&\times \color {blue}{3}&=6\\12&\times ({\color {red}{-3}})&+\;\;42&\times \color {red}{1}&=6\\12&\times \color {red}{4}&+\;\;42&\times ({\color {red}{-1}})&=6\\12&\times \color {blue}{11}&+\;\;42&\times ({\color {blue}{-3}})&=6\\12&\times \color {blue}{18}&+\;\;42&\times ({\color {blue}{-5}})&=6\\\vdots \end{aligned}}

Se $(x, y) = (18, -5)$ é o par orixinal de coeficientes de Bézout, entón ${\frac {-18}{42/6}}\in [-3,-2]$ produce os pares mínimos con $k = 3$ e $k = -2$ , respectivamente: $(18-3\cdot7, -5+3\cdot2) = (-3, 1)$ e $(18-2\cdot7, -5+2\cdot2) = (4, -1)$ .

Proba[editar | editar a fonte]

Sexan a e b dous enteiros non nulos calquera. Definimos a partir deles o conxunto $S=\{ax+by\mid x,y\in \mathbb {Z} \ {\text{ e }}\ ax+by>0\}$ , que trivialmente non é baleiro, xa que ten que conter aos enteiros a e –a (con $x = \pm1$ e $y = 0$ ). Como S é un conxunto de enteiros positivo non baleiro, ten un elemento mínimo $d=as+bt$ , polo principio da boa ordenación. Para probar que d é o máximo común divisor de a e b, temos que probar dúas cousasː que d é un divisor común de a e b, e que para calquera outro común divisor c cumpre que $c < d$ .

A división euclidiana de a por d pode ser escrita como

a=dq+r\quad {\text{con}}\quad 0\leq r<d.

O resto r pertence ao conxunto $S\cup \{0\}$ , porque

{\begin{aligned}r&=a-qd\\&=a-q(as+bt)\\&=a(1-qs)-bqt.\end{aligned}}

Como d é o menor enteiro positivo en S, o resto r é necesariamente 0, e isto implica que d é un divisor de a. Analogamente, próbase que d é tamén un divisor de b, e, en conclusión, d é un divisor común de a e b.

Agora, sexa c ser calquera divisor común de a e b. Isto implica que teñen que existir u e v tal que $a = cu$ e $b = cv$ . Así tense que

{\begin{aligned}d&=as+bt\\&=cus+cvt\\&=c(us+vt).\end{aligned}}

Ao ser c é un divisor de d, e, por tanto, $c \leq d$

Xeneralizacións[editar | editar a fonte]

Para tres ou máis enteiros[editar | editar a fonte]

A identidade de Bézout pódese estender a máis de dous enteiros: se

\gcd(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})=d

entón existen enteiros $x_{1},\ldots ,x_{n}$ tales que

d=a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n}

ten as propiedades seguintes:

d é o menor enteiro positivo desta forma
todo número desta forma é un múltiplo de d

Para polinomios[editar | editar a fonte]

A identidade de Bézout funciona para polinomios dunha variábel sobre un corpo exactamente do mesmo xeitos que cos enteiros. En particular os coeficientes de Bézout e o máximo común divisor pode ser computado co algoritmo de Euclides estendido.

Ao ser as raíces comúns de dous polinomios o máximo común divisor deles, da identidade de Bézout xunto co teorema fundamental da álxebra, dedúcese que:

Para polinomios dunha variábel f e g con coeficientes nun corpo, existir polinomios a e b tal que af + bg = 1 se e só se f e g non teñen raíces comúns en calquera corpo alxebricamente pechado (xeralmente o corpo de números complexos).

A xeneralización deste resultado a calquera número de polinomios e indeterminates é o teorema dos ceros de Hilbert.

Para dominios ideais principais[editar | editar a fonte]

A identidade de Bézout pode ser escrita non soamente no anel de enteiros relativos, mais tamén en calquera outro dominio de ideais principais (DIP). (Nótese que, neste caso, o máximo común divisor enténdese no sentido da relación de preorde fornecida pola divisibilidade no anel, e a unicidade deste preservase baixo un factor invertíbel do anel) Isto é que, se R é un DIP, e a e b pertencen a R, entón existe un máximo común divisor d de a e b e existen elementos x e y en R tal aquel ax + py = d.

A razón disto é que o ideal xerado por Ra+Rb é principal. De feito, ao pertencer a R, todo xerador d de Ra+Rb é un divisor común de a e b, e é o máximo no sentido de divisibilidade, isto é, para dicir que todo divisor común divide d (xa que c divide todo elemento de Ra+Rb).

Un dominio de integridade no que para toda parella de elementos temos un máximo común divisor dirase que é un dominio Bézout.

Historia[editar | editar a fonte]

O matemático francés Étienne Bézout (1730–1783) probou esta identidade para polinomios.^[3] Con todo, esta afirmación para enteiros xa se atopa no traballo doutro matemático francés, Claude Gaspard Bachet de Méziriac (1581–1638).^[4]^[5]^[6]

Notas[editar | editar a fonte]

↑ Everest et al. 2008.
↑ Jones & Jones 1998, p. 7.
↑ Bézout, É. (1779). Théorie générale des équations algébriques. Paris, France: Ph.-D. Pierres.
↑ Tignol, Jean-Pierre (2001). Galois' Theory of Algebraic Equations. Singapore: World Scientific. ISBN 981-02-4541-6.
↑ Claude Gaspard Bachet (sieur de Méziriac) (1624). Problèmes plaisants & délectables qui se font par les nombres (2nd ed.). Lyons, France: Pierre Rigaud & Associates. pp. 18–33. Nestas páxinas, Bachet proba (sen ecuacións) "Proposition XVIII. Deux nombres premiers entre eux estant donnez, treuver le moindre multiple de chascun d’iceux, surpassant de l’unité un multiple de l’autre." (Dados dous números primos entre eles, atopar o menor múltiplo de cada un de eles tal que un múltiplo exceda ao outro por unha unidade (1).) Este problema (reescrito, ax - by = 1) é un caso especial da ecuación de Bézout, e foi usada por Bachet para resolver problemas que aparecen na 199 e seguintes.
↑ Maarten Bullynck (February 2009). "Modular arithmetic before C.F. Gauss: Systematizations and discussions on remainder problems in 18th-century Germany" (PDF). Historia Mathematica 36 (1): 48–72. doi:10.1016/j.hm.2008.08.009.

Véxase tamén[editar | editar a fonte]

Bibliografía[editar | editar a fonte]

Coppel, W.A. (2009). Number theory: An introduction to mathematics. Springer-Verlag. ISBN 9780387894850.
Everest, Graham; Ward, Thomas (2008). An Introduction to Number Theory. Graduate Texts in Mathematics. Springer. p. 37. ISBN 9781852339173.
Hardy, G. H.; Wright, E. M. An Introduction to the Theory of Numbers (6ª ed.). ISBN 978-0199219865.
Jones, Gareth A.; Jones, Josephine M. (1998). Elementary Number Theory. Springer Undergraduate Mathematics Series. Springer. pp. 1-11. ISBN 978-3-540-76197-6.
Redmond, Don (1996). Number Theory: An Introduction. MARCEL DEKKER,. p. 13. ISBN 0-8247-9696-9.

Ligazóns externas[editar | editar a fonte]

"Bézout's Identity" en MathWorld (en inglés)

[FOOTNOTEEverestWard2008-1] Everest et al. 2008.

[FOOTNOTEJonesJones19987-2] Jones & Jones 1998, p. 7.

[3] Bézout, É. (1779). Théorie générale des équations algébriques. Paris, France: Ph.-D. Pierres.

[4] Tignol, Jean-Pierre (2001). Galois' Theory of Algebraic Equations. Singapore: World Scientific. ISBN 981-02-4541-6.

[5] Claude Gaspard Bachet (sieur de Méziriac) (1624). Problèmes plaisants & délectables qui se font par les nombres (2nd ed.). Lyons, France: Pierre Rigaud & Associates. pp. 18–33. Nestas páxinas, Bachet proba (sen ecuacións) "Proposition XVIII. Deux nombres premiers entre eux estant donnez, treuver le moindre multiple de chascun d’iceux, surpassant de l’unité un multiple de l’autre." (Dados dous números primos entre eles, atopar o menor múltiplo de cada un de eles tal que un múltiplo exceda ao outro por unha unidade (1).) Este problema (reescrito, ax - by = 1) é un caso especial da ecuación de Bézout, e foi usada por Bachet para resolver problemas que aparecen na 199 e seguintes.

[6] Maarten Bullynck (February 2009). "Modular arithmetic before C.F. Gauss: Systematizations and discussions on remainder problems in 18th-century Germany" (PDF). Historia Mathematica 36 (1): 48–72. doi:10.1016/j.hm.2008.08.009.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]