Teoría de números alxébricos

Na Galipedia, a Wikipedia en galego.
Saltar ata a navegación Saltar á busca

A teoría de números alxébricos ou teoría alxébrica de números é unha rama da teoría dos números na cal o concepto de número se expande aos números alxébricos, os cales son as raíces dos polinomios con coeficientes racionais.

Un campo de números alxébricos é unha extensión finita (alxébricos) do corpo dos números racionais. O anel dos enteiros dun corpo de números alxébricos é o conxunto dos enteiros en devandito corpo, é dicir, o subconxunto do corpo que consta dos elementos que son raíces de polinomios con coeficientes enteiros.

Pódese ver, e tratar, un corpo de números alxébrico como un análogo dos racionais, e o seu anel de enteiros como un análogo dos enteiros. Agora ben, a analoxía non é perfecta: algunhas das propiedades familiares dos racionais e os enteiros non se conservan, por exemplo, a factorización única. (A teoría de ideais suple en parte a falta de factorización única.)

Os corpos de números alxébricos, así como os corpos de funcións, son chamados corpos globais. Gran parte da teoría pódese desenvolver de maneira paralela para ambos os tipos de obxectos. A localización consiste na pasaxe dun corpo global a un corpo local: no caso dos corpos de funcións, este procedemento consiste simplemente en dirixir a mirada a un punto en particular da superficie ou variedade estudada, e concentrarse en como as funcións se comportan na súa veciñanza inmediata.

Historia[editar | editar a fonte]

Diofanto[editar | editar a fonte]

Portada da obra de Diofanto, Arithmetica.

Os inicios da teoría de números alxébricos pode estudarse ata as ecuacións diofantianas,[1] chamadas así polo matemático Diofanto de Alexandría, que as estudou e desenvolveu métodos para resolver algunhas delas. Un problema típico de Diofanto é atopar dous enteiros x e y tales que a súa suma e a suma dos seus cadrados sexa igual a dous números dados A e B, respectivamente:

As ecuacións diofantianas foron estudadas durante centos de anos. Por exemplo, as solucións á ecuación x2 + y2 = z2 están dadas polas ternas pitagóricas, resoltas polos babilonios (c. 1800 a.C.).[2] Solucións a outras ecuacións lineares como 26x + 65y = 13, poden atoparse co algoritmo de Euclides (arredor do século V a.C.).[3]

Fermat[editar | editar a fonte]

O último teorema de Fermat foi conxecurado por Pierre de Fermat en 1637, mais non se demostrou ate 1995 a pesar dos esforzos dos matemáticos durante 358 anos. O problema estimulou o desenvolvemento da teoría de números alxébricos no século XIX e a demostración da teorema de modularidade no século XX.

Gauss[editar | editar a fonte]

Portada do Disquisitiones Arithmeticae de Carl Friedrich Gauss.

Unha das obras fundadoras da teoría de números alxébricos, as Disquisitiones Arithmeticae é un libro de texto de teoría de números ecrito en latín[4] por Carl Friedrich Gauss en 1798 cando tiña 21 anos e publicada en 1801, aos 24 anos. No libro Gauss achega resultados na teoría de números obtidos por matemáticos como Fermat, Euler, Lagrange e Legendre e engade importantes novos resultados propios. Antes de que as Disquisitiones se publicasen, a teoría de números consistía nunha colección de teoremas illados e conxecturas. Gauss xuntou o traballo dos seus predecesores coa súa obra orixinal nun marco sistemático, completou os ocos, corrixiu demostracións e estendeu a materia de numerosas formas.

As Disquisitiones foron o punto de partida para o traballo doutros matemáticos do século XIX como Ernst Kummer, Peter Gustav Lejeune Dirichlet e Richard Dedekind. Moitas das anotacións dadas por Gauss son anuncios de investigacións propias posteriores, algunhas delas inéditas. Pódense considerar como os xermes das teorías das funcións L e a multiplicación complexa.

Dirichlet[editar | editar a fonte]

Nun par de artigos en 1838 e 1839, Peter Gustav Lejeune Dirichlet probou a primeira fórmula de clase numérica, para formas cuadráticas (posteriormente refinada polo seu estudante Leopold Kronecker). A fórmula, que Jacobi chamou resultado "tocando o máximo da agudeza humana", abriu o camiño para resultados máis xerais dos corpos numéricos.[5] Baseada nas investigacións da estrutura do grupo unidade de corpos cuadráticos, probou o teorema unidade de Dirichlet, resultado fundamental da teoría de números alxébricos.[6]

Usou por primeira vez o principio do pombal, argumento básico de reconto, na demostración dun teorema de aproximación diofantiana, posteriormente chamado teorema de aproximación de Dirichlet. Publicou importantes contribucións ao último teorema de Fermat, para o que probou os casos n = 5 e n = 14, e á lei de reciprocidade bicuadrática.[5] O problema do divisor de Dirichlet, para o que atopou os primeiros resultados, aínda é un problema sen resolver na teoría dos números, a pesar das contibucións posteriores doutros investigadores.

Dedekind[editar | editar a fonte]

O estudo de Richard Dedekind sobre o traballo de Lejeune Dirichlet foi o que o levou ao estudo posterior dos corpos de números alxébricos e dos ideais. En 1863, publicou os traballos de Dirichlet sobre a teoría de números como Vorlesungen über Zahlentheorie ("Leccións sobre teoría de números") sobre o que escribiu:

"Aínda que o libro está baseado nas leccións de Dirichlet, e aínda que o propio Dedekind referiuse ao libro como de Dirichlet, a obra foi enteiramente escrita por Dedekind, a maior parte trala morte de Dirichlet." (Edwards 1983)

As edicións de 1879 e 1894 incluían suplementos que introduciron o concepto de ideal, fundamental para a teoría de aneis.[7] Dedekind definiu un ideal como o subconxunto dun conxunto de números, composto por enteiros alxébricos que satisfai ecuacións polinómicas con coeficientes enteiros. O cencepto evolucionou nas mans de Hilbert e especialmente nas de Emmy Noether. Os ideais xeneralizan os números ideais de Ernst Eduard Kummer, que formaban parte do intento deste de 1843 para probar o teorema de Fermat.

Hilbert[editar | editar a fonte]

Hilbert en 1912.

David Hilbert unificou o campo da teoría de números alxébricos co seu tratado de 1897 Zahlbericht (literalmente, "informe sobre números"). Tamén resolveu un importante problema formulado por Waring en 1770. Empregou demostracións existentes para demostrar que debe haber solucións para o problema en lugar de ofrecer mecanismos para producir as respostas.[8] Fixo tamén conxecturas sobre teoría de corpos. Estes conceptos foron enormemente influentes e a súa propia contribución aparece en nomes como o símbolo de Hilbert. Os resultados foron provados en 1930 co traballo de Teiji Takagi.

Artin[editar | editar a fonte]

Emil Artin estableceu a lei de reciprocidade de Artin nunha serie de artigos (1924; 1927; 1930). Esta lei é un teorema xeral na teoría de números.[9] A expresión "lei de reciprocidade" refírese a unha longa serie de afirmacións da teoría de números que xeneraliza, dende a lei de reciprocidade cuadrática e as leis de reciprocidade de Eisenstein e Kummer á fórmula do produto de Hilbert para a norma símbolo. O resultado de Artin dá unha solución parcial ao noveno problema de Hilbert.

Teoría moderna[editar | editar a fonte]

Arredor de 1955, os matemáticos xaponeses Goro Shimura e Yutaka Taniyama observou a posible relación entre dúas ramas das matemáticas aparentemente distintas, as curvas elípticas e as formas modulares. O resultante teorema da modularidade, coñecido nese momento como conxectura de Taniyama–Shimura, afirma que toda curva elíptica é modular, o que quere dicir que pode asociarse cunha única forma modular.

Isto foi inicialmente desbotado como altamente especulativo, mais foi tomado máis en serio cando o teórico dos números André Weil atopou evidencias que o apoiaban, mais non unha demostración; con este sorprendente resultado[10] a conxectura era coñecida como conxectura de Taniyama–Shimura-Weil. Converteuse nunha parte do programa Langlands, listaxe de importantes conxecturas que necesitan ser comprobadas.

Entre 1993 e 1994, Andrew Wiles deu unha demostración para o teorema da modularidade para curvas elípticas semiestables, que xunto co teorema de Ribet proporcionou unha proba para o último teorema de Fermat. Wiles anunciou por primeira vez a súa demostración en xuño de 1993[11] nunha versión que axiña se comprobou que tiña un problema nun punto clave. A demostración foi corrixida por Wiles, en parte en colaboración con Richard Taylor, e a versión final amplamente aceptada foi presentada en setembro de 1994 e publicada formalmente en 1995. A proba usa moitas técnicas da xeometría alxébrica e a teoría de números e ten moitas ramificacións nestas ramas das matemáticas. Tamén emprega construcións típicas da xeometría alxébrica moderna como a categoría dos esquemas e a teoría de Iwasawa, así como outras técnicas do século XX non dispoñibles para Fermat.

Notas[editar | editar a fonte]

  1. Stark, pp. 145–146.
  2. Aczel, pp. 14–15.
  3. Stark, pp. 44–47.
  4. Disquisitiones Arithmeticae at Yalepress.yale.edu
  5. 5,0 5,1 Elstrodt, Jürgen (2007). "The Life and Work of Gustav Lejeune Dirichlet (1805–1859)" (PDF). Clay Mathematics Proceedings. Consultado o 25-12-2007. 
  6. Kanemitsu, Shigeru; Chaohua Jia (2002). Number theoretic methods: future trends. Springer. pp. 271–274. ISBN 978-1-4020-1080-4. 
  7. O vocábulo "anel" non aparece na obra de Dedekind, foi introducido porsteriormente por Hilbert.
  8. Reid, Constance, 1996. Hilbert, Springer, 0-387-94674-8.
  9. Helmut Hasse, History of Class Field Theory, in Algebraic Number Theory, edited by Cassels and Frölich, Academic Press, 1967, pp. 266–279
  10. Fermat's Last Theorem, Simon Singh, 1997, 1-85702-521-0>
  11. Kolata, Gina (24 de xuño de 1993). "At Last, Shout of 'Eureka!' In Age-Old Math Mystery". The New York Times. Consultado o 21 de xaneiro de 2013. 

Véxase tamén[editar | editar a fonte]

Bibliografía[editar | editar a fonte]