Terna pitagórica
Unha terna pitagórica consta de tres números enteiros positivos a, b e c, de tal forma que a2 + b2 = c2. Tal terna escríbese habitualmente (a, b, c), un exemplo coñecido é (3, 4, 5). Se (a, b, c) é unha terna pitagórica, entón tamén o é (ka, kb, kc) para calquera número enteiro positivo k. Un triángulo cuxos lados son unha terna pitagórica é un triángulo rectángulo e chámase triángulo pitagórico.
Unha terna pitagórica primitiva é aquela na que a, b e c son coprimos (é dicir, non teñen un divisor común maior que 1).[1] Por exemplo, (3, 4, 5) é unha terna pitagórica primitiva mentres que (6, 8, 10) non o é.
Procurar solucións enteiras da ecuación a2 + b2 = c2 é unha ecuación diofantiana. Así, as ternas pitagóricas están entre as solucións máis antigas coñecidas dunha ecuación diofántiana non linear.
Exemplos[editar | editar a fonte]
Hai 16 ternas pitagóricas primitivas de números por debaixo de 100:
(3, 4, 5) | (5, 12, 13) | (8, 15, 17) | (7, 24, 25) |
(20, 21, 29) | (12, 35, 37) | (9, 40, 41) | (28, 45, 53) |
(11, 60, 61) | (16, 63, 65) | (33, 56, 65) | (48, 55, 73) |
(13, 84, 85) | (36, 77, 85) | (39, 80, 89) | (65, 72, 97) |
Xerando unha terna[editar | editar a fonte]
A fórmula de Euclides é unha fórmula fundamental para xerar ternas pitagóricas dado un par arbitrario de números enteiros m e n con m > n > 0. A fórmula indica que os números enteiros
forman unha terna pitagórica. Por exemplo, dado
xera a terna primitiva (36,77,85):
A terna xerada pola fórmula de Euclides é primitiva se e só se m e n son coprimos e exactamente un deles é par.[2]
Malia xerar todas as ternas primitivas, a fórmula de Euclides non produce todas as ternas; por exemplo, (9, 12, 15) non se pode xerar usando os números enteiros m e n. Pódense conseguir todas incluíndo un parámetro:
Escoller m e n entre certas secuencias enteiras dá resultados interesantes. Por exemplo, se m e n son números de Pell consecutivos, a e b diferirán en 1.
Propiedades elementais das ternas pitagóricas primitivas[editar | editar a fonte]
As propiedades dunha terna pitagórica primitiva (a, b, c) con a < b < c (sen especificar cal de a ou b é par e cal é impar) inclúen:
- é sempre un cadrado perfecto.[3]
- Como moito un entre a, b e c é un cadrado.[4]
- A area dun triángulo pitagórico non pode ser un cadrado nen dúas veces un cadrado dun enteiro[5]:p. 17 [5]:p. 21.
- Exactamente un de a ou b é divisible por 2 (é par), e a hipotenusa c é sempre impar.[6]
- Exactamente un de a ou b é divisible por 3, mais nunca c.[7][6]:23–25
- Exactamente un de a ou b é divisible por 4, mais nunca c.[6]
- Exactamente un de a, b ou c é divisible por 5.[6]
- The largest number that always divides abc is 60.[8]
- Calquera número impar da forma 2m+1, onde m é un número enteiro e m>1 , pode ser a pata impar dunha terna pitagórica primitiva. Porén, só os números pares divisibles por 4 poden ser o cateto par dunha terna pitagórica primitiva. Isto débese a que a fórmula de Euclides para o cateto par dada enriba é 2mn e unha de entre m ou n debe ser igual.
- A hipotenusa c (que é sempre impar) é a suma de dous cadrados. Isto require que os seus factores sexan todos da forma . Por tanto, c é da forma 4k + 1. A secuencia de números posibles da hipotenusa pode verse en (secuencia A008846 na OEIS).
- A área (K = ab/2) é un número divisible por 6.
- Non hai triángulos pitagóricos nos que a hipotenusa e un cateto sexan catetos doutro triángulo pitagórico; esta é unha das formas equivalentes do teorema do triángulo rectángulo de Fermat.[5]:p. 14
- Cada triángulo pitagórico primitivo ten unha proporción de área, K, a semiperímetro cadrado, s, que é única para si e vén dada por[9]
- Ningún triángulo pitagórico primitivo ten unha altitude enteira a partir da hipotenusa. [10]
- Ningún dos ángulos agudos dun triángulo pitagórico pode ser un número racional en graos[11],(isto ven dado polo teorema de Niven.)
Xeometría da fórmula de Euclides[editar | editar a fonte]
Puntos racionais na circunferencia unitaria[editar | editar a fonte]
A fórmula de Euclides para unha terna pitagórica
pódese entender en termos da xeometría dos puntos racionais na círcunferencia unitaria (Trautman 1998).
Isto fai que cada punto racional do eixo x pasa a un punto racional da circunferencia unitaria. Ao contrario, que cada punto racional da circunferencia unitaria procede de tal punto do eixo x. Supoña que P(x, y) é un punto da circunferencia unitaria con x e y números racionais. Entón o punto P′ obtido por proxección estereográfica sobre o eixo x ten coordenadas
A circunferencia unitaria tamén se pode definir mediante unha ecuación paramétrica
A fórmula de Euclides para as ternas pitagóricas e a relación inversa t = y / (x + 1) significan que, agás (−1, 0), un punto (x, y) da circunferencia é racional se e só se o valor correspondente de t é un número racional. Teña en conta que t = y / (x + 1) = b / (a + c) = n / m tamén é a tanxente do ángulo metade oposto ao lado do triángulo de lonxitude b.
Aproximación estereográfica[editar | editar a fonte]
Hai unha correspondencia entre os puntos da circunferencia unitaria con coordenadas racionais e as ternas pitagóricas primitivas. Neste punto, as fórmulas de Euclides pódense derivar mediante métodos de trigonometría ou de forma equivalente usando a proxección estereográfica.
Para o enfoque estereográfico, supoña que P′ é un punto no eixo x con coordenadas racionais
Daquela, pódese demostrar mediante álxebra básica que o punto P ten coordenadas
que é racional.
En termos de xeometría alxébrica, a variedade alxébrica de puntos racionais na circunferencia unitaria é biracional á liña afín sobre os números racionais. A circunferencia unitaria chámase así unha curva racional, e é este feito o que permite unha parametrización explícita dos puntos (número racional) sobre ela por medio de funcións racionais.
Espinors e o grupo modular[editar | editar a fonte]
As ternas pitagóricas tamén se poden codificar nunha matriz cadrada da forma
Unha matriz desta forma é simétrica con determinante
que é cero precisamente cando (a,b,c) é unha terna pitagórica. Se X corresponde a unha terna pitagórica, entón como matriz debe ter rango 1.
Dado que X é simétrico, dun resultado en álxebra linear dedúcese que hai un vector columna ξ = [m n]T tal que o produto externo
-
(1)
cúmprese. Dado que ξ e -ξ producen a mesma terna pitagórica, o vector ξ pódese considerar un espinor (para o grupo de Lorentz SO(1, 2)). En termos abstractos, a fórmula de Euclides significa que cada terna pitagórica primitiva pode escribirse como o produto exterior consigo mesmo dun espinor con entradas enteiras, como en (1).
O grupo modular Γ é o conxunto de matrices 2×2 con coeficientes enteiros
con determinante igual a un: αδ − βγ = 1. O grupo modular actúa sobre a colección de todos os espinors enteiros. Ademais, o grupo é transitivo na colección de espinors enteiros con entradas coprimas. Pois se [m n]T ten coeficientes coprimos, entón
onde se seleccionan u e v (mediante o algoritmo de Euclides) para que cumpran mu + nv = 1.
Ao actuar sobre o espinor ξ en (1), a acción de Γ pasa a ser unha acción sobre as ternas pitagóricas, sempre que se permitan ternas con compoñentes posiblemente negativas. Así, se A é unha matriz en Γ, entón
-
(2)
dá lugar a unha acción sobre a matriz X en (1).
Alternativamente, podemos restrinxir a acción a aqueles valores de m e n para os que m é impar e n é par. Sexa o subgrupo Γ(2) de Γ o kernel do homomorfismo de grupo
onde SL(2,Z2) é o grupo linear especial sobre o corpo finito Z2 de enteiros módulo 2. Entón Γ(2) é o grupo de transformacións unimodulares que conservan a paridade de cada entrada. Así, se a primeira entrada de ξ é impar e a segunda é par, entón o mesmo ocorre con Aξ para todo A ∈ Γ(2). De feito, baixo a acción (2), o grupo Γ(2) actúa transitivamente sobre a colección das ternas pitagóricas primitivas (Alperin 2005).
Así temos que o grupo Γ(2) é o grupo libre cuxos xeradores son as matrices
En consecuencia, cada terna pitagórica primitiva pode obterse dun xeito único como produto das copias das matrices U e L.
Relación cos enteiros gaussianos[editar | editar a fonte]
Se consideramos o cadrado dun número enteiro gaussiano, obtemos a seguinte interpretación directa da fórmula de Euclides como a representación dun cadrado perfecto dun enteiro gaussiano.
Usando os feitos de que os enteiros gaussianos son un dominio euclidiano e que para un enteiro gaussiano p, é sempre un cadrado, é posible demostrar que unha terna pitagórica corresponde ao cadrado dun primo enteiro gaussiano se a hipotenusa é un número primo.
Se o número enteiro gaussiano non é primo, entón é o produto de dous enteiros gaussianos p e q con e enteiros. Dado que as magnitudes se multiplican nos enteiros gaussianos, o produto debe ser , que cando se eleva ao cadrado para atopar unha terna pitagórica debe ser composto. O contrapositivo completa a proba.
Ecuacións relacionadas[editar | editar a fonte]
Ecuación de Jacobi–Madden[editar | editar a fonte]
é equivalente á terna especial Pitagórica,
Hai un número infinito de solucións a esta ecuación xa que a resolución das variables implica unha curava elíptica. Algunhas solucións pequenas,
Sumas iguais de dous cadrados[editar | editar a fonte]
Un xeito de xerar solucións a é parametrizar a, b, c, d en termos de enteiros m, n, p, q como segue:[12]
Teorema do círculo de Descartes[editar | editar a fonte]
Para o caso do Teorema do círculo de Descartes onde todas as variables son cadrados,
Euler demostrou que isto é equivalente a tres ternas pitagóricas simultáneas,
Tamén hai un número infinito de solucións, e para o caso especial cando , a ecuación simplifícase a:
con solucións pequenas como e pódense resolver como formas cadráticas binarias.
Ternas do triángulo de Herón[editar | editar a fonte]
- Artigo principal: triángulo de Herón.
Un triángulo de Herón defínese habitualmente como aquel con lados enteiros cuxa área tamén é un número enteiro. As lonxitudes dos lados deste triángulo forman unha terna de Herón (a, b, c) con a ≤ b ≤ c. Toda terna pitagórica é unha terna de Herón, porque na terna pitagórica polo menos un dos catetos a, b debe ser par, polo que a área ab/2 é un número enteiro. Non toda terna de Herón é unha terna pitagórica, como mostra o exemplo (4, 13, 15) de área 24.
Se (a, b, c) é unha terna de Herón, tamén o é (ka, kb, kc) onde k é calquera número enteiro positivo; a súa área será o número enteiro que é k2 veces a área enteira do triángulo (a, b, c). A terna de Herón (a, b, c) é primitiva cando a, b, ' 'c son coprimos en conxunto,(non é necesario que sexan coprimos por parellas). Aquí vemos algunhas das ternas de Herón primitivas máis simples que non son ternas pitagóricas:
- (4, 13, 15) con área 24
- (3, 25, 26) con área 36
- (7, 15, 20) con área 42
- (6, 25, 29) con área 60
- (11, 13, 20) con área 66
Pola fórmula de Herón, a condición adicional para que unha terna de números enteiros positivos (a, b, c) con a < b < c sexa terna de Herón é que
- (a2 + b2 + c2)2 − 2(a4 + b4 + c4)
ou equivalentemente
- 2(a2b2 + a2c2 + b2c2) − (a4 + b 4 + c4)
sexa un cadrado perfecto distinto de cero divisíbel por 16.
Notas[editar | editar a fonte]
- ↑ Long (1972)
- ↑ Mitchell, Douglas W. (July 2001). An Alternative Characterisation of All Primitive Pythagorean Triples. The Mathematical Gazette 85. pp. 273–5. JSTOR 3622017. doi:10.2307/3622017.
- ↑ Posamentier, Alfred S. (2010). The Pythagorean Theorem: The Story of Its Power and Beauty. Prometheus Books. p. 156. ISBN 9781616141813..
- ↑ Para a non existencia de solucións cando a and b son ambos os dous cadrados, orixinalmente probado por Fermat, ver Koshy, Thomas (2002). Elementary Number Theory with Applications. Academic Press. p. 545. ISBN 9780124211711..
- ↑ 5,0 5,1 5,2 Carmichael, Robert D. (1915). Diophantine Analysis. John Wiley & Sons.
- ↑ 6,0 6,1 6,2 6,3 Sierpiński, Wacław (2003). Pythagorean Triangles. Dover. ISBN 978-0-486-43278-6.
- ↑ Proceedings of the Southeastern Conference on Combinatorics, Graph Theory, and Computing, Volume 20. Utilitas Mathematica Pub. 1990. p. 141. ISBN 9780919628700.
- ↑ MacHale, Des. Generalising a result about Pythagorean triples.
- ↑ Rosenberg, Steven; Spillane, Michael; Wulf, Daniel B. (May 2008). Heron triangles and moduli spaces. Mathematics Teacher 101. pp. 656–663. doi:10.5951/MT.101.9.0656.
- ↑ Yiu, Paul (2008). Heron triangles which cannot be decomposed into two integer right triangles (PDF). 41st Meeting of Florida Section of Mathematical Association of America. p. 17.
- ↑ Weisstein, Eric W., "Rational Triangle", MathWorld
- ↑ Nahin, Paul J. (1998). An Imaginary Tale: The Story of sqrt{-1}. Princeton, New Jersey: Princeton University Press. pp. 25–26. ISBN 0-691-02795-1. MR 1645703.
Véxase tamén[editar | editar a fonte]
Bibliografía[editar | editar a fonte]
- Alperin, Roger C. (2005). The modular tree of Pythagoras (PDF). American Mathematical Monthly 112. pp. 807–816. JSTOR 30037602. MR 2179860. doi:10.2307/30037602.
- Berggren, B. (1934). Pytagoreiska trianglar. Tidskrift för Elementär Matematik, Fysik och Kemi (en sueco) 17. pp. 129–139.
- Barning, F.J.M. (1963). Over pythagorese en bijna-pythagorese driehoeken en een generatieproces met behulp van unimodulaire matrices (PDF). Math. Centrum Amsterdam Afd. Zuivere Wisk. (en neerlandés). ZW-011. p. 37.
- Eckert, Ernest (1992). Primitive Pythagorean triples. The College Mathematics Journal 23. pp. 413–417. JSTOR 2686417. doi:10.2307/2686417.
- Elkies, Noam. Pythagorean triples and Hilbert's theorem 90 (PDF).
- Heath, Thomas (1956). The Thirteen Books of Euclid's Elements Vol. 1 (Books I and II) (2nd ed.). Dover Publications. ISBN 978-0-486-60088-8.
- Long, Calvin T. (1972). Elementary Introduction to Number Theory (2nd ed.). Lexington: D. C. Heath and Company. LCCN 77171950.
- Martin, Artemas (1875). Rational right angled triangles nearly isosceles. The Analyst 3. pp. 47–50. JSTOR 2635906. doi:10.2307/2635906.
- McCullough, Darryl (2005). Height and excess of Pythagorean triples (PDF). Mathematics Magazine 78. pp. 26–44. doi:10.1080/0025570X.2005.11953298.
- Romik, Dan (2008). The dynamics of Pythagorean triples (PDF). Trans. Amer. Math. Soc. 360. pp. 6045–6064. MR 2425702. arXiv:math.DS/0406512. doi:10.1090/S0002-9947-08-04467-X.
- Teigen, M.G.; Hadwin, D.W. (1971). On Generating Pythagorean Triples. The American Mathematical Monthly 78. pp. 378–379. JSTOR 2316903. doi:10.2307/2316903.
- Trautman, Andrzej (1998). "Pythagorean spinors and Penrose twistors". En S.A. Hugget; L.J. Mason; K.P. Tod; S.T. Tsou; N.M.J. Woodhouse. Geometric universe (Postscript).
Outros artigos[editar | editar a fonte]
Ligazóns externas[editar | editar a fonte]
- Clifford Algebras and Euclid's Parameterization of Pythagorean triples
- Curious Consequences of a Miscopied Quadratic
- Discussion of Properties of Pythagorean triples, Interactive Calculators, Puzzles and Problems
- Generating Pythagorean Triples Using Arithmetic Progressions
- "Pythagorean numbers". Encyclopedia of Mathematics. EMS Press. 2001 [1994].
- Interactive Calculator for Pythagorean Triples
- The negative Pell equation and Pythagorean triples
- Parameterization of Pythagorean Triples by a single triple of polynomials
- Price, H. Lee (2008), The Pythagorean Tree: A New Species, arXiv:0809.4324
- Pythagorean Triples and the Unit Circle, chap. 2–3, in "A Friendly Introduction to Number Theory" by Joseph H. Silverman, 3rd ed., 2006, Pearson Prentice Hall, Upper Saddle River, NJ, ISBN 0-13-186137-9
- Pythagorean Triples at cut-the-knot Interactive Applet showing unit circle relationships to Pythagorean Triples
- Pythagorean Triplets
- The Remarkable Incircle of a Triangle
- Solutions to Quadratic Compatible Pairs in relation to Pythagorean Triples
- Theoretical properties of the Pythagorean Triples and connections to geometry
- The Trinary Tree(s) underlying Primitive Pythagorean Triples at cut-the-knot
- Weisstein, Eric W., "Pythagorean Triple", MathWorld