Aproximación diofantiana

Mellores aproximacións racionais para π (círculo verde), e (rombo azul), ϕ (oblongo rosa), (√3)/2 (hexágono gris) , 1/√2 (octágono vermello) e 1/√3 (triángulo laranxa) calculados a partir das súas expansións de fracción continua, representadas como pendentes y/x con erros dos seus verdadeiros valores (trazos negros)  

En teoría de números, o estudo da aproximación diofantiana ou diofantina trata sobre a aproximación de números reais por números racionais. Leva o nome de Diofanto de Alexandría.

O primeiro problema foi saber o ben que se pode aproximar un número real mediante números racionais. Para este problema, un número racional p/q é unha "boa" aproximación dun número real α se o valor absoluto da diferenza entre p/q e α pode non diminuír se p/q se substitúe por outro número racional cun denominador menor. Este problema resolveuse durante o século XVIII mediante fraccións continuas simples.

Coñecendo as "mellores" aproximacións dun número dado, o principal problema do campo é atopar límites superiores e inferiores nítidos da diferenza anterior, expresados en función do denominador.

Se definimos a medida de irracionalidade como unha función $\mu (x)$ que cumpre a desigualdade:

$0<\left|x-{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{q^{\mu }}}$

daquela temos unha clasificación dos tipos de números en función de dita medida:

• Se $\mu (x)=1,x\$ é racional.
• Se $\mu (x)=2,x\$ é alxébrico de grao > 1.
• Se $\mu (x)\geq 2,x\$ é transcendental.

A medalla Fields de 2022 foi concedida a James Maynard, en parte polo seu traballo sobre a aproximación diofantiana.

Mellores aproximacións diofantianas dun número real

Dado un número real α, hai dúas formas de definir unha mellor aproximación diofantiana de α. Para a primeira definición, o número racional p/q é a mellor aproximación diofantiana de α se

$\left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<\left|\alpha -{\frac {p'}{q'}}\right|,$

para cada número racional p'/q' diferente de p/q tal que 0 < q′ ≤ q .

Para a segunda definición, substitúese a desigualdade anterior por

$\left|q\alpha -p\right|<\left|q^{\prime }\alpha -p^{\prime }\right|.$

Unha mellor aproximación para a segunda definición tamén é unha mellor aproximación para a primeira, pero o contrario non é certo en xeral.

A teoría das fraccións continuas permítenos calcular as mellores aproximacións dun número real: para a segunda definición, son os converxentes da súa expresión como fracción continua regular. Para a primeira definición, hai que considerar tamén os semiconverxentes.

Medida da precisión das aproximacións

A medida obvia da precisión dunha aproximación diofantiana dun número real α por un número racional p/q é ${\textstyle \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|.}$ Porén, esta cantidade sempre pode facerse arbitrariamente pequena aumentando os valores absolutos de p e q; así, a precisión da aproximación adoita estimarse comparando esta cantidade con algunha función φ do denominador q, normalmente unha potencia negativa da mesma.

Para tal comparación, pódense querer límites superiores ou límites inferiores da precisión.

Un límite inferior é normalmente descrito por un teorema como "para cada elemento α dalgún subconxunto dos números reais e cada número racional p/q, temos ${\textstyle \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|>\phi (q)}$". Nalgúns casos, "cada número racional" pode ser substituído por "todos os números racionais excepto un número finito deles", o que supón multiplicar $\phi$ por algunha constante dependendo de α.

Para os límites superiores, hai que ter en conta que non todas as "mellores" aproximacións diofantianas proporcionadas polos converxentes poden ter a precisión desexada. Polo tanto, os teoremas toman a forma "para cada elemento α dalgún subconxunto dos números reais, hai infinitos números racionais p/q tal que ${\textstyle \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<\phi (q)}$".

Números mal aproximábeis

Un número mal aproximábel é un x para o cal hai unha constante positiva c tal que para todo p/q racional temos

$\left|{x-{\frac {p}{q}}}\right|>{\frac {c}{q^{2}}}\ .$

Os números mal aproximábeis son precisamente aqueles con cocientes parciais limitados.

De forma equivalente, un número é mal aproximábel se e só se a súa constante de Markov é finita e a súa fracción continua simple está limitada.

Límites inferiores para aproximacións diofantianas

Aproximación dun racional por outros racionais

Un número racional ${\textstyle \alpha ={\frac {a}{b}}}$ pode ser obvia e perfectamente aproximada por ${\textstyle {\frac {p_{i}}{q_{i}}}={\frac {i\,a}{i\,b}}}$ para todo número enteiro positivo i.

Se ${\textstyle {\frac {p}{q}}\not =\alpha ={\frac {a}{b}}\,,}$ temos

$\left|{\frac {a}{b}}-{\frac {p}{q}}\right|=\left|{\frac {aq-bp}{bq}}\right|\geq {\frac {1}{bq}},$

como $|aq-bp|$ é un número enteiro positivo e, polo tanto, non é inferior a 1. Así, a precisión da aproximación é ruín en relación aos números irracionais (ver seccións seguintes).

Pódese sinalar que a demostración anterior usa unha variante do principio do pombal: un enteiro non negativo que non é 0 non é menor que 1. Esta observación aparentemente trivial úsase en case todas as probas de límites inferiores para aproximacións diofantianas, mesmo nas máis sofisticadas.

En resumo, un número racional é perfectamente aproximado por si mesmo, mais é mal aproximado por calquera outro número racional.

Aproximación de números alxébricos, resultado de Liouville

Na década de 1840, Joseph Liouville obtivo o primeiro límite inferior para a aproximación de números alxébricos: Se x é un número alxébrico irracional de grao n sobre os números racionais, existe unha constante c(x) > 0 tal que

$\left|x-{\frac {p}{q}}\right|>{\frac {c(x)}{q^{n}}}$

cúmprese para todos os números enteiros p e q onde q > 0.

Este resultado permitiulle producir o primeiro exemplo probado dun número transcendental, a constante de Liouville

$\sum _{j=1}^{\infty }10^{-j!}=0.110001000000000000000001000\ldots \,,$

que non cumpre o teorema de Liouville, calquera grao n que se escolla.

Este vínculo entre as aproximacións diofantianas e a teoría de números transcendentais continúa ata os nosos días. Moitas das técnicas de proba compártense entre as dúas áreas.

Aproximación de números alxébricos, teorema de Thue-Siegel-Roth

Durante máis dun século, houbo moitos esforzos para mellorar o teorema de Liouville: cada mellora do límite permítenos demostrar que máis números son transcendentais. As principais melloras débense a Axel Thue (1909), Siegel (1921), Freeman Dyson (1947) e Klaus Roth (1955), que conduce finalmente ao teorema de Thue-Siegel-Roth: se x é un número alxébrico irracional e ε > 0, entón existe un número real positivo c(x, ε) tal que

$\left|x-{\frac {p}{q}}\right|>{\frac {c(x,\varepsilon )}{q^{2+\varepsilon }}}$

cúmprese para todo número enteiro p e q tal que q > 0.

En certo sentido, este resultado é óptimo, xa que o teorema sería falso con ε = 0. Esta é unha consecuencia inmediata dos límites superiores descritos a continuación.

Aproximacións simultáneas de números alxébricos

Posteriormente, Wolfgang M. Schmidt xeneralizou isto ao caso das aproximacións simultáneas, demostrando que: Se x₁, ..., x_n son números alxébricos tal que 1, x₁, ..., x_n son linearmente independentes sobre os números racionais e ε é calquera número real positivo dado, entón só hai un número finito n-tuplas racionais (p₁/q, ..., p_n/q) tal que

$\left|x_{i}-{\frac {p_{i}}{q}}\right|<q^{-(1+1/n+\varepsilon )},\quad i=1,\ldots ,n.$

De novo, este resultado é óptimo no sentido de que non se pode eliminar ε do expoñente.

Límites superiores para aproximacións diofantianas

Límite superior xeral

O primeiro resultado importante sobre os límites superiores das aproximacións diofantianas é o teorema de aproximación de Dirichlet, que implica que, para cada número irracional α, hai infinitas fraccións ${\tfrac {p}{q}}\;$ tal que

$\left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{q^{2}}}\,.$

Isto implica inmediatamente que non se pode suprimir o ε no enunciado do teorema de Thue-Siegel-Roth.

Adolf Hurwitz (1891) reforzou este resultado, demostrando que para cada número irracional α, hai infinitas fraccións ${\tfrac {p}{q}}\;$ tal que

$\left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{{\sqrt {5}}q^{2}}}\,.$

Polo tanto, ${\frac {1}{{\sqrt {5}}\,q^{2}}}$ é un límite superior para as aproximacións diofantianas de calquera número irracional. É posíbel que a constante deste resultado non se mellore aínda máis sen excluír algúns números irracionais (ver máis abaixo).

Émile Borel (1903) demostrou que, de feito, tendo en conta calquera número irracional α, e dados tres converxentes consecutivas de α, polo menos un debe satisfacer a desigualdade dada no Teorema de Hurwitz.

Números reais equivalentes

Definición: dous números reais $x,y$ chámanse equivalentes se hai números enteiros $a,b,c,d\;$ con $ad-bc=\pm 1\;$ tal que:

$y={\frac {ax+b}{cx+d}}\,.$

Polo tanto, a equivalencia está definida por unha transformación de Möbius enteira sobre os números reais, ou por un membro do grupo Modular ${\text{SL}}_{2}^{\pm }(\mathbb {Z} )$, que é o conxunto de matrices 2 × 2 invertíbeis sobre os enteiros. Todo número racional é equivalente a 0; así os números racionais son unha clase de equivalencia para esta relación.

A equivalencia pódese ler na representación de fracción continua regular, como mostra o seguinte teorema de Serret:

Teorema: dous números irracionais x e y son equivalentes se e só se existen dous enteiros positivos h e k tal que as representacións da fracción continua regular de x e y

${\begin{aligned}x&=[u_{0};u_{1},u_{2},\ldots ]\,,\\y&=[v_{0};v_{1},v_{2},\ldots ]\,,\end{aligned}}$

satisfán

$u_{h+i}=v_{k+i}$

para todo enteiro non negativo i.

Así, agás unha secuencia inicial finita, os números equivalentes teñen a mesma representación de fracción continua.

Os números equivalentes son aproximábeis no mesmo grao, no sentido de que teñen a mesma constante de Markov.

Distribución uniforme

Outro tema que experimentou un desenvolvemento profundo é a teoría da distribución uniforme mod 1. Tome unha secuencia a₁, a₂ ,... de números reais e considere as súas partes fraccionais. É dicir, de xeito máis abstracto, a secuencia en $\mathbb {R} /\mathbb {Z}$, que é un círculo. Para calquera intervalo I no círculo observamos a proporción dos elementos da secuencia que se atopan nel, ata algún número enteiro N, e comparámola coa proporción da circunferencia ocupada por I. A distribución uniforme significa que no límite, a medida que N medra, a proporción de acertos no intervalo tende ao valor "esperado". Hermann Weyl demostrou un criterio básico que mostra que isto equivale aos límites das sumas exponenciais formadas a partir da secuencia. Isto mostrou que os resultados da aproximación diofantiana estaban intimamente relacionados co problema xeral da cancelación en sumas exponenciais, que ocorre en toda a teoría analítica de números na delimitación dos termos de erro.

Relacionado coa distribución uniforme está o tema das irregularidades das distribucións, que é de natureza combinatoria.

Algoritmos

Grotschel, Lovasz e Schrijver describen algoritmos para atopar aproximadamente as mellores aproximacións diofantianas, tanto para números reais individuais como para conxuntos de números reais. Este último problema chámase aproximación diofantiana simultánea.

Problemas sen resolver

Aínda fican problemas sen resolver na aproximación diofantiana, por exemplo a conxectura de Littlewood e a conxectura do corredor solitario. Tamén se descoñece se hai números alxébricos con coeficientes ilimitados na súa expansión de fracción continua.

Desenvolvementos recentes

No seu discurso plenario no Congreso Internacional de Matemáticas de Kioto (1990), Grigory Margulis describiu un amplo programa baseado na teoría ergódica que permite probar resultados da teoría de números utilizando as propiedades dinámicas e ergódicas das accións de subgrupos de grupos de Lie semisimples. O traballo de D. Kleinbock, G. Margulis e os seus colaboradores demostraron o poder desta nova aproximación aos problemas clásicos na aproximación diofantiana. Entre os seus éxitos notábeis atópanse a proba por Margulis da conxectura de Oppenheim, con extensións posteriores de Dani e Margulis e Eskin-Margulis-Mozes, e a proba das conxecturas de Baker e Sprindzhuk nas aproximacións diofantianas sobre variedades de Kleinbock e Margulis. Neste marco tamén se obtiveron varias xeneralizacións dos resultados anteriores de Aleksandr Khinchin na aproximación métrica diofantiana.

Véxase tamén

Bibliografía

• Beresnevich, Victor; Velani, Sanju (2006). "A mass transference principle and the Duffin-Schaeffer conjecture for Hausdorff measures". Annals of Mathematics 164 (3): 971–992. Zbl 1148.11033. arXiv:math/0412141. doi:10.4007/annals.2006.164.971. 
• Bernik, V.; Beresnevich, V.; Götze, F.; Kukso, O. (2013). "Distribution of algebraic numbers and metric theory of Diophantine approximation". En Eichelsbacher, Peter; Elsner, Guido; Kösters, Holger; Löwe, Matthias; Merkl, Franz; Rolles, Silke. Limit Theorems in Probability, Statistics and Number Theory: In Honor of Friedrich Götze. Springer Proceedings in Mathematics & Statistics 42. Heidelberg: Springer. pp. 23–48. ISBN 978-3-642-36067-1. MR 3079136. doi:10.1007/978-3-642-36068-8_2. 
• Bugeaud, Yann (2012). Distribution modulo one and Diophantine approximation. Cambridge Tracts in Mathematics 193. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-11169-0. Zbl 1260.11001. 
• Cassels, J. W. S. (1957). An introduction to Diophantine approximation. Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics 45. Cambridge University Press. 
• Duffin, R. J.; Schaeffer, A. C. (1941). "Khintchine's problem in metric diophantine approximation". Duke Mathematical Journal 8 (2): 243–255. ISSN 0012-7094. Zbl 0025.11002. doi:10.1215/s0012-7094-41-00818-9. 
• Dyson, Freeman J. (1947). "The approximation to algebraic numbers by rationals". Acta Mathematica 79: 225–240. ISSN 0001-5962. MR 0023854. Zbl 0030.02101. doi:10.1007/BF02404697. 
• Hardy, G. H.; Wright, E. M. (1979). An Introduction to the Theory of Numbers (5th ed.). Oxford University Press. ISBN 978-0-19-853170-8. MR 568909. 
• Hurwitz, A. (1891). "Ueber die angenäherte Darstellung der Irrationalzahlen durch rationale Brüche" [On the approximate representation of irrational numbers by rational fractions]. Mathematische Annalen (en alemán) 39 (2): 279–284. MR 1510702. doi:10.1007/BF01206656. 
• Khinchin, A. Ya. (1997) [1964]. Continued Fractions. Dover. ISBN 0-486-69630-8. 
• Kleinbock, D. Y.; Margulis, G. A. (1998). "Flows on homogeneous spaces and Diophantine approximation on manifolds". Ann. Math. 148 (1): 339–360. Bibcode:1998math.....10036K. JSTOR 120997. MR 1652916. Zbl 0922.11061. arXiv:math/9810036. doi:10.2307/120997. 
• Lang, Serge (1995). Introduction to Diophantine Approximations (New expanded ed.). Springer-Verlag. ISBN 0-387-94456-7. Zbl 0826.11030. 
• Margulis, G. A. (2002). "Diophantine approximation, lattices and flows on homogeneous spaces". En Wüstholz, Gisbert. A panorama of number theory or the view from Baker's garden. Cambridge: Cambridge University Press. pp. 280–310. ISBN 0-521-80799-9. MR 1975458. 
• Perron, Oskar (1913). Die Lehre von den Kettenbrüchen [The Theory of Continued Fractions] (en alemán). Leipzig: B. G. Teubner. 
• Perron, Oskar (1929). Die Lehre von den Kettenbrüchen [The Theory of Continued Fractions] (en alemán) (2nd ed.). Chelsea. 
• Roth, Klaus Friedrich (1955). "Rational approximations to algebraic numbers". Mathematika 2: 1–20, 168. ISSN 0025-5793. MR 0072182. Zbl 0064.28501. doi:10.1112/S0025579300000644. 
• Schmidt, Wolfgang M. (1980). Diophantine approximation. Lecture Notes in Mathematics 785 (1996 ed.). Berlin-Heidelberg-New York: Springer-Verlag. ISBN 3-540-09762-7. Zbl 0421.10019. 
• Schmidt, Wolfgang M. (1996). Diophantine approximations and Diophantine equations. Lecture Notes in Mathematics 1467 (2nd ed.). Springer-Verlag. ISBN 3-540-54058-X. Zbl 0754.11020. 
• Siegel, Carl Ludwig (1921). "Approximation algebraischer Zahlen". Mathematische Zeitschrift 10 (3): 173–213. ISSN 0025-5874. doi:10.1007/BF01211608. 
• Sprindzhuk, Vladimir G. (1979). Metric theory of Diophantine approximations. Scripta Series in Mathematics. Transl. from the Russian and ed. by Richard A. Silverman. With a foreword by Donald J. Newman. John Wiley & Sons. ISBN 0-470-26706-2. MR 0548467. Zbl 0482.10047. 
• Thue, A. (1909). "Über Annäherungswerte algebraischer Zahlen". Journal für die reine und angewandte Mathematik 1909 (135): 284–305. ISSN 0075-4102. doi:10.1515/crll.1909.135.284. 

Outros artigos

• Fracción continua.
• Medida da irracionalidade.

Ligazóns externas

• Diophantine Approximation: historical survey Arquivado 2012-02-14 en Wayback Machine.. From Introduction to Diophantine methods course by Michel Waldschmidt.
• "Diophantine approximations". Encyclopedia of Mathematics. EMS Press. 2001 [1994].