Matriz triangular

En álxebra linear, unha matriz triangular é unha clase especial de matriz cadrada. Unha matriz cadrada é chamada triangular inferior se todas as entradas por riba da diagonal principal son nulos. De xeito semellante, unha matriz cadrada é chamada triangular superior se todas as entradas por debaixo da diagonal principal son nulos. Unha matriz triangular é unha matriz dun dos dous tipos, ou é triangular superior ou triangular inferior. Unha matriz que é de ámbolos tipos coñécese como matriz diagonal.

Como as ecuacións matriciais con matrices triangulares son doades de resolver, estas matrices teñen moita importancia na análise numérica. Polo algoritmo de descomposición LU, unha matriz invertíbel pode ser escrita como o produto dunha matriz triangular inferior L e unha matriz triangular superior U, se e só se todos os seus menores principais son non nulos.

Descrición

Unha matriz da forma

$L={\begin{bmatrix}\ell _{1,1}&&&&0\\\ell _{2,1}&\ell _{2,2}&&&\\\ell _{3,1}&\ell _{3,2}&\ddots &&\\\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\\\ell _{n,1}&\ell _{n,2}&\ldots &\ell _{n,n-1}&\ell _{n,n}\end{bmatrix}}$

é chamada un matriz triangular inferior ou matriz triangular esquerda. Do mesmo xeito, unha matriz da forma

$U={\begin{bmatrix}u_{1,1}&u_{1,2}&u_{1,3}&\ldots &u_{1,n}\\&u_{2,2}&u_{2,3}&\ldots &u_{2,n}\\&&\ddots &\ddots &\vdots \\&&&\ddots &u_{n-1,n}\\0&&&&u_{n,n}\end{bmatrix}}$

é chamada unha matriz triangular superior ou matriz triangular dereita. Adóitase empregar a variábel L para denotar unha matriz triangular inferior, e as variábeis U ou R para denotar unha matriz triangular superior.

Unha matriz que é triangular superior e inferior dise que é diagonal. As matrices que son semellantes (A e B son semellantes se A=M^-1BM para algunha matriz M) a unha matriz triangular chámanse triangularizábeis.

A triangularidade superior é preservada por moitas operacións:

• A suma de dúas matrices triangulares superior é triangular superior.
• O produto de dúas matrices triangulares superior é triangular superior.
• O inversa dunha triangular superior, de existir, é triangular superior.
• O produto dunha triangulares superior e un escalar é triangular superior.

Xunto estes feitos significan que as matrices triangulares superiores forman unha subálxebra da álxebra asociativa das matrices cadradas de certa orde.

Todos estes resultados seguen a cumprise ao substituír triangular superior por triangular inferior. Con todo, as operacións que mesturan superior e triangular inferior as matrices en xeral non producen matrices triangulares. Para o caso, a suma dunha matriz triangular superior e unha triangular inferior pode ser calquera matriz, e o produto tampouco é necesariamente triangular.

Exemplos

Esta matriz

${\begin{bmatrix}1&4&1\\0&6&4\\0&0&1\\\end{bmatrix}}$

é triangular superior, e estoutra

${\begin{bmatrix}1&0&0\\2&8&0\\4&9&7\\\end{bmatrix}}$

é triangular inferior.

---

Este artigo sobre matemáticas é, polo de agora, só un bosquexo. Traballa nel para axudar a contribuír a que a Galipedia mellore e medre.  Existen igualmente outros artigos relacionados con este tema nos que tamén podes contribuír.

---