Matriz diagonal

En álxebra linear, unha matriz diagonal é unha matriz na que as entradas á parte da diagonal principal son todas cero; o termo refírese xeralmente a matrices cadradas. Os elementos da diagonal principal poden ser cero ou distintos de cero. Un exemplo de matriz diagonal 2×2 é $\left[{\begin{smallmatrix}3&0\\0&2\end{smallmatrix}}\right]$, mentres que un exemplo dunha matriz diagonal 3×3 é $\left[{\begin{smallmatrix}6&0&0\\0&5&0\\0&0&4\end{smallmatrix}}\right]$. Unha matriz de identidade de calquera tamaño, ou calquera múltiplo dela é unha matriz diagonal chamada <i id="mwEQ">matriz escalar</i>, por exemplo, $\left[{\begin{smallmatrix}0.5&0\\0&0.5\end{smallmatrix}}\right]$.

Definición

Como se indicou anteriormente, unha matriz diagonal é unha matriz na que todas as entradas fóra da diagonal son cero. É dicir, a matriz D = (d_i,j) con n columnas e n filas é diagonal se

$$\forall i,j\in \{1,2,\ldots ,n\},i\neq j\implies d_{i,j}=0.$$

Porén, as principais entradas diagonais non están restrinxidas.

A seguinte matriz é unha matriz diagonal cadrada:

$${\begin{bmatrix}1&0&0\\0&4&0\\0&0&-2\end{bmatrix}}$$

Se as entradas son números reais ou complexos, entón tamén é unha matriz normal.

Operador diag de vector a matriz

Unha matriz diagonal $\mathbf {D}$ pódese construír a partir dun vector $\mathbf {a} ={\begin{bmatrix}a_{1}&\dotsm &a_{n}\end{bmatrix}}^{\textsf {T}}$ usando o operador $\operatorname {diag}$:

$$\mathbf {D} =\operatorname {diag} (a_{1},\dots ,a_{n})$$

Isto pódese escribir de forma máis compacta como $\mathbf {D} =\operatorname {diag} (\mathbf {a} )$.

O operador $\operatorname {diag}$ pode escribirse como:

$$\operatorname {diag} (\mathbf {a} )=\left(\mathbf {a} \mathbf {1} ^{\textsf {T}}\right)\circ \mathbf {I}$$

onde $\circ$ representa o produto Hadamard e $\mathbf {1}$ é un vector constante cos elementos 1.

Operador diag de matriz a vector

O operador inverso $\operatorname {diag}$ de matriz a vector é ás veces denotado polo nome idéntico $\operatorname {diag} (\mathbf {D} )={\begin{bmatrix}a_{1}&\dotsm &a_{n}\end{bmatrix}}^{\textsf {T}}$ onde o argumento é agora unha matriz e o resultado é un vector das súas entradas diagonais.

Mantén a seguinte propiedade:

$$\operatorname {diag} (\mathbf {A} \mathbf {B} )=\sum _{j}\left(\mathbf {A} \circ \mathbf {B} ^{\textsf {T}}\right)_{ij}=\left(\mathbf {A} \circ \mathbf {B} ^{\textsf {T}}\right)\mathbf {1}$$

Matriz escalar

Unha matriz diagonal con entradas diagonais iguais é unha matriz escalar; é dicir, un múltiplo escalar λ da matriz identidade I. O seu efecto sobre un vector é a multiplicación escalar por λ . Por exemplo, unha matriz escalar 3×3 ten a forma:

$${\begin{bmatrix}\lambda &0&0\\0&\lambda &0\\0&0&\lambda \end{bmatrix}}\equiv \lambda {\boldsymbol {I}}_{3}$$

As matrices escalares son o centro da álxebra das matrices: é dicir, son precisamente as matrices que conmutan con todas as demais matrices cadradas do mesmo tamaño. Pola contra, sobre un corpo (como os números reais), unha matriz diagonal con todos os elementos diagonais distintos só conmuta coas matrices diagonais (o seu centralizador é o conxunto de matrices diagonais). Isto é porque se unha matriz diagonal $\mathbf {D} =\operatorname {diag} (a_{1},\dots ,a_{n})$ ten $a_{i}\neq a_{j},$ entón dada unha matriz $\mathbf {M}$ con $m_{ij}\neq 0,$ o termo $(i,j)$ dos produtos é: $(\mathbf {D} \mathbf {M} )_{ij}=a_{i}m_{ij}$ e $(\mathbf {M} \mathbf {D} )_{ij}=m_{ij}a_{j},$ e $a_{j}m_{ij}\neq m_{ij}a_{i}$ (xa que se pode dividir por $m_{ij}$), polo que non conmutan a menos que os termos fóra da diagonal sexan cero. Sibre aneis máis xenéricos, isto non se cumpre, porque non sempre se pode dividir. As matrices diagonais onde as entradas diagonais non son todas iguais ou todas distintas teñen centralizadores intermedios entre todo o espazo e só matrices diagonais.

Para un espazo vectorial abstracto V (en lugar do espazo vectorial concreto $K^{n}$), o análogo das matrices escalares son as transformacións escalares. Isto é así máis xenéricamente para un módulo M sobre un anel R, coa álxebra de endomorfismo End(M) (álxebra de operadores lineais en M) substituíndo a álxebra de matrices. Formalmente, a multiplicación escalar é un mapa linear, que induce un mapa $R\to \operatorname {End} (M),$ (dende un escalar λ á súa transformación escalar correspondente, multiplicación por λ) que presenta End( M) como unha R - álxebra. Para os espazos vectoriais, as transformadas escalares son exactamente o centro da álxebra do endomorfismo e, do mesmo xeito, as transformadas escalares invertibles son o centro do grupo linear xeral GL(V). O primeiro é máis xeralmente verdadeiro como módulos libres $M\cong R^{n}$, para o cal a álxebra de endomorfismo é isomorfa a unha álxebra matricial.

Operacións vectoriais

Dada unha matriz diagonal $\mathbf {D} =\operatorname {diag} (a_{1},\dots ,a_{n})$ e un vector $\mathbf {v} ={\begin{bmatrix}x_{1}&\dotsm &x_{n}\end{bmatrix}}^{\textsf {T}}$, o produto é:

$$\mathbf {D} \mathbf {v} =\operatorname {diag} (a_{1},\dots ,a_{n}){\begin{bmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{1}\\&\ddots \\&&a_{n}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{1}x_{1}\\\vdots \\a_{n}x_{n}\end{bmatrix}}.$$

Isto pódese expresar de forma máis compacta usando un vector en lugar dunha matriz diagonal, $\mathbf {d} ={\begin{bmatrix}a_{1}&\dotsm &a_{n}\end{bmatrix}}^{\textsf {T}}$, e tomando o produto de Hadamard dos vectores (produto de entrada), denotado $\mathbf {d} \circ \mathbf {v}$ :

$$\mathbf {D} \mathbf {v} =\mathbf {d} \circ \mathbf {v} ={\begin{bmatrix}a_{1}\\\vdots \\a_{n}\end{bmatrix}}\circ {\begin{bmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{1}x_{1}\\\vdots \\a_{n}x_{n}\end{bmatrix}}.$$

Isto é matematicamente equivalente, mais evita almacenar todos os ceros desta matriz dispersa.

Operacións matriciais

Para a suma temos

$$\operatorname {diag} (a_{1},\,\ldots ,\,a_{n})+\operatorname {diag} (b_{1},\,\ldots ,\,b_{n})=\operatorname {diag} (a_{1}+b_{1},\,\ldots ,\,a_{n}+b_{n})$$

e para a multiplicación,

$$\operatorname {diag} (a_{1},\,\ldots ,\,a_{n})\operatorname {diag} (b_{1},\,\ldots ,\,b_{n})=\operatorname {diag} (a_{1}b_{1},\,\ldots ,\,a_{n}b_{n}).$$

A matriz diagonal diag(a₁, ..., a_n) é invertible se e só se as entradas a₁, ..., a_n son todas distintos de cero. Neste caso, temos

$$\operatorname {diag} (a_{1},\,\ldots ,\,a_{n})^{-1}=\operatorname {diag} (a_{1}^{-1},\,\ldots ,\,a_{n}^{-1}).$$

En particular, as matrices diagonais forman un subanel do anel de todas as matrices $n\times n$.

Matriz de operadores en eigenbase

Hai unha base especial, e₁, ..., e_n, para a que a matriz $\mathbf {A}$ toma a forma diagonal. Polo tanto, na ecuación definitoria ${\textstyle \mathbf {A} \mathbf {e} _{j}=\sum _{i}a_{i,j}\mathbf {e} _{i}}$, todos os coeficientes $a_{i,j}$ con i ≠ j son cero, ficando só un termo por suma. Os elementos diagonais superviventes, $a_{i,i}$, coñécense como eigenvalues (ou valor propio) e desígnanse con $\lambda _{i}$ na ecuación, que se reduce a $\mathbf {A} \mathbf {e} _{i}=\lambda _{i}\mathbf {e} _{i}$. A ecuación resultante coñécese como ecuación de valor propio e úsase para derivar o polinomio característico e, ademais, os valores propios e os vectores propios .

Noutras palabras, os valores propios de diag(λ₁, ..., λ_n) son λ₁, ..., λ_n λ₁, ..., λ_n con vectores propios asociados de e₁, ..., e_n e₁, ..., e_n .

Propiedades

• O determinante de diag(a₁, ..., a_n) é o produto a₁⋯a_n .
• A adxunta dunha matriz diagonal é diagonal.
• Cando todas as matrices son cadradas,
  • Unha matriz é diagonal se e só se é triangular e normal.
  • Unha matriz é diagonal se e só se é triangular superior e inferior.
  • Unha matriz diagonal é simétrica.
• A matriz identidade I_n e a matriz cero son diagonais.
• Unha matriz 1×1 é sempre diagonal.
• O cadrado dunha matriz 2×2 con traza cero é sempre diagonal.

Aplicacións

Unha matriz $n\times n$ dada A é semellante a unha matriz diagonal (o que significa que hai unha matriz X tal que X⁻¹AX é diagonal) se e só se ten n vectores propios linealmente independentes. Dise que tales matrices son diagonalizables.

Véxase tamén

Bibliografía

• Horn, Roger Alan; Johnson, Charles Royal (1985). Matrix Analysis. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-38632-6. 

Outros artigos

• Matriz Anti-diagonal
• Matriz Bidiagonal
• Matriz Diagonalizable
• Forma normal de Jordan
• Matriz de Toeplitz