Ideal (teoría dos aneis)

En matemáticas, e máis concretamente na teoría dos aneis, un ideal dun anel é un subconxunto especial dos seus elementos. Os ideais xeneralizan certos subconxuntos de enteiros, como os números pares ou os múltiplos de 3. A suma e resta de números pares mantén a paridade, e multiplicar un número par por calquera número enteiro (par ou impar) resulta un número par; estas propiedades de peche e absorción son as propiedades definitorias dun ideal. Pódese usar un ideal para construír un anel cociente dun xeito similar a como, na teoría de grupos, un subgrupo normal pode ser usado para construír un grupo cociente.

Entre os enteiros, os ideais correspóndense un por un cos enteiros non negativos: neste anel, cada ideal é un ideal principal composto polos múltiplos dun único número non negativo. Porén, noutros aneis, os ideais poden non corresponder directamente cos elementos do anel, e certas propiedades dos números enteiros, cando se xeneralizan a aneis, están máis naturalmente relacionadas cos ideais que cos elementos do anel. Por exemplo, os ideais primos dun anel son análogos aos números primos, e o teorema chinés do resto pódese xeneralizar a ideais. Existe unha versión de factorización prima única para os ideais dun dominio de Dedekind (un tipo de anel importante na teoría dos números).

O concepto relacionado, mais distinto, dun ideal na teoría da orde deriva da noción de ideal na teoría de aneis. Un ideal fraccional é unha xeneralización dun ideal, e os ideais habituais ás veces chámanse ideais integrais por motivos de claridade.

Historia

Ernst Kummer inventou o concepto de números ideais para servir como os factores "ausentes" nos aneis numéricos nos que falla a factorización única; aquí a palabra "ideal" é no sentido de existir só na imaxinación, en analoxía con obxectos "ideais" en xeometría como puntos no infinito..

A teoría dos ideais é relativamente recente, posto que foi creada polo matemático alemán, Richard Dedekind, a finais do século XIX. naquela época, unha parte da comunidade matemática interesouse nos números alxébricos e, máis concretamente, nos enteiros alxébricos.

A cuestión consiste en saber se os enteiros alxébricos se comportan como os números primos entre si, particularmente, no que respecta á súa descomposición en factores primos. Parecía claro, desde o comenzo do século XIX que este non era sempre o caso. Por exemplo, o enteiro 6 pode descompor, no anel $\mathbb {Z} [i{\sqrt {5}}]$, na forma $2\times 3$ ou na forma $(1+i{\sqrt {5}})(1-i{\sqrt {5}})$.

Ernst Kummer sinalou daquela que a cuestión anterior ía depender dos números en cuestión, e inventou a noción de complexos ideais.

A idea é facer única a descomposición en factores primos engadindo artificialmente outros números (do mesmo xeito que se engade i aos números reais con $i^{2}=-1$ (coa finalidade de dispor de números para os cadrados negativos). Para o exemplo de enriba, vanse "inventar" catro números "ideais" a, b, c e d tal que:

$2=a\cdot b$

$3=c\cdot d$

$1+i{\sqrt {5}}=a\cdot c$

$1-i{\sqrt {5}}=b\cdot d$

Así, 6 descomponse de xeito único en:

$6=a\cdot b\cdot c\cdot d$

Dedekind en 1871 volve a usar a noción de número ideal de Kummer e crea a noción de ideal nun anel. Interésase principalmente polos aneis dos enteiros alxébricos, é dicir, aneis conmutativos unitarios e íntegros. Neste dominio atópanse os resultados máis interesantes sobre os ideais. Creou o conxunto dos ideais dun anel conmutativo, unitario e íntegros para operacións semellantes á suma e á multiplicación dos enteiros coprimos.

Definicións

Dado un anel R, un ideal pola esquerda é un subconxunto I de R que é un subgrupo do grupo aditivo de $R$ que "absorbe a multiplicación pola esquerda por elementos de $R$; é dicir, $I$ é un ideal pola esquerda se cumpre as dúas condicións seguintes:

1. $(I,+)$ é un subgrupo de $(R,+)$
2. Para cada $r\in R$ e cada $x\in I$ o produto $rx$ está en $I$

Noutras palabras, un ideal pola esquerda é un submódulo pola esquerda de R, considerado como un módulo pola esquerda sobre si mesmo.

Un ideal pola dereita defínese de xeito similar, coa condición $rx\in I$ substituída por $xr\in I$. Un ideal polos dous lados é un ideal pola esquerda é tamén un ideal pola dereita.

Se o anel é conmutativo, as tres definicións son iguais, e fálase simplemente dun ideal. No caso non conmutativo, a miúdo úsase "ideal" en lugar de "ideal polos dous lados".

Se I é un ideal pola esquerda, dereita ou bilateral, a relación $x\sim y$ se e só se

$x-y\in I$

é unha relación de equivalencia en R, e o conxunto de clases de equivalencia forma un módulo pola esquerda, dereita ou ambos denotado $R/I$ e chamado o cociente de R por I. (É un exemplo dunha relación de congruencia e é unha xeneralización da aritmética modular).

$R\to R/I$

que asocia a cada elemento de R a súa clase de equivalencia é un homomorfismo de aneis sobrexectiva que ten o ideal como kernel. E viceversa, o kernel dun homomorfismo de aneis é un ideal polos dous lados. Polo tanto, os ideais polos dous lados son exactamente os kernels dos homomorfismos de aneis.

Exemplos e propiedades

(Por brevidade, algúns resultados só se indican para os ideais pola esquerda, pero normalmente tamén son certos para os ideais pola dereita con cambios de notación apropiados.)

• Nun anel R, o propio conxunto R forma un ideal bilateral de R chamado ideal da unidade. Moitas veces tamén se denota por $(1)$ xa que é precisamente o ideal bilateral xerado (ver máis abaixo) pola unidade $1_{R}$. A maiores, o conxunto $\{0_{R}\}$ que consiste só na identidade aditiva 0_R forma un ideal bilateral chamado ideal cero e denotado por $(0)$. Todo ideal (esquerda, dereita ou bilateral) contén o ideal cero e está contido no ideal da unidade
• Un ideal (esquerda, dereita ou bilateral) que non é o ideal da unidade chámase ideal propio (xa que é un subconxunto propio). Nota: un ideal pola esquerda ${\mathfrak {a}}$ é propio se e só se non contén un elemento unidade (invertíbel), xa que se $u\in {\mathfrak {a}}$ é un elemento unidade (invertíbel), entón $r=(ru^{-1})u\in {\mathfrak {a}}$ para cada $r\in R$. Normalmente hai moitos ideais propios. De feito, se R é un anel de división, entón $(0),(1)$ son os seus únicos ideais e á inversa: é dicir, un anel distinto de cero R é un anel de división (corpo non conmutativo) se $(0),(1)$ son os únicos ideais pola esquerda (ou pola dereita). (Proba: se $x$ é un elemento distinto de cero, entón o ideal principal pola esquerda $Rx$ (ver máis abaixo) é distinto de cero e, polo tanto, $Rx=(1)$ ; é dicir, $yx=1$ para algún $y$ distinto de cero. Do mesmo xeito, $zy=1$ para algún $z$. Entón $z=z(yx)=(zy)x=x$.)
• Os enteiros pares forman un ideal no anel $\mathbb {Z}$ de todos os números enteiros, xa que a suma de dous enteiros pares calquera é par e o produto de calquera enteiro cun enteiro par tamén é par; este ideal adoita denotarse por $2\mathbb {Z}$. De xeito máis xeral, o conxunto de todos os números enteiros divisíbeis por un enteiro fixo $n$ é un ideal denotado $n\mathbb {Z}$. De feito, todo ideal distinto de cero do anel $\mathbb {Z}$ é xerado polo seu elemento positivo máis pequeno, como consecuencia da división euclidiana, polo que $\mathbb {Z}$ é un dominio ideal principal.
• O conxunto de todos os polinomios con coeficientes reais que son divisíbeis polo polinomio $x^{2}+1$ é un ideal no anel de todos os polinomios de coeficientes reais $\mathbb {R} [x]$.
• Tomamos un anel $R$ e un enteiro positivo $n$. Para cada $1\leq i\leq n$, o conxunto de todas as matrices $n\times n$ con entradas en $R$ cuxa fila $i$-ésima é cero é un ideal pola dereita no anel $M_{n}(R)$ de todas as matrices $n\times n$ con entradas en $R$. Non é un ideal pola esquerda. Do mesmo xeito, para cada $1\leq j\leq n$, o conxunto de todas as matrices $n\times n$ cuxa $j$-ésima columna é cero é un ideal pola esquerda mais non un ideal pola dereita.
• O anel $C(\mathbb {R} )$ de todas as funcións continuas $f$ de $\mathbb {R}$ ata < math>\mathbb{R}</math> baixo multiplicación punto a punto contén o ideal de todas as funcións continuas $f$ tal que $f(1)=0$. Outro ideal en $C(\mathbb {R} )$ vén dado por aquelas funcións que desaparecen para argumentos suficientemente grandes, é dicir, aquelas funcións continuas $f$ para as que existe un número $L>0$ tal que $f(x)=0$ sempre que $\ vertx\vert >L$.
• Un anel chámase anel simple se é distinto de cero e non ten ideais bilaterais que non sexan $(0),(1)$. Así, un corpo non conmutativo é simple e un anel conmutativo simple é un corpo. O anel das matrices sobre un corpo non conmutativo (anel de división) é un anel simple.
• Se $f:R\to S$ é un homomorfismo de aneis, entón o kernel $\ker(f)=f^{-1}(0_{S})$ é un ideal bilateral de $R$. Por definición, $f(1_{R})=1_{S}$, e polo tanto, se $S$ non é o anel cero (polo que $1_{S}\neq 0_{S}$), entón $\ker(f)$ é un ideal propio. De xeito máis xeral, para cada ideal pola esquerda I de S, a preimaxe $f^{-1}(I)$ é un ideal pola esquerda. Se I é un ideal pola esquerda de R, entón $f(I)$ é un ideal pola esquerda do subanel $f(R)$ de S: a non ser que f sexa sobrexectiva, $f(I)$ non precisa ser un ideal de S.

Tipos de ideais

Para simplificar a descrición suponse que todos os aneis son conmutativos. O caso non conmutativo é discutido en detalle nos artigos respectivos.

Os ideais son importantes porque aparecen como kernels de homomorfismos de aneis e permiten definir aneis cocientes. Estúdanse diferentes tipos de ideais porque se poden usar para construír distintos tipos de aneis cocientes.

• Ideal máximal: Un ideal propio chámase ideal máximal se non existe outro ideal propio J con un subconxunto I propio de J. O anel factor (anel cociente) dun ideal máximal é, en xeral, un anel simple e un corpo para aneis conmutativos.
• Ideal mínimal: Un ideal non cero chámase mínimal se non contén outro ideal non cero.
• Ideal primo: un $I$ ideal propio chámase ideal primo se para calquera $a$ e $>b$ en $R$, se $ab$ está en $I$, entón polo menos un de $a$ e $b$ está en $I$. O anel factor dun ideal primo é un anel primo en xeral e é un dominio integral para aneis conmutativos.
• Ideal radical ou ideal semiprimo: un ideal propio I chámase radical ou semiprimo se para calquera a en R, se aⁿ está en I para algúns n , entón a está en I. O anel factor dun ideal radical é un anel semiprime para aneis xerais, e é un anel reducido para aneis conmutativos.
• Ideal primario: un ideal I chámase ideal primario se para todos os a e b en ' 'R, se ab está en I, polo menos unha de a e bn é en I para algún número natural n. Todo ideal primo é primario, pero non ao revés. Un ideal primario semiprimo é primo.
• Ideal principal: un ideal xerado por un elemento un.
• Ideal xerado finitamente: este tipo de ideal é xerado definitivamente como módulo.
• Ideal primitivo: un ideal primitivo esquerdo é o aniquilador dun simple esquerdo módulo .
• Ideal irredutible: Dise que un ideal é irredutible se non se pode escribir como unha intersección de ideais que o conteñen propiamente.
• Ideais comaxiais: dous ideais I, J dise que son comaximal se $x+y=1$ para algúns $x\in I$ e $y\in J$.
• Ideal regular: este termo ten múltiples usos. Consulta o artigo para ver unha lista.
• Ideal nulo: Un ideal é un ideal nulo se cada un dos seus elementos é nilpotente.
• Nilpotente ideal: Algún poder del é cero.
• Parameter ideal: un ideal xerado por un sistema de parámetros.
• Ideal perfecto: un ideal propio I nun anel noetheriano $R$ chámase ideal perfecto se é [ [Grao (teoría do anel)|grao]] é igual á dimensión proxectiva do anel cociente asociado, ${\textrm {grade}}(I)={\textrm {proxy}}\dim(R/I)$. Un ideal perfecto é sen mesturar.
• Ideal non mesturado: un ideal propio I nun anel noetheriano $R$ chámase ideal non mesturado (en altura) se a altura de I é igual á altura de cada primo asociado P de R/I. (Isto é máis forte que dicir que R/I é equidimensional. Consulte tamén anel equidimensional.

Outros dous termos importantes que usan "ideal" non sempre son ideais do seu anel. Consulta os seus respectivos artigos para obter máis información:

• Ideal fraccionario: adoita definirse cando R é un dominio conmutativo con corpo cociente K. A pesar dos seus nomes, os ideais fraccionarios son submódulos R de K cunha propiedade especial. Se o ideal fraccional está contido enteiramente en R, entón é verdadeiramente un ideal de R.
• Ideal invertíbel: Normalmente un ideal invertíbelA defínese como un ideal fraccionario para o cal hai outro ideal fraccionario B tal que ' 'AB = BA = R. Algúns autores tamén poden aplicar o "ideal invertíbel" aos ideais de aneis ordinarios A e B con AB = BA = R en aneis distintos dos dominios.

Operacións con ideais

A suma e o produto dos ideais defínense do seguinte xeito. Para os ideais ${\mathfrak {a}}$, ${\mathfrak {b}}$, pola esquerda (resp. dereita) dun anel R, a súa suma é

${\mathfrak {a}}+{\mathfrak {b}}:=\{a+b\mid a\in {\mathfrak {a}}{\mbox{ and }}b\in {\mathfrak {b}}\}$ ,

que é un ideal pola esquerda (resp. dereita) e, se ${\mathfrak {a}},{\mathfrak {b}}$ son bilaterais,

${\mathfrak {a}}{\mathfrak {b}}:=\{a_{1}b_{1}+\dots +a_{n}b_{n}\mid a_{i}\in {\mathfrak {a}}{\mbox{ and }}b_{i}\in {\mathfrak {b}},i=1,2,\dots ,n;{\mbox{ for }}n=1,2,\dots \},$

é dicir, o produto é o ideal xerado por todos os produtos da forma ab con a en ${\mathfrak {a}}$ e b en ${\mathfrak {b}}$

A lei distributiva vale para ideais bilaterais ${\mathfrak {a}},{\mathfrak {b}},{\mathfrak {c}}$,

• ${\mathfrak {a}}({\mathfrak {b}}+{\mathfrak {c}})={\mathfrak {a}}{\mathfrak {b}}+{\mathfrak {a}}{\mathfrak {c}}$,
• $({\mathfrak {a}}+{\mathfrak {b}}){\mathfrak {c}}={\mathfrak {a}}{\mathfrak {c}}+{\mathfrak {b}}{\mathfrak {c}}$.

Se o produto é substituído por unha intersección, temos unha lei distributiva parcial:

${\mathfrak {a}}\cap ({\mathfrak {b}}+{\mathfrak {c}})\supset {\mathfrak {a}}\cap {\mathfrak {b}}+{\mathfrak {a}}\cap {\mathfrak {c}}$

onde se mantén a igualdade se ${\mathfrak {a}}$ contén ${\mathfrak {b}}$ ou ${\mathfrak {c}}$.

Observación: a suma e a intersección dos ideais é de novo un ideal; con estas dúas operacións como join e meet, o conxunto de todos os ideais dun anel dado forma unha retícula modular completa. A retícula non é, en xeral, unha retícula distributiva. As tres operacións de intersección, suma (ou join) e produto converten o conxunto de ideais dun anel conmutativo nun quantal (Semigrupo residual completo).

Se ${\mathfrak {a}},{\mathfrak {b}}$ son ideais dun anel conmutativo R, entón ${\mathfrak {a}}\cap {\mathfrak {b}}={\mathfrak {a}}{\mathfrak {b}}$ nos dous casos seguintes (polo menos)

• ${\mathfrak {a}}+{\mathfrak {b}}=(1)$
• ${\mathfrak {a}}$ é xerado por elementos que forman unha secuencia regular módulo ${\mathfrak {b}}$

(Máis xeralmente, a diferenza entre un produto e unha intersección de ideais mídese polo functor Tor: $\operatorname {Tor} _{1}^{R}(R/{\mathfrak {a}},R/{\mathfrak {b}})=({\mathfrak {a}}\cap {\mathfrak {b}})/{\mathfrak {a}}{\mathfrak {b}}$ )

Un dominio de integridade chámase dominio de Dedekind se para cada par de ideais ${\mathfrak {a}}\subset {\mathfrak {b}}$, hai un ideal ${\mathfrak {c}}$ tal ${\mathfrak {\mathfrak {a}}}={\mathfrak {b}}{\mathfrak {c}}$ Pódese entón demostrar que todo ideal distinto de cero dun dominio de Dedekind pode escribirse de forma única como un produto de ideais máximais, unha xeneralización do teorema fundamental da aritmética.

Exemplos de operacións con ideais

En $\mathbb {Z}$ temos

$(n)\cap (m)=\operatorname {lcm} (n,m)\mathbb {Z}$

xa que $(n)\cap (m)$ é o conxunto de números enteiros que son divisíbeis por ambos os $n$ e $m$.

Sexa $R=\mathbb {C} [x,y,z,w]$ e ${\mathfrak {a}}=(z,w),{\mathfrak {b}}=(x+z,y+w),{\mathfrak {c}}=(x+z,w)$. Daquela,

• ${\mathfrak {a}}+{\mathfrak {b}}=(z,w,x+z,y+w)=(x,y,z,w)$ e ${\mathfrak {a}}+{\mathfrak {c}}=(z,w,x)$
• ${\mathfrak {a}}{\mathfrak {b}}=(z(x+z),z(y+w),w(x+z),w(y+w))=(z^{2}+xz,zy+wz,wx+wz,wy+w^{2})$
• ${\mathfrak {a}}{\mathfrak {c}}=(xz+z^{2},zw,xw+zw,w^{2})$
• ${\mathfrak {a}}\cap {\mathfrak {b}}={\mathfrak {a}}{\mathfrak {b}}$ mentres ${\mathfrak {a}}\cap {\mathfrak {c}}=(w,xz+z^{2})\neq {\mathfrak {a}}{\mathfrak {c}}$

No primeiro cálculo, vemos o modelo xeral para tomar a suma de dous ideais finitamente xerados, é o ideal xerado pola unión dos seus xeradores. Nos tres últimos observamos que os produtos e as interseccións coinciden sempre que os dous ideais intersecan no ideal cero. Estes cálculos pódense comprobar usando Macaulay2 .

Radical dun anel

Os ideais aparecen con naturalidade no estudo dos módulos, especialmente en forma de radical.

Para simplificar, traballamos con aneis conmutativos mais, con algunha modificación, os resultados tamén son certos para aneis non conmutativos.

Sexa R un anel conmutativo. Por definición, un ideal primitivo de R é o anulador dun R-módulo simple (non cero). O radical de Jacobson $J=\operatorname {Jac} (R)$ de R é a intersección de todos os ideais primitivos. De forma equivalente,

$J=\bigcap _{{\mathfrak {m}}{\text{ ideais maximais }}}{\mathfrak {m}}.$

En efecto, se $M$ é un módulo simple e x é un elemento distinto de cero en M, entón $Rx=M$ e $R/\operatorname {Ann} (M)=R/\operatorname {Ann} (x)\simeq M$, sendo que $\operatorname {Ann} (M)$ é un ideal máximal. E viceversa, se ${\mathfrak {m}}$ é un ideal máximal, entón ${\mathfrak {m}}$ é o anulador do R-módulo simple $R/{\mathfrak {m}}$. Tamén hai outra caracterización (a proba non é difícil):

$J=\{x\in R\mid 1-yx\,{\text{ é unha unidade para cada }}y\in R\}.$

Para un anel non necesariamente conmutativo, é un feito xeral que $1-yx$ é unha unidade se e só se $1-xy$ tamén o é. Así esta última caracterización mostra que o radical pode definirse tanto en termos de ideais primitivos pola esquerda como pola dereita.

O seguinte feito sinxelo mais importante (lema de Nakayama) está incorporado na definición dun radical de Jacobson: se M é un módulo tal que $JM=M$, entón M non admite un submódulo maximal, xa que se hai un submódulo máximal $L\subsetneq M$, $J\cdot (M/L)=0$ entón $M=JM\subset L\subsetneq M$, dá unha contradición. Dado que un módulo finitamente xerado non nulo admite un submódulo máximal, en particular temos:

Se $JM=M$ e M xérase finitamente, entón $M=0$.

Un ideal máximal é un ideal primo e así temos

$\operatorname {nil} (R)=\bigcap _{{\mathfrak {p}}{\text{ ideais primos }}}{\mathfrak {p}}\subset \operatorname {Jac} (R)$.

Se R é un anel artiniano, entón $\operatorname {Jac} (R)$ é nilpotente e $\operatorname {nil} (R)=\operatorname {Jac} (R)$.

Extensión e contracción dun ideal

Sexan A e B dous aneis conmutativos, e sexa f : A → B un homomorfismo de aneis. Se ${\mathfrak {a}}$ é un ideal en A, entón $f({\mathfrak {a}})$ non ten por que ser un ideal en B (por exemplo, tome f como a inclusión do anel de enteiros Z no corpo dos racionais Q). A extensión ${\mathfrak {a}}^{e}$ de ${\mathfrak {a}}$ en B defínese como o ideal en B xerado por $f({\mathfrak {a}})$. Explicitamente,

${\mathfrak {a}}^{e}={\Big \{}\sum y_{i}f(x_{i}):x_{i}\in {\mathfrak {a}},y_{i}\in B{\Big \}}$

Véxase tamén

Bibliografía

• Atiyah, Michael F.; Macdonald, Ian G. (1969). Introduction to Commutative Algebra. Perseus Books. ISBN 0-201-00361-9. 
• Dummit, David Steven; Foote, Richard Martin (2004). Abstract algebra (Third ed.). Hoboken, NJ: John Wiley & Sons, Inc. ISBN 9780471433347. 
• Eisenbud, David (1995). Commutative Algebra with a View toward Algebraic Geometry. Graduate Texts in Mathematics 150. Berlin, New York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-94268-1. MR 1322960. doi:10.1007/978-1-4612-5350-1. 
• Lang, Serge (2005). Undergraduate Algebra (Third ed.). Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-22025-3. 
• Hazewinkel, Michiel; Gubareni, Nadiya; Gubareni, Nadezhda Mikhaĭlovna; Kirichenko, Vladimir V. (2004). Algebras, rings and modules 1. Springer. ISBN 1-4020-2690-0. 
• Milnor, John Willard (1971). Introduction to algebraic K-theory. Annals of Mathematics Studies 72. Princeton, NJ: Princeton University Press. ISBN 9780691081014. MR 0349811. Zbl 0237.18005. 

Outros artigos

• Ideal (teoría da orde).
• Anel (álxebra).

Ligazóns externas

• Levinson, Jake (July 14, 2014). "The Geometric Interpretation for Extension of Ideals?". Stack Exchange.