Función sobrexectiva

En matemáticas, unha función sobrexectiva (tamén coñecida como sobrexección ou función onto (en inglés) ) é unha función $f$ tal que, para cada elemento $y$ do codominio da función, existe polo menos un elemento $x$ no seu dominio tal que $f (x) = y$ . Noutras palabras, para unha función $f : X \to Y$ , o codominio $Y$ é a imaxe do dominio $X$ da función.^[1]^[2] Non é necesario que $x$ sexa único; a función $f$ pode mapear un ou máis elementos de $X$ co mesmo elemento de $Y$ .

O termo sobrexectivo e os termos relacionados inxectivo e bixectivo foron introducidos por Nicolas Bourbaki,^[3] un grupo de matemáticos principalmente franceses do século XX que, baixo este pseudónimo, escribiron unha serie de libros que presentaban unha exposición da matemática avanzada moderna, a partir de 1935.

Calquera función induce unha sobrexección ao restrinxir o seu codominio á imaxe do seu dominio. Toda función sobrexectiva ten un inverso pola dereita asumindo o axioma de escolla, e toda función con inverso pola dereita é necesariamente unha sobrexección. A composición das funcións sobrexectivas é sempre sobrexectiva. Calquera función pode descompoñerse nunha sobrexección e unha inxección.

Definición

Unha función sobrexectiva é unha función cuxa imaxe é igual ao seu codominio. De forma equivalente, unha función $f$ con dominio $X$ e codominio $Y$ é sobrexectivo se para cada $y$ en $Y$ existe polo menos un $x$ en $X$ con $f(x)=y$ . ^[1]

Simbólicamente,

Se

f\colon X\rightarrow Y

, entón

f

dise que é sobrexectiva se

\forall y\in Y,\,\exists x\in X,\;\;f(x)=y

.^[2]^[4]

Exemplos

Para calquera conxunto X, a función de identidade id_X sobre X é sobrexectiva.
A función $f : Z \to {0, 1}$ definida por f(n) = n mod 2 (é dicir, os enteiros pares están asignados a 0 e os impares a 1) é sobrexectiva.
A función $f : R \to R$ definida por f(x) = 2 x + 1 é sobrexectivo (e mesmo bixectiva), porque para cada número real y, temos un x tal que f(x) = y: un x apropiado é (y − 1)/2.
A función $f : R \to R$ definido por f (x) = x ³ − 3x é sobrexectiva, porque a preimaxe de calquera número real y é o conxunto solución da ecuación polinómica cúbica x³ − 3x − y = 0, e cada polinomio cúbico con coeficientes reais ten polo menos unha raíz real. Non obstante, esta función non é inxectiva (e, polo tanto, non é bixectiva), xa que, por exemplo, a preimaxe de y = 2 é { x = −1, x = 2}. (De feito, a preimaxe desta función para cada y, −2 ≤ y ≤ 2 ten máis dun elemento.)
A función $g : R \to R$ definida por $g(x)=x^{2}$ non é sobrexectiva, xa que non existe un número real x tal que x 2 = −1. Porén, a función $g : R \to R \geq0$ definido por $g (x) = x 2$ (co codominio restrinxido aos números positivos) é sobrexectiva, xa que para cada y no codominio real non negativo Y, hai polo menos un x no dominio real X tal que $x^{2}=y$ .
A función de logaritmo natural $ln : (0, +\infty) \to R$ é sobrexectiva e incluso bixectiva (mapeamento do conxunto de números reais positivos ao conxunto de todos os números reais). A súa inversa, a función exponencial, se se define no conxunto de números reais como dominio e codominio, non é sobrexectiva (xa que o seu rango é o conxunto de números reais positivos).
A exponencial da matriz non é sobrexectiva cando se ve como un mapa dende o espazo de todas as matrices n × n ata si mesma. Porén, normalmente defínese como un mapa dende o espazo de todas as matrices n × n ata o grupo linear xeral de grao n (é dicir, o grupo de todas as matrices invertibles n × n).
A proxección dun produto cartesiano $A \times B$ a un dos seus factores é sobrexectiva, a non ser que o outro factor sexa baleiro.
Nun videoxogo 3D, os vectores proxéctanse nunha pantalla plana 2D mediante unha función sobrexectiva.

Propiedades

Unha función é bixectiva se e só se é á vez sobrexectiva e inxectiva.

As sobrexeccións como funcións invertíbeis pola dereita

A función g : Y → X dise que é inversa pola dereita da función f : X → Y se f(g(y)) = y para cada y en Y (g pódese desfacer mediante f). Noutras palabras, g é unha inversa pola dereita de f se a composición f o g de g e f nesa orde é a función de identidade no dominio Y de g. A función g non precisa ser unha inversa completa de f porque a composición na outra orde, g o f, pode non ser a función de identidade no dominio X de f . Noutras palabras, f pode desfacer ou "reverter" g, mais non necesariamente pode ser invertido por el.

Se f : X → Y é sobrexectivo e B é un subconxunto de Y, entón f ( f⁻¹(B)) = B . Así, B pódese recuperar da súa preimaxe f⁻¹(B) .

Por exemplo, na primeira ilustración da galería, hai algunha función g tal que g(C) = 4. Tamén hai algunha función f tal que f (4) = C. Non importa que g non sexa único (tamén funcionaría se g(C) é igual a 3); só importa que f "reverte" g.

As sobrexeccións como epimorfismos

unha función f : X → Y é sobrexectiva se e só se é cancelativa pola dereita:^[5] dadas as funcións g,h : Y → Z, sempre que g o f = h o f, daquela g = h. Esta propiedade formúlase en función das funcións e da súa composición e pódese xeneralizar á noción máis xeral dos morfismos dunha categoría e da súa composición. Os morfismos de cancelación pola dereita chámanse epimorfismos. En concreto, as funcións sobrexectivas son precisamente os epimorfismos da categoría de conxuntos.

Calquera morfismo cunha inversa pola dereita é un epimorfismo, mais o contrario non é certo en xeral. Unha g inverso pola dereita dun morfismo f chámase sección de f . Un morfismo con inverso pola dereita chámase retracción ou epimorfismo dividido.

As sobrexeccións como relacións binarias

Unha función sobrexectiva con dominio X e codominio Y é unha relación binaria entre X e Y que é única pola dereita e total pola esquerda e pola dereita.

Cardinalidade do dominio dunha sobrexección

A cardinalidade do dominio dunha función sobrexectiva é maior ou igual á cardinalidade do seu codominio: se f : X → Y é unha función sobrexectiva, entón X ten polo menos tantos elementos como Y, no sentido de números cardinais. (A demostración apela ao axioma de escolla para mostrar que unha función g : Y → X satisfai f(g(y)) = y para todo y en Y existe. Vese doadamente que g é inxectiva, polo que a definición formal de |Y| ≤ |X| está satisfeita.)

Composición e descomposición

A composición das funcións sobrexectivas é sempre sobrexectiva: se f e g son ambas as dúas sobrexectivas, e o codominio de g é igual ao dominio de f, entón f o g é sobrexectiva. Viceversa, se f o g é sobrexectiva, entón f é sobrexectiva (mais g, a función aplicada primeiro, non ten por que sela). Estas propiedades xeneralízanse desde sobrexeccións na categoría de conxuntos ata calquera epimorfismo de calquera categoría.

Sobrexección inducida e bixección inducida

Calquera función induce unha sobrexección ao restrinxir o seu codominio ao seu rango. Calquera función sobrexectiva induce unha bixección definida nun cociente do seu dominio ao contraer todos os argumentos que se asignan a unha imaxe fixa determinada. Máis precisamente, toda sobrexección f : A → B pódese factorizar como unha proxección seguida dunha bixección do seguinte xeito. Sexan A /~ as clases de equivalencia de A baixo a seguinte relación de equivalencia : x ~ y se e só se f(x) = f (y). De forma equivalente, A /~ é o conxunto de todas as preimaxes baixo f. Sexa P(~) : A → A /~ o mapa de proxección que envía cada x en A á súa clase de equivalencia [x] _~, e sexa f_P: A /~ → B a función ben definida dada por f_P ([ x ] _~ ) = f ( x ). Daquela f = f_P o P (~).