Conxectura de Erdős-Straus

A conxectura de Erdős-Straus é un problema sen resolver en Teoría de números. A conxectura consiste en que, por cada enteiro $n$ igual ou maior que 2, existen enteiros positivos $x$, $y$, e $z$ para os que $${\frac {4}{n}}={\frac {1}{x}}+{\frac {1}{y}}+{\frac {1}{z}}.$$ En outras palabras, o número $4/n$ pode ser escrito como a suma de tres fraccións unitarias.

Problemas sen solucionar en matemáticas:

Ten ${\tfrac {4}{n}}={\tfrac {1}{x}}+{\tfrac {1}{y}}+{\tfrac {1}{z}}$ unha solución enteira positiva para cada enteiro $n\geq 2$?

(máis problemas sen solucionar en matemáticas)

O nome da conxectura débese a Paul Erdős e Ernst G. Straus, quen a formularon en 1948. As sumas de fraccións unitarias, como a deste problema, coñécense como fracción exipcia, polo seu uso nas matemáticas do antigo Exipto. A conxectura de Erdős–Straus é un problema matemático relativo a ecuacións diofantianas.

Aínda que non se coñece unha solución para todos os valores de $n$, existen infinitos valores de certas infinitas progresións aritméticas que teñen fórmulas sinxelas para a súa solución. Se omitimos estes valores coñecidos podemos acelerar a procura de contraexemplos. Ademais, estas buscas só precisan considerar valores de números primos, porque calquera contraexemplo composto tería un contraexemplo menor entre os seus factores primos. As buscas informáticas verificaron a verdade da conxectura ata $n\leq 10^{17}$.

Se a conxectura é reformulada para permitir fraccións unitarias negativas, entón sábese que é verdadeira. Tamén se estudaron as xeneralizacións da conxectura a fraccións con numerador 5 ou superior.

Antecedentes e historia

Cando un número racional se expande nunha suma de fraccións unitarias, a expansión chámase unha fracción exipcia. Nesta conxectura as veces se inclúe o requisito de que todas as fraccións sexan diferentes, mais iso non é unha diferencia significativa porque para $n>2$ calquera solución a ${\tfrac {4}{n}}={\tfrac {1}{x}}+{\tfrac {1}{y}}+{\tfrac {1}{z}}$ onde haxa fraccións iguais pódese converter a fraccións diferentes doadamente; ver abaixo.

Aínda que os exipcios non sempre atoparon expansións usando o menor número posible de termos, os matemáticos posteriores interesáronse pola cuestión de cantos termos son necesarios. Cada fracción ${\tfrac {a}{b}}$ ten unha expansión de como máximo $a$ termos, polo que en particular ${\tfrac {2}{n}}$ precisa como máximo dous termos, ${\tfrac {3}{n}}$ como máximo tres termos e ${\tfrac {4}{n}}$ como máximo catro termos. Para ${\tfrac {2}{n}}$, sempre son necesarios dous termos, e para ${\tfrac {3}{n}}$, ás veces son necesarios tres, polo que para ambos os dous numeradores, coñécese o número máximo de termos que poden ser necesarios. Non obstante, para ${\tfrac {4}{n}}$, descoñécese se ás veces se necesitan catro termos ou se é posible expresar todas as fraccións da forma ${\tfrac {4}{n}}$ usando só tres fraccións unitarias; esta é a conxectura de Erdős-Straus. Así, a conxectura abrangue o primeiro caso descoñecido dunha pregunta máis xeral, o problema de atopar para todos os $a$ o número máximo de termos necesarios nas expansións de fraccións ${\tfrac {a}{b}}$.

Unha forma de atopar expansións curtas (mais non sempre as máis curtas) utiliza o algoritmo cobizoso para fraccións exipcias (greedy algorithm), descrito por primeira vez en 1202 por Fibonacci no seu libro Liber Abaci. Este método escolle unha fracción unitaria cada vez, escollendo en cada paso a fracción unitaria máis grande posible que non faría que a suma expandida supere o número obxectivo. Despois de cada paso, o numerador da fracción que aínda fica por expandir diminúe, polo que o número total de pasos nunca pode superar o numerador inicial, pero ás veces é menor. Por exemplo, cando se aplica a ${\tfrac {3}{n}}$, o algoritmo exhaustivo usará dous termos sempre que $n$ sexa 2 módulo 3, pero existe unha expansión de dous termos sempre que $n$ ten un factor 2 módulo 3, unha condición máis débil. Para os números da forma ${\tfrac {4}{n}}$, o algoritmo exhaustivo producirá unha expansión de catro termos sempre que $n$ sexa 1 módulo 4, e unha expansión con menos termos doutro xeito. Así, outra forma de reformular a conxectura de Erdős-Straus e ver se existe outro método para producir fraccións exipcias, utilizando un número máximo de termos menor para os números ${\tfrac {4}{n}}$.

A conxectura de Erdős-Straus foi formulada en 1948 por Paul Erdős e Ernst G. Straus, e publicada por Erdős (1950). Richard Obláth tamén publicou un primeiro traballo sobre a conxectura, un artigo escrito en 1948 e publicado en 1950, no que estendeu os cálculos anteriores de Straus e Harold N. Shapiro co fin de verificar a conxectura para todos os $n\leq 10^{5}$.

Formulación

A conxectura di que, para cada enteiro $n\geq 2$, existen enteiros positivos $x$, $y$ e $z$ tal que $${\frac {4}{n}}={\frac {1}{x}}+{\frac {1}{y}}+{\frac {1}{z}}.$$ Por exemplo, para $n=5$, hai 2 solucións: $${\frac {4}{5}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{20}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{10}}.$$

Multiplicando ambos os lados da ecuación ${\tfrac {4}{n}}={\tfrac {1}{x}}+{\tfrac {1}{y}}+{\tfrac {1}{z}}$ por $nxyz$ leva a unha forma polinomial equivalente $4xyz=n(xy+xz+yz)$.

Fraccións unitarias distintas

Algúns investigadores requiren ademais que os números enteiros $x$, $y$ e $z$ sexan distintos. Para $n\geq 3$, ese requisito non é importante: Isto débese a que dúas fraccións unitarias idénticas pódense substituír mediante unha das dúas expansións seguintes $${\begin{aligned}{\frac {1}{2r}}+{\frac {1}{2r}}&\Rightarrow {\frac {1}{r+1}}+{\frac {1}{r(r+1)}}\\{\frac {1}{2r+1}}+{\frac {1}{2r+1}}&\Rightarrow {\frac {1}{r+1}}+{\frac {1}{(r+1)(2r+1)}}\\\end{aligned}}$$ (segundo se a fracción repetida ten un denominador par ou impar) e esta substitución pódese repetir ata que non fiquen fraccións duplicadas. Para $n=2$, no entanto, as únicas solucións son as permutacións de ${\tfrac {4}{2}}={\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{1}}$.

Solucións con números negativos

A conxectura de Erdős–Straus require que os tres $x$, $y$ e $z$ sexan positivos. Este requisito é esencial para a dificultade do problema. Realmente a conxectura the Erdős–Straus só é difícil para valores impares de $n$, e se se permiten valores negativos, daquela para os valores impares de $n$ pode resolverse coa seguinte formula: $${\frac {4}{n}}={\frac {1}{(n-1)/2}}+{\frac {1}{(n+1)/2}}-{\frac {1}{n(n-1)(n+1)/4}}.$$

Resultados computacionais

Se a conxectura é falsa, poderíase probar atopando un único número ${\tfrac {4}{n}}$ que non teña representación con tres termos. Para comprobar iso, varios autores realizaron unha procura de contraexemplos por forza bruta. Os intentos deste tipo confirmaron que a conxectura é verdade para todos os $n$ ata $10^{17}$.

Nesas buscas só é necesario atopar expansións ${\tfrac {4}{n}}$ onde $n$ é un número primo. Isto é porque, cando ${\tfrac {4}{n}}$ ten unha expansión de tres termos, daquela tamén a ten ${\tfrac {4}{mn}}$ para todos os enteiros positivos $m$. Para unha solución de ${\tfrac {4}{mn}}$, só hai que dividir a solución para ${\tfrac {4}{n}}$ por $m$: $${\frac {4}{n}}={\frac {1}{x}}+{\frac {1}{y}}+{\frac {1}{z}}\ \Rightarrow \ {\frac {4}{mn}}={\frac {1}{mx}}+{\frac {1}{my}}+{\frac {1}{mz}}.$$ Se ${\tfrac {4}{n}}$ fose un contraexemplo da conxectura, para un número composto $n$, cada factor primo $p$ de $n$ sería tamén un contraexamplo ${\tfrac {4}{p}}$ que tería sido atopado antes na busca por forza bruta. Alén diso, as identidades modulares coñecidas para a conxectura (ver abaixo) poden acelerar as buscas saltándose os valores dos que é sabido teren solucion. Por exemplo, o algoritmo exhaustivo dá atopado unha expansión con tres ou menos termos para todo número ${\tfrac {4}{n}}$ onde $n$ non é 1 módulo 4. Un xeito de progresar neste problema é obter máis identidades modulares, reducindo o número de comprobacións necesarias.

O número de solucións distintas ao problema ${\tfrac {4}{n}}$, en función de $n$, tamén se atopou mediante buscas informáticas de $n$ pequenos e aparece crecer de forma algo irregular con $n$. Comezando por $n=3$, os números de solucións distintas con denominadores distintos son 1, 1, 2, 5, 5, 6, 4, 9, 7, 15, 4, 14, 33, 22, 4, 21, 9, ... (secuencia A073101 na OEIS). Mesmo para $n$ máis grandes ás veces pode haber relativamente poucas solucións; por exemplo, só hai sete solucións distintas para $n=73$.

Resultados teóricos

Na forma $4xyz=n(xy+xz+yz)$, unha ecuación polinomial con variables enteiras, a conxectura de Erdős–Straus é un exemplo de ecuación diofantiana. O principio de Hasse para as ecuacións Diofantianas suxire que estas ecuacións deberían estudarse usando aritmética modular. Se unha ecuación polinómica ten unha solución nos números enteiros, entón tomando esta solución módulo $q$, para calquera enteiro $q$, proporciona unha solución en aritmética módulo $q$. Na outra dirección, se unha ecuación ten unha solución módulo $q$ para cada potencia prima $q$, daquela nalgúns casos é posible reunir estas solucións modulares, usando métodos relacionados co teorema chinés do resto, para obter unha solución nos enteiros. A capacidade do principio de Hasse para solucionar algúns problemas está limitado pola Obstrución de Manin, mais para a conxectura de Erdős–Straus non existe esta obstrución.

Para cada $n$, a ecuación $4xyz=n(xy+xz+yz)$ é facilmente resolúbel módulo calquera primo ou potencia de primo, mais parece que non hai forma de xuntar esas solucións para obter unha solución enteira positiva da ecuación. Non obstante, a aritmética modular e as identidades baseadas na aritmética modular demostraron ser unha ferramenta moi importante no estudo da conxectura.

Identidades modulares

Para valores de $n$ que satisfán certas relacións de congruencia, pódese atopar automaticamente unha expansión para ${\tfrac {4}{n}}$ como unha instancia dunha identidade polinomial. Por exemplo, cando $n$ é 2 módulo 3, ${\tfrac {4}{n}}$ ten a expansión $${\frac {4}{n}}={\frac {1}{n}}+{\frac {1}{(n+1)/3}}+{\frac {1}{n(n+1)/3}}.$$ Aquí cada un dos denominadores $n$, $(n+1)/3$, and $n(n+1)/3$ son un polinomio en $n$, e cada un deles é un enteiro cando $n$ é 2 módulo 3. O algoritmo cobizoso para as fraccións exipcias dá atopado a solución en tres ou menos termos cando $n$ non é 1 ou 17 mod 24, e o caso 17 mod 24 está coberto pola relación 2 mod 3, así que só os valores de $n$ para os que estes dous métodos non atopan expansión en tres ou menos termos son as congruencias de 1 mod 24.

As identidades polinomiais listadas por Mordell (1967) dan unha fracción exipcia de tres termos para ${\tfrac {4}{n}}$ cando $n$ é algún de:

• 2 mod 3,
• 3 mod 4,
• 2 ou 3 mod 5,
• 3, 5, ou 6 mod 7, ou
• 5 mod 8.

As combinacións das identidades de Mordell poden usarse para expandir ${\tfrac {4}{n}}$ para todo $n$, agás posiblemente algún de entre

$\{1,121=11^{2},169=13^{2},289=17^{2},361=19^{2},529=23^{2}\}$ ${\pmod {840}}$. (secuencia A240775 na OEIS)

O menor primo que estas identidades non cobren é 1009. Webb e outros, combinando clases máis longas de identidades modulares, mostraron que a densidade natural de contraexemplos potenciais da conxectura é cero: cando un parámetro $N$ tende a infinito, os valores da fracción no intervalo $[1,N]$, que poderían ser contraexemplos, tende a cero no límite.

Non existencia de identidades

Se fose posible atopar solucións como as anteriores para suficientes módulos diferentes, formando unha cobertura completa de congruencias, o problema estaría resolvido. No entanto, como mostrou Mordell (1967), unha identidade polinómica que proporciona unha solución para valores de $n$ congruentes con $r$ mod $p$ pode existir só cando $r$ non é congruente cun cadrado módulo $p$. (Máis formalmente, este tipo de identidade só pode existir cando $r$ non é un residuo cadrático módulo $p$.) Por exemplo, 2 é un non cadrado mod 3, polo que o resultado de Mordell permite a existencia dunha identidade para $n$ congruente con 2 mod 3. Mais 1 é un cadrado mod 3 (igual ao cadrado de 1 e 2 mod 3), polo que non pode haber unha cobertura mediante identidades similares para todos os valores de $n$ que sexan congruentes con 1 mod 3. De xeito máis xeral, xa que 1 é un cadrado mod $n$ para todos os $n>1$, non pode haber unha cobertura completa con identidades modulares para todos os $n$, porque sempre o 1 modular non estará cuberto.

Mália o resultado de Mordell que limita a forma de identidades modulares para este problema, aínda hai algunha esperanza de usar identidades modulares para probar a conxectura de Erdős-Straus. Ningún número primo pode ser un cadrado, polo que polo teorema de Hasse-Minkowski, sempre que $p$ é primo, existe un $q$ primo maior, de tal xeito que $p$ non é un residuo cuadrático módulo $q$. Un enfoque posible para demostrar a conxectura sería atopar para cada $p$ primo un $q$ primo maior e unha congruencia resolvendo o problema ${\tfrac {4}{n}}$ para $n$ congruente a $p$ mod $q$. Se se puidese facer isto, ningún $p$ primo podería ser un contraexemplo para a conxectura e a conxectura sería certa.

O número de solucións

Elsholtz & Tao (2013) mostraron que o número meio de solucións ao problema ${\tfrac {4}{n}}$ (promediado sobre os números primos ata $n$) ten limite superior polilogaritmicamente en $n$. Para algúns outros problemas diofantinos, a existencia dunha solución pode ser demostrada asintoticamente con un límite inferior no número de solucións, mais isto funciona mellor cando o número de solucións medra polo menos polinomialmente, polo que a taxa de crecemento máis lenta do resultado de Elsholtz e Tao fai menos probable unha proba deste tipo. Elsholtz e Tao clasifican as solucións segundo $x$, $y$ ou $z$ son divisibles por $n$, para $n$ primo, estas son as únicas posibilidades, aínda que (de media) a maioría das solucións para $n$ composto son doutro tipo. A súa demostración usa o teorema de Bombieri-Vinogradov, o teorema de Brun-Titchmarsh e un sistema de identidades modulares, válido cando $n$ é congruente con $-c$ ou $-{\tfrac {1}{c}}$ módulo $4ab$, onde $a$ e $b$ son dous coprimos positivos calquera enteiros e $c$ é calquera factor impar de $a+b$. Por exemplo, con $a=b=1$ dá unha das identidades de Mordell, válida cando $n$ é 3 mod 4.

Xeneralizacións

Do mesmo xeito que coas fraccións da forma ${\tfrac {4}{n}}$, tamén se conxectura que ${\tfrac {5}{n}}$ (para $n>1$) pode expresarse como suma de tres fraccións unitarias positivas. Unha versión xeneralizada da conxectura afirma que, para calquera $k$ positivo, todas as fraccións ${\tfrac {k}{n}}$, menos un número finito, pódense expresar como unha suma de tres fraccións positivas unitarias. A conxectura para as fraccións ${\tfrac {5}{n}}$ foi feita por Wacław Sierpiński nun artigo de 1956, que atribuíu a conxectura completa ao seu estudante Andrzej Schinzel.

Aínda que a conxectura xeneralizada sexa falsa para calquera valor fixo de $k$, entón o número de fraccións ${\tfrac {k}{n}}$ con $n$ no intervalo de 1 a $N$ que non teñen expansións de tres termos deben medrar só de forma sublinear en función de $N$. En particular, se a propia conxectura de Erdős–Straus (o caso $k=4$) é falsa, entón o número de contraexemplos medra só de forma sublinear. Aínda temos unha proposición máis forte, para calquera $k$ fixo, só un número sublinear de valores de $n$ precisa máis de dous termos nas súas expansións de fracción exipcia. A versión xeneralizada da conxectura é equivalente á afirmación de que o número de fraccións non expandibles non é só sublinear senón limitado.

Cando $n$ é un número impar, por analoxía co problema das expansións exhaustivas de números impares mediante fraccións exipcias, un pode preguntarse por solucións a ${\tfrac {k}{n}}={\tfrac {1}{x}}+{\tfrac {1}{y}}+{\tfrac {1}{z}}$ no que $x$, $y$ e $z$ son números impares positivos distintos. Sábese que sempre existen solucións a esta ecuación para o caso no que k = 3.

Véxase tamén

Outros artigos

• Lista de sumas de recíprocos

Bibliografía

• Ahmadi, M. H.; Bleicher, M. N. (1998). On the conjectures of Erdős and Straus, and Sierpiński on Egyptian fractions. International Journal of Mathematical and Statistical Sciences 7. pp. 169–185. MR 1666363. .
• Bernstein, Leon (1962). "Zur Lösung der diophantischen Gleichung m/n=1/x+1/y+1/z , insbesondere im Fall m=4". Journal für die Reine und Angewandte Mathematik 211: 1–10. MR 0142508. doi:10.1515/crll.1962.211.1. .
• Bright, Martin; Loughran, Daniel (2020). Brauer–Manin obstruction for Erdős–Straus surfaces. Bulletin of the London Mathematical Society 52. pp. 746–761. MR 4171399. arXiv:1908.02526. doi:10.1112/blms.12374. .
• Elsholtz, Christian (2001). Sums of k unit fractions. Transactions of the American Mathematical Society 353. pp. 3209–3227. MR 1828604. doi:10.1090/S0002-9947-01-02782-9. .
• Elsholtz, Christian; Tao, Terence (2013). Counting the number of solutions to the Erdős–Straus equation on unit fractions (PDF). Journal of the Australian Mathematical Society 94. pp. 50–105. MR 3101397. arXiv:1107.1010. doi:10.1017/S1446788712000468. .
• Eppstein, David (1995). Ten algorithms for Egyptian fractions. Mathematica in Education and Research 4. pp. 5–15.  Ver en particular a sección "Small numerators"
• Erdős, Paul (1950). Az 1/x_1+1/x_2+1/x_3 =a/b egyenlet egész számú megoldásairól (On a Diophantine Equation) (PDF). Mat. Lapok. (en Hungarian) 1. pp. 192–210. MR 0043117. .
• Graham, Ronald L. (2013). "Paul Erdős and Egyptian fractions" (PDF). En Lovász, László; Ruzsa, Imre Z.; Sós, Vera T. Erdös Centennial. Bolyai Society Mathematical Studies 25. Budapest: János Bolyai Mathematical Society. pp. 289–309. MR 3203600. doi:10.1007/978-3-642-39286-3_9. 
• Guy, Richard K. (2004). Unsolved Problems in Number Theory (3rd ed.). Springer Verlag. pp. D11. ISBN 0-387-20860-7. .
• Hagedorn, Thomas R. (2000). A proof of a conjecture on Egyptian fractions. American Mathematical Monthly 107 (Mathematical Association of America). pp. 62–63. JSTOR 2589381. MR 1745572. doi:10.2307/2589381. .
• Hofmeister, Gerd; Stoll, Peter (1985). Note on Egyptian fractions. Journal für die Reine und Angewandte Mathematik 362. pp. 141–145. MR 809971. .
• Ionascu, Eugen J.; Wilson, Andrew (2011). On the Erdös–Straus conjecture. Revue Roumaine de Mathématiques Pures et Appliquées 56. pp. 21–30. MR 2848047. arXiv:1001.1100. .
• Jaroma, John H. (2004). On expanding 4/n into three Egyptian fractions. Crux Mathematicorum 30. pp. 36–37. .
• Jollensten, Ralph W. (1976). "A note on the Egyptian problem". Proceedings of the Seventh Southeastern Conference on Combinatorics, Graph Theory, and Computing (Louisiana State Univ., Baton Rouge, La., 1976). Congressus Numerantium XVII. Winnipeg, Man.: Utilitas Math. pp. 351–364. MR 0429735. .
• Kiss, Ernest (1959). Quelques remarques sur une équation diophantienne. Acad. R. P. Romîne Fil. Cluj Stud. Cerc. Mat. (en Romanian) 10. pp. 59–62. MR 0125069. .
• Kotsireas, Ilias (1999). "The Erdős-Straus conjecture on Egyptian fractions". Paul Erdős and his mathematics (Budapest, 1999). Budapest: János Bolyai Math. Soc. pp. 140–144. MR 1901903. .
• Li, Delang (1981). On the equation 4/n=1/x+1/y+1/z. Journal of Number Theory 13. pp. 485–494. MR 0642923. doi:10.1016/0022-314X(81)90039-1. .
• Mordell, Louis J. (1967). Diophantine Equations. Academic Press. pp. 287–290. .
• Obláth, Richard (1950). Sur l'équation diophantienne 4/n=1/x_1+1/x_2+1/x_3. Mathesis (en French) 59. pp. 308–316. MR 0038999. M. Strauss [sic] a vérifié l'hypothèse de M. Erdős pour toute valeur de n < 5.000, et M. Shapiro pour n < 20.000. Nos théorèmes donnent la solution pour tout nombre < 106.128 .
• Rosati, Luigi Antonio (1954). Sull'equazione diofantea 4/n=1/x_1+1/x_2+1/x_3. Boll. Un. Mat. Ital. (3) (en Italian) 9. pp. 59–63. MR 0060526. .
• Salez, Serge E. (2014). The Erdős-Straus conjecture New modular equations and checking up to N=10^{17}. Bibcode:2014arXiv1406.6307S. arXiv:1406.6307. 
• Sander, J. W. (1994). On 4/n=1/x+1/y+1/z and Iwaniec' half-dimensional sieve. Journal of Number Theory 46. pp. 123–136. MR 1269248. doi:10.1006/jnth.1994.1008. .
• Schinzel, André (1956). Sur quelques propriétés des nombres 3/n et 4/n , où n est un nombre impair. Mathesis (en French) 65. pp. 219–222. MR 0080683. .
• Sierpiński, Wacław (1956). Sur les décompositions de nombres rationnels en fractions primaires. Mathesis (en French) 65. pp. 16–32. MR 0078385. . Reprinted with additional annotations in Sierpiński, Wacław (1974). Oeuvres Choisies I. Warsaw: PWN—Éditions Scientifiques de Pologne. pp. 169–184. MR 0414302. .
• Suryanarayana, D.; Rao, N. Venkateswara (1965). On a paper of André Schinzel. J. Indian Math. Soc. New Series 29. pp. 165–167. MR 0202659. .
• Terzi, D. G. (1971). On a conjecture by Erdős-Straus. Nordisk Tidskr. Informationsbehandling (BIT) 11. pp. 212–216. MR 0297703. doi:10.1007/BF01934370. .
• Vaughan, R. C. (1970). On a problem of Erdős, Straus and Schinzel. Mathematika 17. pp. 193–198. MR 0289409. doi:10.1112/S0025579300002886. 
• Webb, William A. (1970). On 4/n=1/x_1+1/x_2+1/x_3. Proceedings of the American Mathematical Society 25 (American Mathematical Society). pp. 578–584. JSTOR 2036647. MR 0256984. doi:10.2307/2036647. .
• Yamamoto, Koichi (1965). On the Diophantine equation 4/n=1/x+1/y+1/z. Memoirs of the Faculty of Science. Kyushu University. Series A. Mathematics 19. pp. 37–47. MR 0177945. doi:10.2206/kyushumfs.19.37. .
• Yang, Xun Qian (1982). A note on 4/n=1/x+1/y+1/z. Proceedings of the American Mathematical Society 85. pp. 496–498. JSTOR 2044050. MR 660589. doi:10.2307/2044050. .