Fracción unitaria

Anacos de aproximadamente 1/8 dunha pizza

Unha fracción unitaria é unha fracción positiva con un 1 como o seu numerator, 1/n. É o multiplicativo inverso (recíproco) do denominador da fracción, que debe ser un número natural positivo. Os exemplos son 1/1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, etc. Cando un obxecto é dividido a partes iguais, cada parte é unha fracción unitaria da totalidade.

Multiplicando dúas fraccións de unidade produce outra fracción de unidade, mais outras operacións aritméticas non preservan as fraccións unitarias. En aritmética modular, as fraccións unitarias poden ser convertidas a números enteiros equivalentes, permitindo que a división modular poida ser transformada a unha multiplicación. Cada número racional pode ser representado como suma de fraccións unitarias distintas; estas representacións chámanse fraccións exipcias. Moitas sumas infinitas de fraccións unitarias son significativas matecamente, por exemplo a zeta de Riemann.

En xeometría, as fraccións unitarias poden caracterizar a curvatura de grupos de triángulos e os círculos de Ford tanxentes. As fraccións unitarias utilízanse na división xusta, e este método un paso previo na educación matemática cara a comprensión doutras fraccións. As fraccións unitarias son comúns en teoría de probabilidade debido ao principio de indiferenza. Tamén teñen aplicación en optimización combinatorial e na análise do patrón de frecuencias na serie espectral do hidróxeno.

Aritmética

As fraccións unitarias son os números racionais que poden ser escritos na forma

$${\frac {1}{n}},$$

Onde $n$ pode ser calquera número natural positivo. Son por tanto o inverso multiplicativo dos enteiros positivos. Cando algo é dividido en $n$ partes iguais, cada parte é un $1/n$ fracción da totalidade.

Aritmética elemental

Multiplicando calquera dúas fraccións unitarias resulta outra fracción unitaria :

$${\frac {1}{x}}\times {\frac {1}{y}}={\frac {1}{xy}}.$$

No entanto, a suma, resta ou división de dúas fraccións unitarias producen un resultado que normalmente non é unha fracción unitaria:

$${\frac {1}{x}}+{\frac {1}{y}}={\frac {x+y}{xy}}$$

$${\frac {1}{x}}-{\frac {1}{y}}={\frac {y-x}{xy}}$$

$${\frac {1}{x}}\div {\frac {1}{y}}={\frac {y}{x}}.$$

Aritmética Modular

En aritmética modular, calquera fracción unitaria pódese converter a un número enteiro equivalente usando o algoritmo de Euclides estendido. Esta conversión pode usarse para realizar a división modular: dividir por un número $x$ modulo $y$, pode realizarse convertendo a fracción unitaria $1/x$ a un número enteiro equivalente modulo $y$, e daquela multiplicar por ese número.

En máis detalle, supón $x$ coprimo a $y$ (doutro xeito, a división modular non estaría definida). O algoritmo de Euclides estendido usado para obter o máximo común divisor, tamén se pode usar para atopar os enteiros $a$ e $b$ que cumpran a identidade de Bézout:

$$\displaystyle ax+by=\gcd(x,y)=1.$$

En aritmética modular, o termo $by$ pode ser eliminado pois é cero modulo $y$. Isto deixa

$$\displaystyle ax\equiv 1{\pmod {y}}.$$

isto é, $a$ é o inverso modular de $x$, $a$ é o número que multiplicado por $x$ dá 1. Equivalentemente,

$$a\equiv {\frac {1}{x}}{\pmod {y}}.$$

Daquela, a división por $x$ (modulo $y$) pode realizarse multiplicando polo enteiro $a$.

As súas combinacións

Son varias as construcións matemáticas que implican combinar múltiples fraccións unitarias, a miúdo as súas sumas.

Sumas finitas

Véxase tamén: Lista de sumas de recíprocos.

Calquera número racional positivo pode ser escrito como a suma de fraccións unitarias distintas, de múltiples xeitos. Por exemplo,

${\frac {4}{5}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{20}}={\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{10}}.$

Chamamos a estas sumas fraccións exipcias, porque as utilizaron nas antigas civilizacións exipcias. Aínda é un tema vivo na teoría de números moderna; por exemplo, a conxectura de Erdős-Graham e a conxectura de Erdős-Straus, ambas as dúas referentes a sumas de fraccións unidatarias, tamén aparecen non números de Ore (número de divisores harmónicos).

Un patrón de triángulos esféricos con simetría de reflexión a través de cada bordo de triángulo. Os patróns de reflexión esférica así coma este con triángulos $2x,2y,2z$, en cada vértice, (aquí $x,y,z=2,3,5$), só existen cando${\tfrac {1}{x}}+{\tfrac {1}{y}}+{\tfrac {1}{z}}>1$

En teoría xeométrica de grupos, os grupos de triángulos son clasificados nos casos Euclideo, esférico e hiperbólico segundo se unha suma asociada de fraccións unitarias é igual a 1, máis grande que 1, ou menor que 1, respectivamente.

Serie infinita

Véxase tamén: Lista de sumas de recíprocos.

Moitas series infinitas famosas teñen termos que son fraccións unitarias. Estas inclúen:

• A serie harmónica, suma de todas as fraccións unitarias positivas. Esta suma diverxe, e as súas sumas parciais
  $${\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\cdots +{\frac {1}{n}}$$
  aproxímanse ao logaritmo neperiano de $n$ máis a constante de Euler–Mascheroni ou número e. A suma alterna dá como resultado o logaritmo neperiano de 2:
  $$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}=1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}-\cdots =\ln 2.$$
• A fórmula de Leibniz para π é
  $$1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}-\cdots ={\frac {\pi }{4}}.$$
• O problema de Basilea atende á suma das fraccións unitarias cadradas:
  $$1+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{9}}+{\frac {1}{16}}+\cdots ={\frac {\pi ^{2}}{6}}.$$
  De xeito semellante, a constante de Apéry é un número irracional, que é a suma do cubo das fraccións unitarias.
• A serie xeométrica binaria é
  $$1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}+\cdots =2.$$

Matrices

Unha matriz de Hilbert é unha matriz cadrada na que todos os elementos na antidiagonal $i$-ésima son fraccións unitarias $1/i$.

$$B_{i,j}={\frac {1}{i+j-1}}.$$

Por exemplo, a matriz

$${\begin{bmatrix}1&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{3}}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{4}}\\{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{5}}\end{bmatrix}}$$

É unha matriz de Hilbert. Ten a propiedade infrecuente de que todos os elementos da súa matriz inversa son enteiros. De xeito semellante, Richardson (2001) definiu unha matriz cuxos elementos son fraccións unitarias cuxos denominadores son números de Fibonacci:

$$C_{i,j}={\frac {1}{F_{i+j-1}}},$$

Onde $F_{i}$ denota o $i$-ésimo número de Fibonacci. Chamou a esta matriz de Filbert a matriz e ten a mesma propiedade de ter a inversa todos os seus elementos enteiros.

Adxacentes e círculos de Ford

As fraccións dos Círculos de Ford difiren por unha fracción unitaria.

Dúas fraccións $a/b$ e $c/d$ (nos seus valores simplificados) chámanse adxacentes se

$$ad-bc=\pm 1,$$

o que implica que difiren nunha fracción unitaria:

$$\left|{\frac {1}{a}}-{\frac {1}{b}}\right|={\frac {|ad-bc|}{bd}}={\frac {1}{bd}}.$$

Por exemplo, ${\tfrac {1}{2}}$ e ${\tfrac {3}{5}}$ son adxacentes: $1\cdot 5-2\cdot 3=-1$ e ${\tfrac {3}{5}}-{\tfrac {1}{2}}={\tfrac {1}{10}}$ . Con todo, a condición contraria non se cumpre sempre: por exemplo, ${\tfrac {1}{3}}$ e ${\tfrac {2}{3}}$ difiren por unha fracción unitaria, mais non son adxacente, porque para elas $ad-bc=3$.

Esta terminoloxía vén do estudo dos círculos de Ford. Son un sistema de círculos que son tanxentes á recta numérica nunha fracción dada, e teñen como diámetro o denominador da fracción ao cadrado. As fraccións $a/b$ e $c/d$ son adxacentes se e só se os seus círculos de Ford son círculos tanxentes.

Aplicacións

Probabilidade e estatística

Un dado de seis caras ten probabilidade 1/6 de aterrar por cada lado.

Nunha distribución uniforme nun espazo diferenciado, todas as probabilidades son fraccións unitarias iguais. Debido ao principio de indiferenza, as probabilidades desta forma xorden frecuentemente en cálculos estatísticos.

As probabilidades desiguais relacionadas a fraccións unitarias xorden na lei de Zipf. Isto expón que, para moitos fenómenos observados implicando a selección de elementos dunha secuencia ordenada, a probabilidade de que o $n$-ésimo elemento sexa seleccionado é proporcional á fracción unitaria $1/n$.

Optimización combinatorial

No estudo de problemas de optimización combinatorial, o problema do empaquetamento (bin packing) implican unha secuencia de entrada de elementos con tamaños fraccionais, que deben colocarse en paquetes cuxa capacidade (o tamaño total de elementos colocados en cada paquete) sexa 1. A investigación destes problemas inclúen o estudo de paquetes coa restrición de que os tamaños dos elementos son fraccións unitarias.

Mesmo para problemas de empaquetado con tamaños arbitrarios dos elemento, pode ser útil redondear superiormente cada tamaño até a fracción unidade máis próxima, e daquela aplicar un algoritmo especializado en fraccións unitarias. En particular, o método de empaquetado harmónico fai exactamente isto.

Física

A serie espectral do hidróxeno nunha escala logarítmica. As frecuencias das liñas de emisión son proporcionais a diferenzas de pares de fraccións unitarias.

Os niveis de enerxía de fotóns que poden ser absorbido ou emitidos por un átomo de hidróxeno son, segundo a fórmula de Rydberg, proporcional ás diferenzas de dúas fraccións unitarias. Unha explicación para este fenómeno proporcionouno o modelo de Bohr, segundo o cal os niveis de enerxía dos electróns orbitais nun átomo de hidróxeno son inversamente proporcionais as fraccións unitarias cadradas, e a enerxía dun fotón cuantifícase na diferenza entre dous niveis.

Arthur Eddington argumentou que a constante de estrutura fina era unha fracción unitaria. Inicialmente pensou que podía ser 1/136 e máis tarde mudou a 1/137. Isto resultou falso, dado que as estimacións actuais da constante de estrutura fina (a 6 díxitos significativos) é 1/137,036.

Véxase tamén

Outros artigos

• Conxectura de Erdős-Straus
• Crebacabezas das partillas de 17 animais