Densidade natural

Na teoría dos números, a densidade natural, tamén coñecida como densidade asintótica ou densidade aritmética, é un método para medir o "grande" que é un subconxunto do conxunto de números naturais . Depende principalmente da probabilidade de atopar membros do subconxunto desexado ao pasar polo intervalo [1, n] a medida que n aumenta.

Intuitivamente, vemos que hai máis números enteiros positivos que cadrados perfectos. No entanto, o conxunto de enteiros positivos non é de feito maior que o conxunto de cadrados perfectos: ambos os dous conxuntos son infinitos e contables e, polo tanto, pódense poñer en correspondencia un a un. Con todo, se un pasa polos números naturais, os cadrados fanse cada vez máis escasos.

Se seleccionamos un número enteiro aleatoriamente do intervalo [1, n], entón a probabilidade de que pertenza a A é a relación entre o número de elementos de A en [1, n] e o número total de elementos en [1, n] . Se esta probabilidade tende a algún límite mentres n tende ao infinito, entón este límite denomínase densidade asintótica de A. Esta noción pódese entender como unha especie de probabilidade de escoller un número do conxunto A. De feito, a densidade asintótica (así como outros tipos de densidades) estúdase na teoría probabilística dos números .

Definición

Un subconxunto A de enteiros positivos ten densidade natural α se a proporción de elementos de A entre todos os números naturais de 1 a n converxe a α mentres n tende ao infinito.

Máis explicitamente, se se define para calquera número natural n a función de contaxe a(n) como o número de elementos de A menor ou igual a n, entón a densidade natural de A sendo α significa exactamente que a(n)/n → α as n → ∞.

$${\underline {d}}(A)=\liminf _{n\rightarrow \infty }{\frac {a(n)}{n}}$$

Da definición despréndese que se un conxunto A ten densidade natural α entón 0 ≤ α ≤ 1.

Densidade asintótica superior e inferior

Define a densidade asintótica superior ${\overline {d}}(A)$ de $A$ (tamén chamada "densidade superior") por

$${\underline {d}}(A)=\liminf _{n\rightarrow \infty }{\frac {a(n)}{n}}$$

Do mesmo xeito, define a densidade asintótica máis baixa ${\underline {d}}(A)$ de $A$ (tamén chamada "densidade inferior") por

$$d(A)=\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {a(n)}{n}}$$

Pódese dicir que $A$ ten densidade asintótica $d(A)$ se ${\underline {d}}(A)={\overline {d}}(A)$, nese caso $d(A)$ é igual a este valor común se existe este límite.

Propiedades e exemplos

• Para calquera conxunto finito F de enteiros positivos, d (F) = 0.

• Se d (A) existe para algún conxunto A e A ^c denota o seu conxunto complemento con respecto a $\mathbb {N}$, entón d (A ^c) = 1 − d ( A ).
  • Corolario: Se $F\subset \mathbb {N}$ é finito (incluíndo o caso $F=\emptyset$ ), $d(\mathbb {N} \setminus F)=1.$

• Se $d(A),d(B),$ e $d(A\cup B)$ existen, daquela
  $$\max\{d(A),d(B)\}\leq d(A\cup B)\leq \min\{d(A)+d(B),1\}.$$

• Se $A=\{n^{2}:n\in \mathbb {N} \}$ é o conxunto de todos os cadrados, entón d (A) = 0.

• Se $A=\{2n:n\in \mathbb {N} \}$ é o conxunto de todos os números pares, entón d (A) = 0,5. Do mesmo xeito, para calquera progresión aritmética $A=\{an+b:n\in \mathbb {N} \}$ obtemos $d(A)={\tfrac {1}{a}}.$

• Para o conxunto P de todos os primos obtemos do teorema dos números primos que d (P) = 0.

• O conxunto de todos os enteiros libres de cadrados ten densidade ${\tfrac {6}{\pi ^{2}}}.$ De forma máis xeral, o conxunto de todos os números libres dunha potencia n para calquera n natural, ten densidade ${\tfrac {1}{\zeta (n)}},$ onde $\zeta (n)$ é a función zeta de Riemann .

• O conxunto de números abundantes ten unha densidade distinta de cero. Marc Deléglise demostrou en 1998 que a densidade do conxunto de números abundantes está entre 0,2474 e 0,2480.

• O conxunto

$A=\bigcup _{n=0}^{\infty }\left\{2^{2n},\ldots ,2^{2n+1}-1\right\}$

de números cuxa expansión binaria contén un número impar de díxitos é un exemplo dun conxunto que non ten unha densidade asintótica, xa que a densidade superior deste conxunto é

${\overline {d}}(A)=\lim _{m\to \infty }{\frac {1+2^{2}+\cdots +2^{2m}}{2^{2m+1}-1}}=\lim _{m\to \infty }{\frac {2^{2m+2}-1}{3(2^{2m+1}-1)}}={\frac {2}{3}},$

mentres que a súa menor densidade é

${\underline {d}}(A)=\lim _{m\to \infty }{\frac {1+2^{2}+\cdots +2^{2m}}{2^{2m+2}-1}}=\lim _{m\to \infty }{\frac {2^{2m+2}-1}{3(2^{2m+2}-1)}}={\frac {1}{3}}.$

• Considera unha secuencia equidistribuída $\{\alpha _{n}\}_{n\in \mathbb {N} }$ en $[0,1]$ e define unha familia monótona $\{A_{x}\}_{x\in [0,1]}$ de conxuntos:

$A_{x}:=\{n\in \mathbb {N} :\alpha _{n}<x\}.$

Daquela, por definición, $d(A_{x})=x$ para todos os $x$ .

• Se S é un conxunto de densidades superiores positivas, entón o teorema de Szemerédi afirma que S contén progresións aritméticas finitas arbitrariamente grandes, e o teorema de Furstenberg–Sárközy afirma que algúns dous membros de S difiren por un número cadrado.

Véxase tamén

Bibliografía

• Nathanson, Melvyn B. (2000). Elementary Methods in Number Theory. Graduate Texts in Mathematics 195. Springer-Verlag. ISBN 978-0387989129. Zbl 0953.11002. 
• Niven, Ivan (1951). "The asymptotic density of sequences". Bulletin of the American Mathematical Society 57 (6). pp. 420–434. MR 0044561. Zbl 0044.03603. doi:10.1090/s0002-9904-1951-09543-9. 
• Steuding, Jörn (2002). "Probabilistic number theory" (PDF). Arquivado dende o orixinal (PDF) o December 22, 2011. Consultado o 2014-11-16. 
• Tenenbaum, Gérald (1995). Introduction to analytic and probabilistic number theory. Cambridge Studies in Advanced Mathematics 46. Cambridge University Press. Zbl 0831.11001. 

Outros artigos

• Densidade de Dirichlet
• Conxectura de Erdős sobre progresións aritméticas