Espazo euclidiano

Na Galipedia, a Wikipedia en galego.
Representación gráfica de .

O espazo euclidiano é un espazo xeométrico no que se satisfán os axiomas de Euclides da xeometría. A recta real, o plano euclidiano e o espazo tridimensional da xeometría euclidiana son casos especiais de espazos euclidiano de dimensións 1, 2 e 3 respectivamente. O concepto abstracto de espazo euclídeo xeneraliza esas construcións a máis dimensións. Un espazo euclidiano é un espazo vectorial completo dotado dun produto interno (o cal o converte ademais nun espazo normado, un espazo métrico e unha variedade riemanniana ao mesmo tempo).

O termo euclidiano emprégase para distinguir estes espazos dos espazos "curvos" das xeometrías non euclidianas e do espazo da teoría da relatividade de Einstein. Para destacar o feito de que un espazo euclidiano pode posuír n dimensións, adóitase falar de "espazo euclidiano n-dimensional" (denotado , ou mesmo ).

Introdución[editar | editar a fonte]

Un espazo euclidiano de dimensión finita é un espazo vectorial normado sobre os números reais de dimensión finita, no que a norma é a asociada ao produto escalar ordinario. Para cada número enteiro non negativo n, o espazo euclidiano n-dimensional represéntase polo símbolo e é o conxunto de todas as tuplas ordenadas

onde cada é un número real, xunto coa función distancia entre dous puntos (x1, ..., xn) e (y1, ..., yn) definida pola fórmula:


Esta función distancia é unha xeneralización do teorema de Pitágoras e denomínase distancia euclidiana. O feito de que se definise unha distancia permite definir outros conceptos métricos como o de medida de Lebesgue (que permite á súa vez definir a lonxitude dunha curva (1-volume), as nocións de área (2-volume), volume (3-volume) e cando o espazo ten dimensión superior a 3 n-volume (para n > 3).

Ademais poden definirse ángulos, ao poder falar de proxectar unha lonxitude recta sobre a dirección doutra lonxitude recta non paralela, polo que o ángulo entre dúas rectas r1 e r2 con vectores unitarios tanxentes e se pode definir como:

Estruturas sobre o espazo euclidiano[editar | editar a fonte]

Os espazos euclidianos e as súas propiedades serviron de base para xerar gran cantidade de conceptos matemáticos relacionados coa xeometría analítica, a topoloxía, a álxebra e o cálculo. Aínda que o espazo euclidiano adoita ser introducido, por razóns didácticas, como espazo vectorial, en realidade sobre el pódense definir moitas máis estruturas. O espazo euclídeo é ademais dun espazo vectorial un caso de:

O espazo euclidiano como espazo métrico[editar | editar a fonte]

Por definición, E n é un espazo métrico, e é polo tanto tamén un espazo topolóxico; é o exemplo prototípico dunha n-variedade, e é de feito unha n-variedade diferenciable. Para n ≠ 4, calquera n-variedade diferenciable que sexa homeomorfa a E n é tamén difeomorfa a ela. O feito sorprendente é que isto non é certo tamén para n = 4, o que foi probado por Simon Donaldson no ano 1982; os contraexemplos chámanse 4-espazos exóticos (ou falsos).

O espazo euclidiano como espazo topolóxico[editar | editar a fonte]

Pódese dicir moito sobre a topoloxía de E n. Un resultado importante, a invariancia do dominio de Brouwer, é o de que calquera subconxunto de E n que sexa homeomorfo a un subconxunto aberto de E n é en si mesmo aberto. Como consecuencia inmediata disto tense que E m non é homeomorfo a E n se mn, un resultado intuitivamente "obvio" que con todo non é doado de demostrar.

O espazo euclidiano como espazo vectorial[editar | editar a fonte]

O n-espazo euclidiano pódese considerar tamén como un espazo vectorial n-dimensional real, de feito un espazo de Hilbert, de maneira natural. O produto escalar, de x = (x1,...,xn) e y = (y1,...,yn) está dado por:

Espazo euclidiano de dimensión infinita[editar | editar a fonte]

Os espazos euclidianos considerados usualmente ten unha dimensión topolóxica finita. Iso fai que sexan localmente compactos. Con todo, é posibel concibir estruturas de dimensión infinita que teñan propiedades análogas aos espazos euclidianos, polo que a extensión á dimensión infinita da noción de espazo euclidiano é posíbel cunhas poucas precaucións.[1] En primeiro lugar pódese considerar o conxunto definido como:

É dicir este conxunto é o produto cartesiano dun número infinito numerable de copias de . Con todo o conxunto de todas esas tuplas infinitas non ten a estrutura de espazo euclidiano porque non se pode dotar dunha norma euclidiana axeitada. Por exemplo as tuplas:

non representan vectores cunha suma de compoñentes ao cadrado que sexa un número real finito. Por esta razón considérase o subconxunto:

Este espazo vectorial comparte a maior parte dos espazos euclidianos finitodimensionales e polo tanto pode considerarse un espazo euclidiano infinitodimensional; a principal propiedade é que o espazo euclidiano infinitodimensional a diferenza das súas versións finitodimensionais non é un espazo localmente compacto.

Notas[editar | editar a fonte]

Véxase tamén[editar | editar a fonte]

Outros artigos[editar | editar a fonte]