Límite dunha función
O límite dunha función é un concepto fundamental do cálculo diferencial matemático, un caso de límite aplicado ás funcións.
Informalmente, o feito de que unha función f teña un límite L nun punto c significa que o valor de f pode ser tan próximo a L como se desexe, tomando puntos suficientemente próximos a c, independentemente do que ocorra en c.
Historia
[editar | editar a fonte]Aínda que implícita no desenvolvemento do cálculo dos séculos XVII e XVIII, a notación moderna do límite dunha función remóntase a Bolzano quen, en 1817, introduciu as bases da técnica épsilon-delta.[1] Mais o seu traballo non foi coñecido mentres estivo vivo. Cauchy expuxo límites no seu Cours d'analyse (1821) e parece ter expresado a esencia da idea, pero non dunha maneira sistemática.[2] A primeira presentación rigorosa da técnica feita pública foi dada por Weierstrass nos 1850 e 1860[3] e desde entón converteuse no método estándar para traballar con límites.
A notación de escritura usando a abreviatura lim coa frecha debaixo é debida a Hardy, que a usou no seu libro A Course of Pure Mathematics en 1908.[2]
Definición formal
[editar | editar a fonte]Funcións dunha variable real
[editar | editar a fonte]Se a función ten límite en podemos dicir de maneira informal que a función tende cara ao límite próximo a se se pode facer que sexa tan próximo como queiramos de dándolle valores a para que sexa o suficientemente parecido a mais sendo distinto de .
Os conceptos próximo ou parecido son matematicamente pouco precisos. Por esta razón, dáse unha definición formal de límite que precisa estes conceptos que di:
- O límite dunha función f(x), cando x tende a c é L se e só se para todo existe un tal que para todo número real x no dominio da función .
Isto, escrito en notación formal:
Esta notación dinos que se o límite existe, entón pódese estar tan preto del como queiramos. Se non se logra estar o suficientemente preto, entón a elección do δ non era a axeitada. A definición asegura que se o límite existe, entón é posible encontrar tal δ.
Non obstante, hai casos como por exemplo a función de Dirichlet definida como:
onde non existe un número c para o cal exista . Polo tanto, para demostrar a anterior afirmación é necesario facer uso do feito de que cada intervalo contén tanto números racionais como irracionais.
Límites laterais
[editar | editar a fonte]x pode aproximarse a c tomando valores máis grandes que este (dereita):
ou tomando valores máis pequenos (esquerda):
Se os dous límites anteriores son iguais:
entón L pódese referir como o límite de f(x) en c. Dito doutro xeito, se estes non son iguais a L, entón o límite, como tal, non existe.
Funcións en espazos métricos
[editar | editar a fonte]Existe outra maneira de definir o límite que ten que ver cos conceptos de bólas e veciñanzas:
Supóñase f : (M, dM) → (N, dN) unha función entre dous espazos métricos, p é un punto límite de M e L∈N. Dicimos que "o límite de f en c é L" e escribimos
se e só se para todo ε > 0 existe un δ > 0 tal que para toda x∈M en 0 < dM(x, c) < δ, temos dN(f(x), L) < ε.
En termos de desigualdades, temos que o límite da función f(x) en x = c é L se se cumpre que para todo ε > 0 existe un δ(ε) > 0 tal que, para todo x:
, entón
Da desigualdade 0 < |x - c| < δ obtense o seguinte:
- x pertence á veciñanza (c - δ, c) U (c, c + δ).
- x non é igual a c, pois 0 < |x - c| implica que x é distinto de c.
- A solución de |f(x) - L| < ε pertence ao intervalo (L - ε, L + ε).
Isto proporciona a clave de comprensión do concepto de límite, pois mentres que o valor de x está na veciñanza horizontal arredor do punto c e oca en c con radio delta e centro c, aínda cando nese punto c non estea definida, o valor de y está no intervalo vertical con centro en f(c) e radio épsilon.
Unicidade do límite
[editar | editar a fonte]Se o límite dunha función existe, entón este é único. Este teorema é válido en espazos topolóxicos Hausdorff.[4]
Supoñamos que , vexamos que non pode ser que tamén verifique a definición. Para isto tomamos unha veciñanza E de L e unha veciñanza E' de L' que non se interseccionen. Por definición de límite para todo x nalgunha veciñanza oca de c, polo que non pode estar en E', evitando que o límite sexa L'.
Propiedades dos límites
[editar | editar a fonte]Propiedades xerais
[editar | editar a fonte]Se k é un escalar:
Límite de | Expresión |
---|---|
Unha constante | |
A función identidade | |
O produto dunha función e unha constante | |
Unha suma | |
Unha resta | |
Un produto | |
Un cociente | |
Unha potencia | |
Un logaritmo | |
O número e | |
Función f(x) acoutada e g(x) infinitesimal | . |
Indeterminacións
[editar | editar a fonte]Hai varios tipos de indeterminacións, entre elas as seguintes (considere como o límite que tende a infinito e o límite cando tende a 0; e non o número 0):
Operación | Indeterminación |
---|---|
Subtracción | |
Multiplicación | |
División | |
Elevación a potencia |
- Exemplo.
0/0 é unha indeterminación, é dicir, non é posible, a priori, saber cal é o valor dun límite que tende a cero sobre outro que tamén tende a cero xa que o resultado non é sempre o mesmo. Por exemplo:
Regra de l'Hôpital
[editar | editar a fonte]- Artigo principal: Regra de l'Hôpital.
Esta regra fai uso da derivada e ten un uso condicional. Esta só pode usarse directamente en límites «equivalentes» a 0/0 ou a ±∞/±∞. Outras indeterminacións requiren algunha manipulación alxébrica, polo xeral, establecer que o límite é igual a y, tomar o logaritmo natural en ambos membros, e entón aplicar a regra de l'Hôpital.
Por exemplo:
Límites trigonométricos
[editar | editar a fonte]Demostracións
[editar | editar a fonte]Nalgunhas demostracións, por exemplo, o segundo destes límites trigonométricos, utiliza a inecuación sin(x) < x < tan(x) no intervalo (0,π/2), que relaciona x coas funcións seno e tanxente. Logo dividimos por sin(x), obtendo:
Invertendo os termos da inecuación e cambiando os signos de desigualdade:
Calculando o límite cando x tende a 0:
O que é igual a:
Aplicando o teorema do sandwich, o límite necesariamente vale 1:
O terceiro dos límites demóstrase utilizando as propiedades dos límites e o valor obtido no límite anterior. É dicir:
Notas
[editar | editar a fonte]- ↑ MacTutor History of Bolzano
- ↑ 2,0 2,1 "Jeff Miller's history of math website.". Arquivado dende o orixinal o 05 de decembro de 1998. Consultado o 25 de abril de 2012.
- ↑ MacTutor History of Weierstrass.
- ↑ Kolmogorov, Andrei (1978). "Espacios métricos y topológicos". En Mir. Elementos de la teoría de funciones y del análisis funcional (3 ed.).
Véxase tamén
[editar | editar a fonte]- Límite matemático
- Límite superior e límite inferior
- Topoloxía de rede, unha xeneralización do concepto de límite.
Ligazóns externas
[editar | editar a fonte]- Límites e continuidade de funcións Arquivado 12 de abril de 2012 en Wayback Machine. (en castelán)
- Límite en MathWorld (en inglés)