Límite dunha función

Na Galipedia, a Wikipedia en galego.

O límite dunha función é un concepto fundamental do cálculo diferencial matemático, un caso de límite aplicado ás funcións.

Informalmente, o feito de que unha función f teña un límite L nun punto c significa que o valor de f pode ser tan próximo a L como se desexe, tomando puntos suficientemente próximos a c, independentemente do que ocorra en c.

Historia[editar | editar a fonte]

Aínda que implícita no desenvolvemento do cálculo dos séculos XVII e XVIII, a notación moderna do límite dunha función remóntase a Bolzano quen, en 1817, introduciu as bases da técnica épsilon-delta.[1] Mais o seu traballo non foi coñecido mentres estivo vivo. Cauchy expuxo límites no seu Cours d'analyse (1821) e parece ter expresado a esencia da idea, pero non dunha maneira sistemática.[2] A primeira presentación rigorosa da técnica feita pública foi dada por Weierstrass nos 1850 e 1860[3] e desde entón converteuse no método estándar para traballar con límites.

A notación de escritura usando a abreviatura lim coa frecha debaixo é debida a Hardy, que a usou no seu libro A Course of Pure Mathematics en 1908.[2]

Definición formal[editar | editar a fonte]

Funcións dunha variable real[editar | editar a fonte]

Visualización dos parámetros utilizados na definición de límite.

Se a función f ten límite L en c podemos dicir de maneira informal que a función f tende cara ao límite L próximo a c se se pode facer que f(x) sexa tan próximo como queiramos de L dándolle valores a x para que sexa o suficientemente parecido a c mais sendo x distinto de c.

Os conceptos próximo ou parecido son matematicamente pouco precisos. Por esta razón, dáse unha definición formal de límite que precisa estes conceptos que di:

O límite dunha función f(x), cando x tende a c é L se e só se para todo  \varepsilon > 0 \; existe un  \delta > 0 \; tal que para todo número real x no dominio da función 0 < |x-c| < \delta \Rightarrow |f(x)-L| < \varepsilon.

Isto, escrito en notación formal:


   \begin{array}{l}
   \underset {x\to c}{\lim}  \, \,f(x) = L \iff \forall \varepsilon > 0 \ \ \exists \delta > 0 / \forall x \in \operatorname{Dom}(f), 0<|x-c|<\delta \longrightarrow |f(x)-L|<\epsilon
   \end{array}

Esta notación dinos que se o límite existe, entón pódese estar tan preto del como queiramos. Se non se logra estar o suficientemente preto, entón a elección do δ non era a axeitada. A definición asegura que se o límite existe, entón é posible encontrar tal δ.

Non obstante, hai casos como por exemplo a función de Dirichlet D:\mathbb{R}\to\mathbb{R} definida como:


D(x) = \begin{cases}
c & \mathrm{para \ } x \ \mathrm{racional} \\
d & \mathrm{para \ } x \ \mathrm{irracional} \\
\end{cases}

onde non existe un número c para o cal exista \lim_{x \to c}f(x)\quad. Polo tanto, para demostrar a anterior afirmación é necesario facer uso do feito de que cada intervalo contén tanto números racionais como irracionais.

Límites laterais[editar | editar a fonte]

O límite cando: x → x0+ ≠ x → x0-. Polo tanto, o límite cando x → x0 non existe.

x pode aproximarse a c tomando valores máis grandes que este (dereita):


   \lim_{x \to c^+}f(x) = L^+

ou tomando valores máis pequenos (esquerda):


   \lim_{x \to c^-}f(x) = L^-

Se os dous límites anteriores son iguais:


   \lim_{x \to c^-}f(x) =
   \lim_{x \to c^+}f(x) =
   L

entón L pódese referir como o límite de f(x) en c. Dito doutro xeito, se estes non son iguais a L, entón o límite, como tal, non existe.

Funcións en espazos métricos[editar | editar a fonte]

Existe outra maneira de definir o límite que ten que ver cos conceptos de bólas e veciñanzas:

Supóñase f : (M, dM) → (N, dN) unha función entre dous espazos métricos, p é un punto límite de M e LN. Dicimos que "o límite de f en c é L" e escribimos

 \lim_{x \to c}f(x) = L

se e só se para todo ε > 0 existe un δ > 0 tal que para toda xM en 0 < dM(x, c) < δ, temos dN(f(x), L) < ε.

En termos de desigualdades, temos que o límite da función f(x) en x = c é L se se cumpre que para todo ε > 0 existe un δ(ε) > 0 tal que, para todo x:

0 < \left| x - c \right| < \delta , entón \left| f\left(x\right) - L \right| < \epsilon

Da desigualdade 0 < |x - c| < δ obtense o seguinte:

  1. x pertence á veciñanza (c - δ, c) U (c, c + δ).
  2. x non é igual a c, pois 0 < |x - c| implica que x é distinto de c.
  3. A solución de |f(x) - L| < ε pertence ao intervalo (L - ε, L + ε).

Isto proporciona a clave de comprensión do concepto de límite, pois mentres que o valor de x está na veciñanza horizontal arredor do punto c e oca en c con radio delta e centro c, aínda cando nese punto c non estea definida, o valor de y está no intervalo vertical con centro en f(c) e radio épsilon.

Unicidade do límite[editar | editar a fonte]

Se o límite dunha función existe, entón este é único. Este teorema é válido en espazos topolóxicos Hausdorff.[4]

Supoñamos que \textstyle \lim_{x\rightarrow c}f(x)=L , vexamos que non pode ser que  L'\neq L tamén verifique a definición. Para isto tomamos unha veciñanza E de L e unha veciñanza E' de L' que non se interseccionen. Por definición de límite  f(x)\in E para todo x nalgunha veciñanza oca de c, polo que non pode estar en E', evitando que o límite sexa L'.

Propiedades dos límites[editar | editar a fonte]

Propiedades xerais[editar | editar a fonte]

Se k é un escalar:

Límite de Expresión
Unha constante  \lim_{x \to c} k =\, k\,
A función identidade  \lim_{x \to c} x = \, c \,
O produto dunha función e unha constante  \lim_{x \to c} kf(x) =\, k\lim_{x \to c} f(x)\,
Unha suma  \lim_{x \to c} (f(x) + g(x)) =\, \lim_{x \to c} f(x) + \lim_{x \to c} g(x)\,
Unha resta  \lim_{x \to c} (f(x) - g(x)) =\, \lim_{x \to c} f(x) - \lim_{x \to c} g(x)\,
Un produto  \lim_{x \to c} (f(x) g(x)) =\, \lim_{x \to c} f(x) \cdot \lim_{x \to c} g(x)\,
Un cociente  \lim_{x \to c} {{f(x)}\over {g(x)}} =\, {{\lim_{x \to c} {f(x)}} \over {\lim_{x \to c} {g(x)}}}\,\ \mbox{si } \lim_{x \to c} g(x) \ne 0,
Unha potencia  {\lim_{x \to c}  f(x)^{g(x)}} =\, {\lim_{x \to c} f(x)^{\lim_{x \to c} g(x)}}\,\ \mbox{si } f(x) > 0
Un logaritmo  {\lim_{x \to c} \log f(x)} =\, \log {\lim_{x \to c} f(x)}
O número e  {\lim_{x \to 0} \left(1+x\right)^{1 \over x}} =\, {\lim_{x \to \infty} \left(1+{1 \over x}\right)^x } =\, e
Función f(x) acotada e g(x) infinitesimal  {\lim_{x \to c} \left(f(x) \cdot g(x)\right)} =\, 0.

Indeterminacións[editar | editar a fonte]

Hai varios tipos de indeterminacións, entre elas as seguintes (considere \infty \,\! como o límite que tende a infinito e 0 \,\! o límite cando tende a 0; e non o número 0):

Operación Indeterminación
Subtracción \infty - \infty
Multiplicación \infty \cdot 0
División \cfrac{\infty}{\infty}, \cfrac{0}{0}
Elevación a potencia 1^\infty, \infty ^0, 0^0
Exemplo.

0/0 é unha indeterminación, é dicir, non é posible, a priori, saber cal é o valor dun límite que tende a cero sobre outro que tamén tende a cero xa que o resultado non é sempre o mesmo. Por exemplo:

\lim_{t\rightarrow 0}\frac{t}{t^2}=\infty \lim_{t\rightarrow 0}\frac{t}{t}=1 \lim_{t\rightarrow 0}\frac{t^2}{t}=0

Regra de l'Hôpital[editar | editar a fonte]

Artigo principal: Regra de l'Hôpital.

Esta regra fai uso da derivada e ten un uso condicional. Esta só pode usarse directamente en límites «equivalentes» a 0/0 ou a ±∞/±∞. Outras indeterminacións requiren algunha manipulación alxébrica, polo xeral, establecer que o límite é igual a y, tomar o logaritmo natural en ambos membros, e entón aplicar a regra de l'Hôpital.

  • \lim_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to c} \frac{f'(x)}{g'(x)}

Por exemplo: \lim_{x \to 0} \frac{\sin (2x)}{\sin (3x)} =
\lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2x)}{3 \cos (3x)} =
\frac{2 \sdot 1}{3 \sdot 1} =
\frac{2}{3}.

Límites trigonométricos[editar | editar a fonte]

  1.  {\lim_{x \to \infty} x \; \sin \left (\frac {2\pi}{x} \right ) \cos \left (\frac {2\pi}{x} \right )} =\,2\pi
  2.  {\lim_{x \to 0} {{\sin x} \over x}} = {\lim_{x \to 0} {{x \over \sin x}}} =\, 1 \,
  3.  {\lim_{x \to 0} {\tan x \over x}} = {\lim_{x \to 0} {x \over \tan x}} =\, 1 \,
  4.  {\lim_{x \to 0} {\sin x \over \tan x}}\, = {\lim_{x \to 0} {\tan x \over \sin x}} =\, 1
  5.  {\lim_{x \to 0} \frac {1-\cos x}{x^2} } =\, 1/2 \,

Demostracións[editar | editar a fonte]

Nalgunhas demostracións, por exemplo, o segundo destes límites trigonométricos, utiliza a inecuación sin(x) < x < tan(x) no intervalo (0,π/2), que relaciona x coas funcións seno e tanxente. Logo dividimos por sin(x), obtendo:

1 < \frac{x}{\sin x} < \frac{1}{\cos x}

Invertendo os termos da inecuación e cambiando os signos de desigualdade:

\cos x < \frac{\sin x}{x} < 1

Calculando o límite cando x tende a 0:

\lim_{x\to 0} \cos x < \lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x} < \lim_{x\to 0} 1

O que é igual a:

1 < \lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x} < 1

Aplicando o teorema do sandwich, o límite necesariamente vale 1:

\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1

O terceiro dos límites demóstrase utilizando as propiedades dos límites e o valor obtido no límite anterior. É dicir:

 
{\lim_{x \to 0} \left (\frac {\tan x}{x} \right )} =  
{\lim_{x \to 0} \left (\frac {\sin x}{x} \right )} \cdot \lim_{x \to 0} \frac{1}{\cos x}=
1 \cdot 1 = 1

Notas[editar | editar a fonte]

  1. MacTutor History of Bolzano
  2. 2,0 2,1 Jeff Miller's history of math website.
  3. MacTutor History of Weierstrass.
  4. Kolmogorov, Andrei (1978). "Espacios métricos y topológicos". Elementos de la teoría de funciones y del análisis funcional (3 ed.). Mir. 

Véxase tamén[editar | editar a fonte]

Ligazóns externas[editar | editar a fonte]