Límite dunha función

Na Galipedia, a Wikipedia en galego.

O límite dunha función é un concepto fundamental do cálculo diferencial matemático, un caso de límite aplicado ás funcións.

Informalmente, o feito de que unha función f teña un límite L nun punto c significa que o valor de f pode ser tan próximo a L como se desexe, tomando puntos suficientemente próximos a c, independentemente do que ocorra en c.

Historia[editar | editar a fonte]

Aínda que implícita no desenvolvemento do cálculo dos séculos XVII e XVIII, a notación moderna do límite dunha función remóntase a Bolzano quen, en 1817, introduciu as bases da técnica épsilon-delta.[1] Mais o seu traballo non foi coñecido mentres estivo vivo. Cauchy expuxo límites no seu Cours d'analyse (1821) e parece ter expresado a esencia da idea, pero non dunha maneira sistemática.[2] A primeira presentación rigorosa da técnica feita pública foi dada por Weierstrass nos 1850 e 1860[3] e desde entón converteuse no método estándar para traballar con límites.

A notación de escritura usando a abreviatura lim coa frecha debaixo é debida a Hardy, que a usou no seu libro A Course of Pure Mathematics en 1908.[2]

Definición formal[editar | editar a fonte]

Funcións dunha variable real[editar | editar a fonte]

Visualización dos parámetros utilizados na definición de límite.

Se a función ten límite en podemos dicir de maneira informal que a función tende cara ao límite próximo a se se pode facer que sexa tan próximo como queiramos de dándolle valores a para que sexa o suficientemente parecido a mais sendo distinto de .

Os conceptos próximo ou parecido son matematicamente pouco precisos. Por esta razón, dáse unha definición formal de límite que precisa estes conceptos que di:

O límite dunha función f(x), cando x tende a c é L se e só se para todo existe un tal que para todo número real x no dominio da función .

Isto, escrito en notación formal:

Esta notación dinos que se o límite existe, entón pódese estar tan preto del como queiramos. Se non se logra estar o suficientemente preto, entón a elección do δ non era a axeitada. A definición asegura que se o límite existe, entón é posible encontrar tal δ.

Non obstante, hai casos como por exemplo a función de Dirichlet definida como:

onde non existe un número c para o cal exista . Polo tanto, para demostrar a anterior afirmación é necesario facer uso do feito de que cada intervalo contén tanto números racionais como irracionais.

Límites laterais[editar | editar a fonte]

O límite cando: x → x0+ ≠ x → x0-. Polo tanto, o límite cando x → x0 non existe.

x pode aproximarse a c tomando valores máis grandes que este (dereita):

ou tomando valores máis pequenos (esquerda):

Se os dous límites anteriores son iguais:

entón L pódese referir como o límite de f(x) en c. Dito doutro xeito, se estes non son iguais a L, entón o límite, como tal, non existe.

Funcións en espazos métricos[editar | editar a fonte]

Existe outra maneira de definir o límite que ten que ver cos conceptos de bólas e veciñanzas:

Supóñase f : (M, dM) → (N, dN) unha función entre dous espazos métricos, p é un punto límite de M e LN. Dicimos que "o límite de f en c é L" e escribimos

se e só se para todo ε > 0 existe un δ > 0 tal que para toda xM en 0 < dM(x, c) < δ, temos dN(f(x), L) < ε.

En termos de desigualdades, temos que o límite da función f(x) en x = c é L se se cumpre que para todo ε > 0 existe un δ(ε) > 0 tal que, para todo x:

, entón

Da desigualdade 0 < |x - c| < δ obtense o seguinte:

  1. x pertence á veciñanza (c - δ, c) U (c, c + δ).
  2. x non é igual a c, pois 0 < |x - c| implica que x é distinto de c.
  3. A solución de |f(x) - L| < ε pertence ao intervalo (L - ε, L + ε).

Isto proporciona a clave de comprensión do concepto de límite, pois mentres que o valor de x está na veciñanza horizontal arredor do punto c e oca en c con radio delta e centro c, aínda cando nese punto c non estea definida, o valor de y está no intervalo vertical con centro en f(c) e radio épsilon.

Unicidade do límite[editar | editar a fonte]

Se o límite dunha función existe, entón este é único. Este teorema é válido en espazos topolóxicos Hausdorff.[4]

Supoñamos que , vexamos que non pode ser que tamén verifique a definición. Para isto tomamos unha veciñanza E de L e unha veciñanza E' de L' que non se interseccionen. Por definición de límite para todo x nalgunha veciñanza oca de c, polo que non pode estar en E', evitando que o límite sexa L'.

Propiedades dos límites[editar | editar a fonte]

Propiedades xerais[editar | editar a fonte]

Se k é un escalar:

Límite de Expresión
Unha constante
A función identidade
O produto dunha función e unha constante
Unha suma
Unha resta
Un produto
Un cociente
Unha potencia
Un logaritmo
O número e
Función f(x) acotada e g(x) infinitesimal .

Indeterminacións[editar | editar a fonte]

Hai varios tipos de indeterminacións, entre elas as seguintes (considere como o límite que tende a infinito e o límite cando tende a 0; e non o número 0):

Operación Indeterminación
Subtracción
Multiplicación
División
Elevación a potencia
Exemplo.

0/0 é unha indeterminación, é dicir, non é posible, a priori, saber cal é o valor dun límite que tende a cero sobre outro que tamén tende a cero xa que o resultado non é sempre o mesmo. Por exemplo:

Regra de l'Hôpital[editar | editar a fonte]

Artigo principal: Regra de l'Hôpital.

Esta regra fai uso da derivada e ten un uso condicional. Esta só pode usarse directamente en límites «equivalentes» a 0/0 ou a ±∞/±∞. Outras indeterminacións requiren algunha manipulación alxébrica, polo xeral, establecer que o límite é igual a y, tomar o logaritmo natural en ambos membros, e entón aplicar a regra de l'Hôpital.

Por exemplo:

Límites trigonométricos[editar | editar a fonte]

Demostracións[editar | editar a fonte]

Nalgunhas demostracións, por exemplo, o segundo destes límites trigonométricos, utiliza a inecuación sin(x) < x < tan(x) no intervalo (0,π/2), que relaciona x coas funcións seno e tanxente. Logo dividimos por sin(x), obtendo:

Invertendo os termos da inecuación e cambiando os signos de desigualdade:

Calculando o límite cando x tende a 0:

O que é igual a:

Aplicando o teorema do sandwich, o límite necesariamente vale 1:

O terceiro dos límites demóstrase utilizando as propiedades dos límites e o valor obtido no límite anterior. É dicir:

Notas[editar | editar a fonte]

  1. MacTutor History of Bolzano
  2. 2,0 2,1 Jeff Miller's history of math website.
  3. MacTutor History of Weierstrass.
  4. Kolmogorov, Andrei (1978). "Espacios métricos y topológicos". En Mir. Elementos de la teoría de funciones y del análisis funcional (3 ed.). 

Véxase tamén[editar | editar a fonte]

Ligazóns externas[editar | editar a fonte]