Regra de l'Hôpital
A regra de l'Hôpital ou regra de l'Hôpital-Bernoulli[1] utilízase nas matemáticas, máis especificamente no cálculo infinitesimal, para determinar límites que doutro xeito sería complicado calcular. A regra di que, dadas dúas funcións f(x) e g(x) continuas e derivábeis en x = c, se f(x) e g(x) tenden ambas a cero ou a infinito cando x tende a c, entón o límite cando x tende a c do cociente de f(x) e g(x) é igual ao límite cando x tende a c do cociente das derivadas de f(x) e g(x), sempre que este límite exista (c pode ser finito ou infinito):
Esta regra recibe o seu nome na honra do matemático francés do século XVII Guillaume François Antoine, Marqués de l'Hôpital (1661 - 1704), quen deu a coñecer a regra na súa obra Analyse des infiniment petits pour l'intelligence des lignes courbes (1692), considerado o primeiro texto escrito sobre cálculo diferencial, aínda que actualmente se sabe que a regra se lle debe a Johann Bernoulli, que foi quen a desenvolveu e demostrou.[1]
Forma xeral
[editar | editar a fonte]A forma xeral da regra de L'Hôpital abrangue moitos casos. Sexan c e L números reais estendidos: números reais con infinito positivo ou negativo. Sexa I un intervalo aberto que contén c (para un límite polos dous lados) ou un intervalo aberto co punto final c (para un límite por un lado, ou un límite no infinito se c é infinito. En , as funcións con valores reais f e g asúmense diferenciábeis con . Finalmente temos que
- é un límite finito ou infinito.
Tendo en conta o anterior, logo se
ou
entón
Aínda que escribimos x → c, os límites tamén poden ser límites por un lado (x → c+ ou x → c−), cando c é un punto final finito do intervalo I.
No segundo caso, a hipótese de que f diverxe ao infinito non é necesaria; de feito, é suficiente que
A hipótese de que aparece máis comunmente na literatura, mais algúns autores eluden esta hipótese engadindo outras que tamén implican . Por exemplo,[2] pódese esixir na definición do límite que a función debe estar definida en todos os valores no intervalo .[a] Outro método[3] consiste en esixir que tanto f como g sexan diferenciábeis en tódalas partes nun intervalo que contén c.
Exemplos
[editar | editar a fonte]Nos seguintes cálculos, indicamos cada aplicación da regra de L'Hopital co símbolo .
- Aquí temos un exemplo básico que inclúe a función exponencial, que implica a forma indeterminada 0/0 en x = 0:
- Este é un exemplo máis elaborado que inclúe 0/0. Aplicar a regra de L'Hôpital unha soa vez aínda dá como resultado unha forma indeterminada. Neste caso, o límite pódese avaliar aplicando a regra tres veces:
- Aquí temos un exemplo que inclúe ∞/∞:
- Aplicando repetidamente a regra de L'Hôpital ata que o expoñente sexa cero (se n é un número enteiro) ou negativo (se n é unha fracción) para concluír que o límite é cero.
- Aquí temos un exemplo que inclúe a forma indeterminada 0 · ∞, que se reescribe como a forma ∞/∞:
- Aquí temos un exemplo que inclúe o fórmula do xuro composto e 0/0. Sexa P o principal (importe do préstamo), r o tipo de xuro por período e n o número de períodos. Cando r é cero, a cantidade de reembolso por período é (xa que só se paga o principal); isto é consistente coa fórmula para tipos de xuro distintos de cero:
- Tamén se pode usar a regra de L'Hôpital para demostrar o seguinte teorema. Se f é dúas veces diferenciábel nunha veciñanza de x e a súa segunda derivada é continua nesta veciñanza, entón
Ás veces invócase a regra de L'Hôpital dun xeito complicado: supoñamos que converxe cando x → ∞ e que converxe ao infinito positivo ou negativo. Daquela:
- e así, existe e
- (Este resultado segue sendo certo sen a hipótese engadida de que converxe a un infinito positivo ou negativo, mais a xustificación é entón incompleta.)
Notas
[editar | editar a fonte]- ↑ 1,0 1,1 María Cristina Solaeche Galera (1993). "La Controversia L'Hospital - Bernoulli" (PDF) (en castelán). Consultado o 20 de xaneiro de 2010.
- ↑ (Chatterjee 2005, p. 291)
- ↑ (Krantz 2004, p.79)
- ↑ A definición da análise funcional do límite dunha función non require a existencia de tal intervalo.
Véxase tamén
[editar | editar a fonte]Bibliografía
[editar | editar a fonte]- Chatterjee, Dipak (2005). Real Analysis. PHI Learning Pvt. Ltd. ISBN 81-203-2678-4.
- Krantz, Steven G. (2004). A handbook of real variables. With applications to differential equations and Fourier analysis. Boston, MA: Birkhäuser Boston Inc. pp. xiv+201. ISBN 0-8176-4329-X. MR 2015447. doi:10.1007/978-0-8176-8128-9.
- Lettenmeyer, F. (1936). Über die sogenannte Hospitalsche Regel. Journal für die reine und angewandte Mathematik 1936. pp. 246–247. doi:10.1515/crll.1936.174.246.
- Taylor, A. E. (1952). L'Hospital's rule. Amer. Math. Monthly 59. pp. 20–24. ISSN 0002-9890. JSTOR 2307183. MR 0044602. doi:10.2307/2307183.
- Wazewski, T. (1949). Quelques démonstrations uniformes pour tous les cas du théorème de l'Hôpital. Généralisations. Prace Mat.-Fiz. 47. pp. 117–128. MR 0034430.