Regra de l'Hôpital

A regra de l'Hôpital ou regra de l'Hôpital-Bernoulli utilízase nas matemáticas, máis especificamente no cálculo infinitesimal, para determinar límites que doutro xeito sería complicado calcular. A regra di que, dadas dúas funcións f(x) e g(x) continuas e derivábeis en x = c, se f(x) e g(x) tenden ambas a cero ou a infinito cando x tende a c, entón o límite cando x tende a c do cociente de f(x) e g(x) é igual ao límite cando x tende a c do cociente das derivadas de f(x) e g(x), sempre que este límite exista (c pode ser finito ou infinito):

$\lim _{x\to c}{f(x) \over g(x)}=\lim _{x\to c}{f'(x) \over g'(x)}$

Esta regra recibe o seu nome na honra do matemático francés do século XVII Guillaume François Antoine, Marqués de l'Hôpital (1661 - 1704), quen deu a coñecer a regra na súa obra Analyse des infiniment petits pour l'intelligence des lignes courbes (1692), considerado o primeiro texto escrito sobre cálculo diferencial, aínda que actualmente se sabe que a regra se lle debe a Johann Bernoulli, que foi quen a desenvolveu e demostrou.

Forma xeral

A forma xeral da regra de L'Hôpital abrangue moitos casos. Sexan c e L números reais estendidos: números reais con infinito positivo ou negativo. Sexa I un intervalo aberto que contén c (para un límite polos dous lados) ou un intervalo aberto co punto final c (para un límite por un lado, ou un límite no infinito se c é infinito. En $I\smallsetminus \{c\}$, as funcións con valores reais f e g asúmense diferenciábeis con $g'(x)\neq 0$. Finalmente temos que

$\lim \limits _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}=L$ é un límite finito ou infinito.

Tendo en conta o anterior, logo se

$\lim _{x\to c}f(x)=\lim _{x\to c}g(x)=0$

ou

$\lim _{x\to c}|f(x)|=\lim _{x\to c}|g(x)|=\infty ,$

entón

$\lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=L.$

Aínda que escribimos x → c, os límites tamén poden ser límites por un lado (x → c⁺ ou x → c⁻), cando c é un punto final finito do intervalo I.

No segundo caso, a hipótese de que f diverxe ao infinito non é necesaria; de feito, é suficiente que ${\textstyle \lim _{x\to c}|g(x)|=\infty .}$

A hipótese de que $g'(x)\neq 0$ aparece máis comunmente na literatura, mais algúns autores eluden esta hipótese engadindo outras que tamén implican $g'(x)\neq 0$. Por exemplo, pódese esixir na definición do límite ${\textstyle \lim \limits _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}=L}$ que a función ${\textstyle {\frac {f'(x)}{g'(x)}}}$ debe estar definida en todos os valores no intervalo $I\smallsetminus \{c\}$. Outro método consiste en esixir que tanto f como g sexan diferenciábeis en tódalas partes nun intervalo que contén c.

Exemplos

Nos seguintes cálculos, indicamos cada aplicación da regra de L'Hopital co símbolo $\ {\stackrel {\mathrm {H} }{=}}\$.

• Aquí temos un exemplo básico que inclúe a función exponencial, que implica a forma indeterminada 0/0 en x = 0:

$\lim _{x\to 0}{\frac {e^{x}-1}{x^{2}+x}}\ {\stackrel {\mathrm {H} }{=}}\ \lim _{x\to 0}{\frac {{\frac {d}{dx}}(e^{x}-1)}{{\frac {d}{dx}}(x^{2}+x)}}=\lim _{x\to 0}{\frac {e^{x}}{2x+1}}=1.$

• Este é un exemplo máis elaborado que inclúe 0/0. Aplicar a regra de L'Hôpital unha soa vez aínda dá como resultado unha forma indeterminada. Neste caso, o límite pódese avaliar aplicando a regra tres veces:

${\begin{aligned}\lim _{x\to 0}{\frac {2\sin(x)-\sin(2x)}{x-\sin(x)}}&\ {\stackrel {\mathrm {H} }{=}}\ \lim _{x\to 0}{\frac {2\cos(x)-2\cos(2x)}{1-\cos(x)}}\\[4pt]&\ {\stackrel {\mathrm {H} }{=}}\ \lim _{x\to 0}{\frac {-2\sin(x)+4\sin(2x)}{\sin(x)}}\\[4pt]&\ {\stackrel {\mathrm {H} }{=}}\ \lim _{x\to 0}{\frac {-2\cos(x)+8\cos(2x)}{\cos(x)}}={\frac {-2+8}{1}}=6.\end{aligned}}$

• Aquí temos un exemplo que inclúe ∞/∞:

$\lim _{x\to \infty }x^{n}\cdot e^{-x}=\lim _{x\to \infty }{\frac {x^{n}}{e^{x}}}\ {\stackrel {\mathrm {H} }{=}}\ \lim _{x\to \infty }{\frac {nx^{n-1}}{e^{x}}}=n\cdot \lim _{x\to \infty }{\frac {x^{n-1}}{e^{x}}}.$

Aplicando repetidamente a regra de L'Hôpital ata que o expoñente sexa cero (se n é un número enteiro) ou negativo (se n é unha fracción) para concluír que o límite é cero.

• Aquí temos un exemplo que inclúe a forma indeterminada 0 · ∞, que se reescribe como a forma ∞/∞:

$\lim _{x\to 0^{+}}x\ln x=\lim _{x\to 0^{+}}{\frac {\ln x}{\frac {1}{x}}}\ {\stackrel {\mathrm {H} }{=}}\ \lim _{x\to 0^{+}}{\frac {\frac {1}{x}}{-{\frac {1}{x^{2}}}}}=\lim _{x\to 0^{+}}-x=0.$

• Aquí temos un exemplo que inclúe o fórmula do xuro composto e 0/0. Sexa P o principal (importe do préstamo), r o tipo de xuro por período e n o número de períodos. Cando r é cero, a cantidade de reembolso por período é ${\frac {P}{n}}$ (xa que só se paga o principal); isto é consistente coa fórmula para tipos de xuro distintos de cero: $$\lim _{r\to 0}{\frac {Pr(1+r)^{n}}{(1+r)^{n}-1}}\ {\stackrel {\mathrm {H} }{=}}\ P\lim _{r\to 0}{\frac {(1+r)^{n}+rn(1+r)^{n-1}}{n(1+r)^{n-1}}}={\frac {P}{n}}.$$
• Tamén se pode usar a regra de L'Hôpital para demostrar o seguinte teorema. Se f é dúas veces diferenciábel nunha veciñanza de x e a súa segunda derivada é continua nesta veciñanza, entón

${\begin{aligned}\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)+f(x-h)-2f(x)}{h^{2}}}&=\lim _{h\to 0}{\frac {f'(x+h)-f'(x-h)}{2h}}\\[4pt]&=\lim _{h\to 0}{\frac {f''(x+h)+f''(x-h)}{2}}\\[4pt]&=f''(x).\end{aligned}}$

• Ás veces invócase a regra de L'Hôpital dun xeito complicado: supoñamos que $f(x)+f'(x)$ converxe cando x → ∞ e que $e^{x}\cdot f(x)$ converxe ao infinito positivo ou negativo. Daquela:

$\lim _{x\to \infty }f(x)=\lim _{x\to \infty }{\frac {e^{x}\cdot f(x)}{e^{x}}}\ {\stackrel {\mathrm {H} }{=}}\ \lim _{x\to \infty }{\frac {e^{x}{\bigl (}f(x)+f'(x){\bigr )}}{e^{x}}}=\lim _{x\to \infty }{\bigl (}f(x)+f'(x){\bigr )},$e así, existe ${\textstyle \lim _{x\to \infty }f(x)}$ e ${\textstyle \lim _{x\to \infty }f'(x)=0.}$

(Este resultado segue sendo certo sen a hipótese engadida de que $e^{x}\cdot f(x)$ converxe a un infinito positivo ou negativo, mais a xustificación é entón incompleta.)

Véxase tamén

Bibliografía

• Chatterjee, Dipak (2005). Real Analysis. PHI Learning Pvt. Ltd. ISBN 81-203-2678-4. 
• Krantz, Steven G. (2004). A handbook of real variables. With applications to differential equations and Fourier analysis. Boston, MA: Birkhäuser Boston Inc. pp. xiv+201. ISBN 0-8176-4329-X. MR 2015447. doi:10.1007/978-0-8176-8128-9. 
• Lettenmeyer, F. (1936). Über die sogenannte Hospitalsche Regel. Journal für die reine und angewandte Mathematik 1936. pp. 246–247. doi:10.1515/crll.1936.174.246. 
• Taylor, A. E. (1952). L'Hospital's rule. Amer. Math. Monthly 59. pp. 20–24. ISSN 0002-9890. JSTOR 2307183. MR 0044602. doi:10.2307/2307183. 
• Wazewski, T. (1949). Quelques démonstrations uniformes pour tous les cas du théorème de l'Hôpital. Généralisations. Prace Mat.-Fiz. 47. pp. 117–128. MR 0034430. 

Outros artigos

• Derivada.
• Análise matemática.