Infinitesimal

Na Galipedia, a Wikipedia en galego.

Nas matemáticas, un infinitesimal é un número maior que cero en valor absoluto mais menor que calquera número real positivo. Un número x ≠ 0 é un infinitesimal se toda suma |x| + ... + |x| cunha cantidade finita de termos é menor que 1, independente da cantidade de termos. Neste caso, 1/x é maior que calquera número real positivo.

Un infinitesimal é apenas unha cantidade notacional - non hai ningún número real que sexa un infinitesimal. Isto pode demostrarse recorrendo ao axioma do menor maiorante no contexto dos números reais: considerar se o menor maiorante c do conxunto de todos os infinitesimais é ou non un infinitesimal. Se for, entón 2c tamén é, contradicindo así o feito de que c é un maiorante do referido conxunto. Se non for, entón c/2 tamén non é, contradicindo o feito de que c é o menor dos maiorantes.

Definición[editar | editar a fonte]

Un infinitesimal ou infinitésimo é unha cantidade infinitamente pequena. Pódese definir matematicamente como:

\lim_{x \to a}f(x) = 0 dise que f é un infinitésimo en x=a

Algunas funcións son infinitésimos en determinados puntos, por exemplo:

f(x) = x-1 é un infinitésimo en x=1
g(x) = sen(x) é un infinitésimo en 0 + k \pi con k \in \mathbb{Z}

Propedades dos infinitésimos[editar | editar a fonte]

  1. A suma de dous infinitésimos é un infinitésimo.
  2. O produto de dous infinitésimos é un infinitésimo.
  3. O produto dun infinitésimo por unha función acoutada é un infinitésimo.
  4. O produto dunha constante por un infinitésimo é un infinitésimo.


Comparación de infinitésimos[editar | editar a fonte]

Dadas \lim_{x \to a}f(x) = 0 e \lim_{x \to a} g(x) = 0

  1. Se \lim_{x \to a} \frac {f(x)} {g(x)} = \infin f e g son infinitésimos comparábeis en x=a e f é un infinitésimo de orde inferior a g en x=a
  2. Se \lim_{x \to a} \frac {f(x)} {g(x)} = l con l pertencente a \mathbb{R} f e g son infinitésimos comparábeis en x=a
Se \lim_{x \to a} \frac {f(x)} {g(x)} = l con l pertencente a \mathbb{R} - \left\{0\right\} f e g son infinitésimos da mesma orde en x=a
  1. En particular, se \lim_{x \to a} \frac {f(x)} {g(x)} = 1 f é un infinitésimo equivalente en x=a


Uso ao longo da historia[editar | editar a fonte]

O primeiro matemático en usar infinitesimais foi Arquimedes. Vexa en como Arquimedes usou infinitesimais.

Máis tarde, Newton e Leibniz desenvolveron o cálculo facendo uso de infinitesimais. Eís un argumento típico:

Achando a derivada f '(x) da función f(x) = x², sexa dx un infinitesimal. Logo, f '(x) = (f(x+dx)-f(x))/dx = (x²+2x*dx+dx²-x²)/dx = 2x+dx = 2x, pois dx é infinitamente pequeno.

Este argumento, aínda que sexa intuitivamente atraente, e produza o resultado correcto, non é matematicamente rigoroso. Atacouse uso de infinitesimais, como incorrecto, por George Berkeley na súa obra The analyst: or a discourse addressed to an infidel mathematician. O problema fundamental reside no feito de que dx é, primeiro, tratado como non-cero (pois é utilizado como divisor), mais descártase despois como se fose cero.

Foi na segunda metade do século XIX cando obtivo o cálculo infinitesimal unha fundamentación matemática formal, grazas a Karl Weierstrass e outros, utilizando a noción de límite, que eliminou a necesidade do uso de infinitesimais.

O uso de infinitesimais continúa a ser conveniente para simplificar notacións e cálculos.

Os infinitesimais son cantidades lexitimas na Análise non-padrón de Abraham Robinson. Nesta teoría, o cálculo enriba mencionado da derivada f(x) = x² pode ser xustificado cunha pequena modificación: hai que se serefir á parte padrón do cociente da diferenza, e a parte padrón de x +dx é x.

De forma alternativa, podemos ter a xeometría diferencial sintética.


Vexa tamén: