Límite superior e límite inferior

Na Galipedia, a Wikipedia en galego.
Unha ilustración representando o límite superior e o límite inferior. A sucesión xn está denotada nunha liña de puntos azul. As dúas curvas vermellas aproxímanse ao límite superior e límite inferior de xn, que se amosan como liñas a trazos vermellas, continuas á dereita. O límite superior é o máis grande dos dous, e o límite inferior o máis pequeno. Os límites superior e inferior só coinciden cando a secuencia é converxente (i.e., cando o límite é común).

En matemática defínese límite superior e límite inferior dunha sucesión (xn) como o maior e menor límite converxente das subsucesións de (xn). Analogamente a este, o límite superior e límite inferior para funcións reais defínese do mesmo xeito. O límite superior e o límite inferior son un substituto parcial para o límite, se é que este non existe.

Definición formal[editar | editar a fonte]

Formalmente o límite inferior dunha sucesión defínese como

ou tamén como

e denótase como ou como . Analogamente defínese .

Estas definicións son útiles nun conxunto parcialmente ordenado nun sentido cuantitativo, e proporcionan que o supremo e o ínfimo existan. Nunha rede reticular completa sempre existen estes valores, polo que nese caso, cada sucesión ten un límite inferior e límite superior asociado.

Se existe o límite inferior e o límite superior dunha sucesión , entón cúmprese que

Propiedades[editar | editar a fonte]

Sexan e sucesións de números reais, entón cúmprense as seguintes afirmacións:

Limite superior e inferior dunha sucesión de conxuntos[editar | editar a fonte]

Nalgunhas situacións, sobre todo na teoría da medida, é conveniente definir os conceptos de límite superior e inferior para unha secuencia de conxuntos.

Se é unha sucesión de conxuntos, entón defínese:

  • O límite superior é o conxunto formado por todos os elementos que pertencen a unha infinidade de conxuntos .
  • O límite inferior é o conxunto formado por todos os elementos que pertencen a cada un dos excepto por un número finito deles.

Dito dun xeito formal:

Cúmprese sempre que . Cando estes conxuntos coinciden, dicimos que o límite existe:

Véxase tamén[editar | editar a fonte]

Bibliografía[editar | editar a fonte]

  • Heinz Bauer: Maß- und Integrationstheorie. 2. Editorial De Gruyter, Berlin 1992, ISBN 3-11-013626-0 (Edición normal), ISBN 3-11-013625-2 (edición de bolsillo), p. 93 (en Sucesiones de conjuntos).