Recta numérica

A recta real ou recta numérica é un gráfico unidimensional ou liña recta que contén todos os números reais ben mediante unha correspondencia biunívoca ou mediante unha aplicación bixectiva, usada para representar os números como puntos especialmente marcados, por exemplo os números enteiros mediante unha recta denominada recta graduada como a enteira de ordenados e separados coa mesma distancia.

Está dividida en dúas metades simétricas pola orixe, é dicir o número cero.

Recta numérica dos números enteiros entre -9 e 9, cos números negativos en vermello e os positivos en azul sobreentendéndose que se estenden en ambas direccións ilimitadamente.

Topoloxías sobre a recta numérica

Recta numérica.

Sobre a recta numérica pódense definir diferentes topoloxías baixo as cales a recta real ten propiedades topolóxicas e xeométricas, diferentes da topoloxía métrica usual.

Topoloxía usual

Considérase que a recta numérica está composta de puntos e intervalos:

Punto interior

Sexa H un subconxunto de ℝ. Un punto $y_{0}$ de H denomínase un punto interior de H, se existise r real positivo tal que <y₀ - r, y_º +r > ⊂ A. O conxunto dos puntos interiores de H denomínase interior de H e denótase por int(a). Se o punto y₀ está no interior de A, dirase que A é contorno de devandito punto.

Exemplo: Se H = <{1}∪[3,5] ∪[6, 8]> . Os puntos 1, 3, 5 e 6 non son puntos interiores de H. Mentres que int(H) = <3,5>∪<6, 8>.

Cómpre ter presente que se H forma parte de J entón o interior de H forma parte do interior de J. Tamén que o interior de H forma parte de H.

Conxunto aberto

Un subconxunto K de ℝ denomínase aberto se todo punto de K é punto interior de K. É dicir, K ⊂ Int(K).

É obvio que ℝ e ∅ son conxuntos abertos.

Calquera intervalo aberto <m, n>⊂ℝ é subconxunto aberto de ℝ

A intersección de <-1, 1/n> con <-1/n, 1> é un subconxunto aberto de ℝ, para calquera n enteiro positivo

<2, 8> - [4, 6] é un subconxunto aberto de ℝ.

Para calquera conxunto de números reais o seu interior é conxunto aberto.

Propiedades topolóxicas

1. A unión dunha familia de abertos de ℝ é un aberto.
2. A intersección de dous abertos de ℝ é un aberto de ℝ (considerando o conxunto baleiro como aberto).
3. A intersección arbitraria de infinitos abertos non ten porque ser un aberto.
4. Os intervalos <m, -∞> <∞+, p> son conxuntos abertos; para o caso, o primeiro é a unión dos abertos <m, m +n>, n percorre todo ℤ₊.

Véxase tamén

Outros artigos

• Recta numérica estendida
• Plano complexo
• Círculo unidade

Ligazóns externas

• W. Weisstein, Eric. "Real Line" (en inglés). MathWorld, Wolfram Research.