Unión (conxuntos)

Unión de dous conxuntos:
$~A\cup B$

Unión de tres conxuntos:
$~A\cup B\cup C$

A unión de A, B, C, D e E é todo agás a área branca.

Na teoría de conxuntos, a unión dunha colección de conxuntos (denotada por ∪) é o conxunto de todos os elementos da colección. É unha das operacións fundamentais mediante as que se poden combinar e relacionar conxuntos entre si. Unha unión nula refírese a unha unión de cero ($0$) conxuntos e é por definición igual ao conxunto baleiro.

Para a explicación dos símbolos utilizados neste artigo, consulte a táboa de símbolos matemáticos.

Unión de dous conxuntos

A unión de dous conxuntos A e B é o conxunto de elementos que están en A, en B ou en A e B.

$A\cup B=\{x:x\in A{\text{ ou }}x\in B\}$.

Vemos un exemplo, se A = {1, 3, 5, 7} e B = {1, 2, 4, 6, 7} entón A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Un exemplo con dous conxuntos infinitos pode ser:

A = {x é un enteiro par máis grande que 1}

B = {x é un enteiro impar máis grande que 1}

$A\cup B=\{2,3,4,5,6,\dots \}$

Un exemplo dun elemento non incluído na unión, o número 9 non está contido na unión do conxunto de números primos 2, 3, 5, 7, 11, ... e do conxunto de números pares 2, 4, 6, 8, 10, ..., porque 9 non é nin primo nin par.

Os conxuntos non poden ter elementos duplicados, polo tanto a unión dos conxuntos 1, 2, 3 e 2, 3, 4 é 1, 2, 3, 4. As aparicións múltiples de elementos idénticos non teñen ningún efecto sobre a cardinalidade dun conxunto ou o seu contido.

Propiedades alxébricas

A unión binaria é unha operación asociativa; é dicir, para calquera conxunto $A,B,{\text{ and }}C$,

$$A\cup (B\cup C)=(A\cup B)\cup C.$$

Así, as parénteses pódense omitir sen ambigüidades: calquera das anteriores pódese escribir como $A\cup B\cup C$. Ademais, a unión é conmutativa, polo que os conxuntos poden escribirse en calquera orde. O conxunto baleiro é un elemento identidade para o funcionamento da unión. É dicir, $A\cup \varnothing =A$, para calquera conxunto $A$. Ademais, a operación de unión é idempotente: $A\cup A=A$.

A intersección é distributiva coa unión

$$A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)$$

a unión é distributiva coa intersección

$$A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C).$$

O conxunto das partes dun conxunto $U$, xunto coas operacións dadas pola unión, intersección e complemento, é unha álxebra de Boole. Nesta álxebra de Boole, a unión pódese expresar en termos de intersección e complementario pola fórmula

$$A\cup B=(A^{\complement }\cap B^{\complement })^{\complement },$$

onde o superíndice ${}^{\complement }$ significa o complemento no conxunto universal $U$.

Unións finitas

Unha unión finita é a unión dun número finito de conxuntos; a frase non implica que o conxunto de unión sexa un conxunto finito.

Unións arbitrarias

A noción máis xeral é a unión dunha colección arbitraria de conxuntos. Se M é un conxunto ou clase cuxos elementos son conxuntos, entón x é un elemento da unión de M se e só se hai polo menos un elemento A de M tal que x é un elemento de A. En símbolos:

$x\in \bigcup \mathbf {M} \iff \exists A\in \mathbf {M} ,\ x\in A.$

Notacións

A notación para o concepto xeral pode variar considerablemente. Para unha unión finita de conxuntos $S_{1},S_{2},S_{3},\dots ,S_{n}$ pódese escribir como $S_{1}\cup S_{2}\cup S_{3}\cup \dots \cup S_{n}$ ou ${\textstyle \bigcup _{i=1}^{n}S_{i}}$ . As unións arbitrarias teñen varias notacións similares: ${\textstyle \bigcup \mathbf {M} }$, ${\textstyle \bigcup _{A\in \mathbf {M} }A}$, e ${\textstyle \bigcup _{i\in I}A_{i}}$. A última destas notacións refírese á unión da colección $\left\{A_{i}:i\in I\right\}$, onde I é un conxunto de índices e $A_{i}$ é un conxunto para todos eses índices $i\in I$. No caso de que o conxunto índice I sexa o conxunto de números naturais, utilízase a notación ${\textstyle \bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}}$, que é análogo ao das sumas infinitas en serie.

Véxase tamén

Outros artigos

• Intersección.
• Complementario.
• Álxebra de conxuntos.

Ligazóns externas

• "Union of sets". Encyclopedia of Mathematics. EMS Press. 2001 [1994]. 
• Infinite Union and Intersection at ProvenMath De Morgan's laws formally proven from the axioms of set theory.