Aplicación linear

Na Galipedia, a Wikipedia en galego.
Saltar ata a navegación Saltar á procura

En matemáticas unha aplicación linear é unha aplicación entre dous espazos vectoriais, que preserva as operacións de adición de vectores e multiplicación por un escalar.

En álxebra abstracta e en álxebra linear unha aplicación linear é un homomorfismo entre espazos vectoriais ou na linguaxe da teoría de categorías un morfismo sobre a categoría dos espazos vectoriais sobre un corpo dado.

Definición[editar | editar a fonte]

Denomínase aplicación linear, función linear ou transformación linear a aplicación en que os seus dominio e codominio sexan espazos vectoriais que cumpra a seguinte definición:

Sexan e espazos vectoriais sobre o mesmo corpo . Unha aplicación de en é unha transformación linear se para todo par de vectores e para todo escalar , se satisfai que:
  1. .

Exemplos[editar | editar a fonte]

  1. A aplicación que envía en (o seu conxugado) é unha transformación linear se se considera como un -espazo vectorial. Non obstante, non o é se se pensa como -espazo vectorial, xa que .
  2. Dado un espazo vectorial calquera, pódese definir a función identidade , que resulta unha transformación linear.
  3. As homotecias: con . Se k > 1 denomínanse dilatacións e se k < 1 denomínanse contraccións.
  4. Dada unha matriz , a función definida como é unha transformación linear. Grazas á matriz asociada, pódese concluír que calquera transformación linear definida entre espazos vectoriais de dimensión finita pode verse como multiplicar por unha matriz.
  5. Sexa o conxunto de funcións continuas en e defínase mediante , ocorre que:
e
para
Polo tanto, cúmprese que e para todo e en e todo , así que é unha aplicación linear de en .[1]

Propiedades das transformacións lineares[editar | editar a fonte]

Sexan e espazos vectoriais sobre (onde representa o corpo), satisfaise que: Se é linear, defínese o núcleo (ker) e a imaxe (Im) de como:


É dicir, que o núcleo dunha transformación linear está formado polo conxunto de todos os vectores do dominio que teñen por imaxe o vector nulo do codominio.

O núcleo de toda transformación linear é un subespazo vectorial do dominio:

  1. dado que (para probar isto, obsérvese que ).
  2. Dados
  3. Dados

Denomínase nulidade á dimensión do núcleo.

A imaxe dunha transformación linear está formada polo conxunto de todos os vectores do codominio que son imaxe de polo menos algún vector do dominio.

  • A imaxe de toda transformación linear é un subespazo do codominio.
  • O rango dunha transformación linear é a dimensión da imaxe.

Obtención de novas transformacións lineares a partir doutras dadas[editar | editar a fonte]

Se f1: e f2: son lineares, entón tamén o é a súa suma f1+f2 (definida como (f1+f2)(x)=f1(x)+f2(x)).

Se f : é linear e a é un elemento do corpo K, entón a función af, definida como (af)(x) = a(f(x)), tamén é linear.

Grazas a estas dúas propiedades, e a que a función que envía todo ao elemento nulo é unha aplicación linear, é que o conxunto de transformacións lineares f: forma un subespazo das funcións de en W. A este subespazo denótase L(,) ou Hom(,). A dimensión de L(,) é igual ao produto das dimensións de e .

Se f: e g: son lineares entón a súa composición gf: tamén o é.

Dado un espazo vectorial , o espazo vectorial L(,), que adoita denotarse End(), forma unha álxebra asociativa sobre o corpo base, onde a multiplicación é a composición e a unidade é a transformación identidade.

Se f: é unha transformación linear bixectiva, entón a súa inversa tamén é transformación linear.

Teoremas básicos das transformacións[editar | editar a fonte]

  • Sexa B = {vi: iJ} base de e C = {wi: iJ} unha colección de vectores de non necesariamente distintos, entón existe unha única transformación linear T: V → W que satisfai:
  • Sexa unha transformación linear.
entón

Como corolario básico deste teorema, obtense que unha transformación linear dun espazo vectorial de dimensión finita nel mesmo é un isomorfismo se e só se é un epimorfismo se e só se é un monomorfismo.

Clasificación das transformacións lineares[editar | editar a fonte]

  • Funcional linear: So as transformación lineares (onde é o corpo base de V).
  • Monomorfismo: Se é inxectiva; equivalentemente, se o único elemento do núcleo é o vector nulo.
  • Epimorfismo: Se é sobrexectiva.
  • Isomorfismo: Se é bixectiva (inxectiva e sobrexectiva)
  • Endomorfismo: Transformación linear en que dominio e codominio coinciden.
  • Automorfismo: Endomorfismo bixectivo.

Matriz asociada a unha transformación linear[editar | editar a fonte]

Se e teñen dimensión finita e se teñen escollidas bases en cada un dos espazos, entón toda transformación linear de en pode representarse por unha matriz. Reciprocamente, toda matriz representa unha transformación linear.

Sexan : unha transformación linear, B={v1, ..., vn} unha base de , C={w1, ..., wm} base de . Para calcular a matriz asociada a bas bases B e C cómpre calcular (vi) para cada i=1,...,n e escribilo como combinación linear da base C: (v1)=a11w1+ ...+am1 wm, ..., (vn)=a1nw1+ ...+amn wm.

A matriz asociada denótase C[T]B e é:

.

Como un vector de se escribe de forma única como combinación linear de elementos de C, a matriz é única.

Como dada calquera escolla de u1, ..., un existe e é única a transformación linear que envía vi en ui, entón, dada A calquera matriz m×n, existe e é única a transformación linear : tal que C [T] B=A.

Ademais, as matrices asociadas cumpren que C [aT+bS] B = a C [T] B + b C [S] B para calquera a,b∈ℝ, T,SL(V,W). Por isto, a aplicación que fai corresponder cada transformación linear coa súa matriz asociada é un isomorfismo entre L(,) e Mn×mC (K).

De restrinxirse ao caso =, C=B, tense ademais que esta aplicación é un isomorfismo entre álxebras.

Notas[editar | editar a fonte]

  1. "Álgebra lineal y matrices" (1989) Herstein y Winter ISBN 968-7270-52-7; pág. 331

Véxase tamén[editar | editar a fonte]

Bibliografía[editar | editar a fonte]

Outros artigos[editar | editar a fonte]

Ligazóns externas[editar | editar a fonte]