Sección cónica

Os catro exemplos de intersección dun plano cun cono: parábola (1), elipse (2 superior), hipérbola (3) e circunferencia (2 inferior).

Denomínase sección cónica, ou simplemente cónica, á intersección dun cono circular recto cun plano que non pasa polo seu vértice. Clasifícanse en tres tipos: elipse, parábola e hipérbola.

Etimoloxía

A primeira definición coñecida de sección cónica é da Antiga Grecia, polo ano -350 (no Menæchmus) onde as definiron como seccións «dun cono circular recto». Os nomes de hipérbola, parábola e elipse débenselle a Apolonio de Perge. Actualmente, as seccións cónicas poden definirse de varias maneiras; segundo as diversas ramas das matemáticas, temos a xeometría analítica, a xeometría proxectiva, etc.

Tipos

Perspectiva das seccións cónicas.

As catro seccións cónicas no plano.

En función da relación existente entre o ángulo de conicidade (α, ángulo da xeratriz coa base) e a inclinación do plano respecto do eixo do cono (β), poden obterse diferentes seccións cónicas, a saber:

• β < α : Hipérbola (laranxa)
• β = α : Parábola (azulado)
• β > α : Elipse (verde)
• β = 90º: Circunferencia (un caso particular de elipse) (vermello)

Se o plano pasa polo vértice do cono, pódese ver que:

• Cando β > α a intersección é un único punto (o vértice).
• Cando β = α a intersección é unha recta xeratriz do cono (o plano será tanxente ao cono).
• Cando β < α a intersección virá dada por dúas rectas que se cortan no vértice.
• Cando β = 90º O ángulo formado polas rectas irá aumentando a medida β disminuye, hasta alcanzar el máximo (α) cuando el plano contenga al eje del cono (β = 0).

Expresión alxébrica

Partindo dunha circunferencia (e=0), ao aumentar a excentricidade obtéñense elipses, parábolas e hipérbolas.

En coordenadas cartesianas, as cónicas exprésanse en forma alxébrica mediante ecuacións cuadráticas de dúas variables (x,y) da forma:

$ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0 \,$

na que, en función dos valores dos parámetros, terase:

h² > ab: hipérbola.

h² = ab: parábola.

h² < ab: elipse.

a = b e h = 0: circunferencia .

Características

A elipse é o lugar xeométrico dos puntos do plano tales que a suma das distancias a dous puntos fixos chamados focos é constante.

Ademais dos focos F e F´, nunha elipse destacan os seguintes elementos:

• Centro, O
• Eixe maior, AA´
• Eixe menor, BB´
• Distancia focal, OF

A elipse con centro (0, 0) ten a seguinte expresión alxébrica: $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2} = 1$

A hipérbola é o lugar xeométrico dos puntos do plano cunha diferencia de distancias a dous puntos fixos, chamados focos, constante e menor que a distancia entre os focos.

Ten dúas asíntotas (rectas cuxas distancias á curva tenden a cero cando a curva se achega ao infinito). As hipérbolas con asíntotas perpendiculares denomínanse hipérbolas equiláteras.

Ademais dos focos e das asíntotas, na hipérbola destacan os seguintes elementos:

• Centro, O
• Vértices, A e A
• Distancia entre os vértices
• Distancia entre os focos

A ecuación dunha hipérbola con centro (0, 0), é: $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2} = 1$

A parábola é o lugar xeométrico dos puntos do plano que equidistan dun punto fixo chamado foco, e dunha recta chamada directriz.

Ademais do foco, F, e da directriz, d, nunha parábola destacan os seguintes elementos:

• Eixe, e
• Vértice, V
• Distancia entre o foco e a directriz

Unha parábola, co vértice na orixe e o seu eixe coincidente coas ordenadas, ten a seguinte ecuación: $\ y = a{x^2} \,$

Aplicacións

As curvas cónicas son importantes na astronomía: dous corpos masivos que interactúan segundo a lei de gravitación universal, as súas traxectorias describen seccións cónicas se o seu centro de masa se considera en repouso. Se están relativamente próximos describirán elipses, se están máis lonxe, describirán hipérbolas ou parábolas.

Tamén son importantes na aerodinámica e na súa aplicación industrial, xa que permiten ser repetidas por medios mecánicos con grande exactitude, logrando superficies, formas e curvas perfectas.

Véxase tamén

• Cónica dexenerada

• Cónicas en wmatem.eis.uva.es (en castelán)