Factorial

Na Galipedia, a Wikipedia en galego.

Nas matemáticas, o factorial dun número natural n é o produto de todos os enteiros positivos menores ou iguais a n. Iso é escrito como n! e lido como "factorial de n ". A notación n! foi introducida por Christian Kramp en 1808.

Definición[editar | editar a fonte]

A función factorial é definida normalmente como:

n!=\prod_{k=1}^n k\qquad\mbox{para todo }n\ge0.

Por exemplo,

5! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 = 120

Esa definición implica en particular que

0! = 1

porque o produto de ningún número é 1 (ver produto vacío para unha descrición dese evento). Dévese prestar atención ao valor do produto vacío neste caso porque

  • fai que a relación recursiva (n + 1)! = n!(n + 1) funcione para n = 1;


A función factorial tamén se pode definir (inclusive para non-enteiros) a través da función gama:

z!=\Gamma(z+1)=\int_{0}^{\infty} t^z e^{-t}\, dt

A secuencia dos factoriais (secuencia A000142 na OEIS) para n = 0, 1, 2,... comeza con:

1, 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, 40320, 362880, 3628800,...

Aplicacións[editar | editar a fonte]

Os factoriais son importantes en análise combinatorial. Por exemplo, existen n! camiños diferentes de arranxar n obxectos distintos nunha secuencia. (Os arranxos son chamados permutacións) E o número de opcións que se poden escoller é dado polo coeficiente binomial

{n\choose k}={n!\over k!(n-k)!}.

Os factoriais tamén aparecen en cálculo. Por exemplo, no teorema de Taylor, que expresa a función f(x) como unha serie de serie de potencias en x. A razón principal é que o n derivativo de xn é n!. Os factoriais tamén son usados extensamente na teoría da probabilidade.

Os factoriais tamén son frecuentemente utilizados como exemplos simplificados de recursividade, en ciencia da computación, porque eles satisfacen as seguintes relacións recursivas: (se n ≥ 1):

n! = n (n − 1)!

Como Calcular factoriais[editar | editar a fonte]

O valor numérico de n! pode ser calculado por multiplicación repetida se n non for grande demais. É iso que calculadoras fan. O maior factorial que a maioría das calculadoras aguanta é 69!, porque 70! > 10100.

Cando n é grande demais, n! pode ser calculado cunha boa precisión usando a fórmula de Stirling:


n!\sim \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n.

Esa é unha versión simplificada que pode ser probada usando matemática básica de ensino secundario; a ferramenta esencial é a indución matemática. Ela é presentada aquí na forma dun exercicio:


\left({n \over 3}\right)^n < n! < \left({n \over 2}\right)^n\ \mbox{if}\ n\geq 6.\,

Logaritmo de Factorial[editar | editar a fonte]

O logaritmo dun factorial pode ser usado para calcular o número de díxitos que a base dun factorial irá ocupar. log n! pode ser facilmente calculado da seguinte maneira:

\sum_{k=1}^n{\log k}


Note que esa función, demostrada graficamente, é case linear para valores baixos; mais o factor {\log n!} \over n crece de maneira arbitraria, aínda que vagarosa. Por exemplo, este é o gráfico os seus primeiros 20 mil valores:

Log-factorial.PNG

Unha boa aproximación para log n! é facer o logaritmo da aproximación de Stirling.

Xeneralizacións[editar | editar a fonte]

A función gamma[editar | editar a fonte]

A función gamma Γ(z) é definida para todos os números complexos z excepto os enteiros non positivos (z = 0, −1, −2, −3, ...). Ela relaciónase cos factoriais polo feito de que satisface un relacionamento recursivo similar a aquel da función factorial:

n!=n(n-1)!
\Gamma(n+1)=n\Gamma(n)

Xunto coa definición Γ(1) = 1 iso xera a ecuación

\Gamma(n+1)=n!\qquad\mbox{for all }n\in\mathbb{N},n\ge1.

Por causa dese relacionamento, a función gamma é frecuentemente tida como unha xeneralización da función factorial para o dominio dos números complexos. Iso é xustificado polas seguintes racións:

  • Significado compartillado—A definición canonica da función factorial é o relacionamento recursivo mencionado, compartillado por ambos.
  • Unicidade—A función gamma é a única función que satisface o relacionamento recursivo mencionado para o dominio dos números complexos e é holomórfica e cuxa restrición ao eixo positivo real é convexa no log. Ou sexa, é a única función que podería ser unha xeneralización da función factorial.
  • Contexto—A función gamma é xeralmente usada nun contexto similar ao dos factoriais (mais, é claro, onde un dominio máis xeral for de interese).

Multifactoriais[editar | editar a fonte]

Unha notación relacionada común é o uso de múltiplos puntos de exclamación para simboliar un multifactorial, o produto de enteiros en pasos de (n!!), tres (n!!!), ou máis.

n!! denota o factorial duplo de n e é definido recursivamente por


  n!!=
  \left\{
   \begin{matrix}
    1,\qquad\quad\ &&\mbox{if }n=0\mbox{ or }n=1;
   \\
    n(n-2)!!&&\mbox{if }n\ge2.\qquad\qquad
   \end{matrix}
  \right.

Por exemplo, 8!! = 2 · 4 · 6 · 8 = 384 e 9!! = 1 · 3 · 5 · 7 · 9 = 945. A secuencia de factoriais duplos para n = 0, 1, 2,... é :1, 1, 2, 3, 8, 15, 48, 105, 384, 945, 3840, ...

Algunhas identidades envolvendo factoriais duplos son:

n!=n!!(n-1)!!
(2n)!!=2^nn!
(2n+1)!!={(2n+1)!\over(2n)!!}={(2n+1)!\over2^nn!}
\Gamma\left(n+{1\over2}\right)=\sqrt\pi{(2n-1)!!\over2^n}

Débese ser cuidadoso para non interpretar n!! como o factorial de n!, que debería ser escrito (n!)! e é un número moito maior (para n>2).

O factorial duplo é a variante máis comumente usada, mais pódese definir o factorial triplo do memso modo (n!!!) e así por diante. En xeral, o k-ésimo factorial, notado por n!(k), é definido recursivamente como


  n!^{(k)}=
  \left\{
   \begin{matrix}
    1,\qquad\qquad\ &&\mbox{if }0\le n<k;
   \\
    n(n-k)!^{(k)},&&\mbox{if }n\ge k.\quad\ \ \,
   \end{matrix}
  \right.

Hiperfactoriais[editar | editar a fonte]

Ocasionalmente o hiperfactorial de n é considerado. É escrito como H(n) e definido por


  H(n)
  =\prod_{k=1}^n k^k
  =1^1\cdot2^2\cdot3^3\cdots(n-1)^{n-1}\cdot n^n

Para n = 1, 2, 3, 4,... os valores de H(n) son 1, 4, 108, 27648,...

A función hiperfactorial é similar á factorial, mais produce números maiores. A taxa de crecemento desa función, con todo, non é moito maior que un factorial regular.

Superfactoriais[editar | editar a fonte]

Neil Sloane e Simon Plouffe definiron o superfactorial en 1995 como o produto dos primeiros n factoriais. Así, o superfactorial de 4 é

sf(4)=1!*2!*3!*4!=288.

No xeral,


  \mathrm{sf}(n)
  =\prod_{k=1}^n k! =\prod_{k=1}^n k^{n-k+1}
  =1^n\cdot2^{n-1}\cdot3^{n-2}\cdots(n-1)^2\cdot n^1.

A secuencia de superfactoriais comeza (de n=0) como:

1, 1, 2, 12, 288, 34560, 24883200, ... (secuencia A000178 na OEIS)

Esa idea pode ser facilmente extendida para superduperfactorial como o produto dos primeiros n superfactoriais (iniciando con n=0), así

1, 1, 2, 24, 6912, 238878720, 5944066965504000, ... (secuencia A055462 na OEIS)

e aí en diante, [recursión|recursivamente]] para todos os factoriais múltiplos, onde o m-factorial de n é o produtod dos primeiros n (m-1)-factorials, i.e.

\mathrm{mf}(n,m) = \mathrm{mf}(n-1,m)\mathrm{mf}(n,m-1)
  =\prod_{k=1}^n k^{n-k+m-1 \choose n-k}

onde \mathrm{mf}(n,0)=n para n>0 e \mathrm{mf}(0,m)=1.

Superfactoriais (definición alternativa)[editar | editar a fonte]

Clifford Pickover, no seu libro Keys to Infinity, de 1995, definiu o superfactorial de n, escrito como n$ (o $ debería, na verdade, ser un sinal de factorial ! cun S sobreposto) como

n$=n^{(4)}n

onde a notación (4) denota o operador hyper4, ou usando a notación de frecha de Knuth,

n$=(n!)\uparrow\uparrow(n!)

Esa secuencia de superfactoriais comeza:

1$=1
2$=2^2=4
3$=6\uparrow\uparrow6=6^{6^{6^{6^{6^6}}}}

Factoración prima de factoriais[editar | editar a fonte]

A potencia de p que ocorre na factoración prima de n! é

\sum_{i=1}^{\infty} \lfloor n/p^i \rfloor


Véxase tamén[editar | editar a fonte]

Ligazóns externas[editar | editar a fonte]