Fórmula de Stirling

A diferencia relativa entre (ln x!) e (x ln x - x) tende a cero ao crecer x.

En matemáticas, a fórmula de Stirling é unha aproximación para factoriais grandes. Leva o nome en honor de James Stirling.

A aproximación exprésase como

$\ln n! \approx n \ln n - n \,$

para n suficientemente grande, onde ln é o logaritmo natural

Definición formal

A fórmula de Stirling está dada por

$\lim_{n \rightarrow \infty} {n!\over \sqrt{2 \pi n} \; \left(\frac{n}{e}\right)^{n} } = 1$

que se reescribe frecuentemente como

$n! \approx \sqrt{2 \pi n} \; \left(\frac{n}{e}\right)^{n}$

máis exactamente a fórmula é como segue

$n! = \sqrt{2 \pi n} \; \left(\frac{n}{e}\right)^{n} {e}^{ {1\over12n} -{1\over360n^3} +{1\over1260n^5} -{1\over 1680n^7} +\cdots }$

onde o último termo (a exponencial) tende a 1 cando n tende a infinito.

A lista dos denominadores é: 12, 360, 1260, 1680, 1188, 360360, 156, 122400, 244188, 125400, 5796, 1506960, 300, ...

Desenvolvendo este último término tamén se pode reescribir a fórmula como

$n! = \sqrt{2 \pi n} \; \left(\frac{n}{e}\right)^{n} \left( 1 +{1\over12n} +{1\over288n^2} -{139\over51840n^3} -{571\over2488320n^4} + \cdots \right).$

Unha acotación da fórmula é

$\sqrt{2 \pi n} \; \left(\frac{n}{e}\right)^{n} {e}^{\frac{1}{12n+1}} < n! < \sqrt{2 \pi n} \; \left(\frac{n}{e}\right)^{n} {e}^{\frac{1}{12n}}$

Por exemplo:

$29! = 8841761993739701954543616000000$

${e}^{\frac{1}{12 \; 29 + 1}} = 1,002869438...$

${e}^{\frac{1}{12 \; 29}} = 1,002877696...$

$29! = \sqrt{2 \pi 29} \; \left(\frac{29}{e}\right)^{29} 1,002877577...$

Usos

A fórmula resulta útil en diversas áreas como a mecánica estatística, onde aparecen ecuacións que conteñen factoriais do número de partículas. Posto que na materia ordinaria os sistemas macroscópicos típicos teñen en torno a $N \approx 10^{23}$ partículas a fórmula de Stirling resulta moi aproximada. Ademais a fórmula é diferenciable, o cal permite o cálculo moi aproximado de máximos e mínimos en expresións con factoriais.