1 − 2 + 3 − 4 + ...

As primeiras 15.000 sumas parciais de 0 + 1 − 2 + 3 − 4 + ... O gráfico está creado cos enteiros positivos á dereita e os enteiros negativos á esquerda.

En matemáticas, a expresión 1 − 2 + 3 − 4 + ... denota a serie de números reais cuxas sumas parciais son

$S_{m}:=\sum _{n=1}^{m}n(-1)^{n-1}$,

para cada enteiro positivo m. Trátase dunha serie diverxente, no senso de que a sucesión das súas sumas parciais ${(S_{m})}_{m}=(1,-1,2,-2,\ldots )$ non ten límite finito. Malia isto, a mediados do século XVIII, Leonhard Euler propuxo a relación seguinte cualificándoa de paradoxal:

$1-2+3-4+\cdots ={\frac {1}{4}}$,

recoñecendo por outra banda que para que teña sentido é preciso estender o concepto de suma. Até o comezo da década de 1890, Ernesto Cesàro e Émile Borel, entre outros, crearon novos métodos para atopar sumas xeneralizadas de series que permiten sumar algunhas series diverxentes, incluíndo novas interpretacións dos intentos realizados por Leonhard Euler. Moitos destes métodos asignan a 1 − 2 + 3 − 4 + ... un valor de ¼. O método de Cesàro $(C,1)$, un dos máis coñecidos, é dos poucos que non suma esta serie. Pola contra, o de Abel si que ofrece como resultado ¼, aínda que o propio Niels Henrik Abel consideraba as series diverxentes «un invento do diaño» porque «un pode obter a conclusión que desexe se as utiliza».

Ademais, 1 − 2 + 3 − 4 + ... é o produto de Cauchy da serie de Grandi (1 − 1 + 1 − 1 + ...) por si mesma, o que necesariamente vincula os intentos de obter a suma dunha cos da outra.

Xa na linguaxe da análise matemática moderna, a prolongación analítica da serie

$\eta (s):=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}},\;\Re (s)>0$

a todo o plano complexo $\mathbb {C}$, coñecida como función eta de Dirichlet, verifica $\eta (-1)=1/4$.

Diverxencia

Se a sucesión de sumas parciais $(S_{m})_{m}$ converxese a algún número real S,

$\lim _{m\to \infty }(S_{m+1}-S_{m})=S-S=0$.

Por outra banda,

$\lim _{m\to \infty }(S_{m+1}-S_{m})=\lim _{m\to \infty }(-1)^{m}(m+1)$,

pero este último límite non é cero (é máis, non existe), en contra do suposto. En consecuencia, a serie 1 − 2 + 3 − 4 + ... é diverxente.

Outro xeito de probar este feito consiste en atopar a expresión explícita das sumas parciais $(S_{m})_{m}$:

1 = 1,

1 − 2 = −1,

1 − 2 + 3 = 2,

1 − 2 + 3 − 4 = −2,

1 − 2 + 3 − 4 + 5 = 3,

1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 = −3,

…

$S_{m}{\overset {\text{def.}}{=}}\sum _{n=1}^{m}(-1)^{n-1}n\;\;={\frac {(-1)^{m-1}(2m+1)+1}{4}}$

Esta sucesión salienta por conter todos os números enteiros unha única vez (definindo a suma parcial baleira $S_{0}:=0$) e polo tanto estabelece a numerabilidade de $\mathbb {Z}$. Ademais, claramente non ten como límite ningún número real (para cada $x\in \mathbb {R}$, pódese atopar un $N\in \mathbb {Z} ^{+}$ a partir do cal as seguintes sumas parciais $(S_{m})_{m>N}$ caen fóra do intervalo $[x-1,x+1]$). Así, chegouse de novo a que 1 − 2 + 3 − 4 + ... diverxe.

Relacións heurísticas de suma

As explicacións máis sinxelas que relacionan a 1 − 2 + 3 − 4 + ... co valor ¹⁄₄ son extensións de resultados relacionados coa serie de Grandi (1 − 1 + 1 − 1 + ...), que tampouco é converxente. En calquera caso, para sumar unha serie diverxente é preciso xeneralizar a noción de suma dalgún xeito.

Estabilidade e linearidade

Un método de suma M dise linear e estable se e só se para calquera par de sucesións de números reais $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ $(b_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ e para todo $\lambda \in \mathbb {R}$:

(1) $M\sum _{n=0}^{\infty }\lambda a_{n}=\lambda \cdot M\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}$;

(2) $M\sum _{n=0}^{\infty }(a_{n}+b_{n})=M\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}+M\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}$;

(3) $M\sum _{n=0}^{\infty }\lambda a_{n}=a_{0}+M\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$.

Supóñase que o método M permite sumar a serie de Grandi, é dicir, que existe un $h\in \mathbb {R}$ tal que $h=M\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}$. Entón:

$h{\overset {(3)}{=}}1+M\sum _{n=0}^{\infty }-(-1)^{n}{\overset {(1)}{=}}1-h\Leftrightarrow h={\frac {1}{2}}$.

Tendo isto en conta, se ademais $s=M\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n-1}n$ para algún $s\in \mathbb {R}$,

$s={\overset {(3)}{=}}1+M\sum _{n=1}^{\infty }-(-1)^{n}(n+1){\overset {(2)}{=}}1+M\sum _{n=1}^{\infty }-(-1)^{n}+M\sum _{n=1}^{\infty }-(-1)^{n}n{\overset {(1)}{=}}1-{\frac {1}{2}}-s\Leftrightarrow s={\frac {1}{4}}$.

En conclusión, todo método de suma linear e estable ofrece como únicos posibles resultados finitos:

• 1 − 1 + 1 − 1 + ...=¹⁄₂;
• 1 − 2 + 3 − 4 + ...=¹⁄₄.

Iso si, nada garantiza que ningunha destas series sexa sumable para tal método (pénsese, por exemplo, na suma ordinaria).

Reordenación de sumandos

Sumando 4 copias de 1 − 2 + 3 − 4 + ..., empregando unicamente desprazamentos e sumando termo a termo obtense 1.

De xeito equivalente, pódense reordenar as ecuacións para obter (s + s) + (s + s) = h + h = 1, o cal novamente implica que s = ¹⁄₄; esta é a forma que se amosa no esquema da dereita e na expresión a continuación:

   s = 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 +. .. .. 
   s =   + 1 - 2 + 3 - 4 + 5 -. .. .. 
   s =   + 1 - 2 + 3 - 4 + 5 -. .. ... 
   s =       + 1 - 2 + 3 - 4 +. .. .. .. 
--------------------------------------------
 4 s = 1 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 +. .. 

Se ben a serie 1 − 2 + 3 − 4 + ... non ten unha suma no senso usual, a ecuación s = 1 − 2 + 3 − 4 + ... = ¹⁄₄ pode ser interpretada como a solución máis natural no caso que se tivese que definir. Unha definición xeneralizada de "suma" dunha serie diverxente é chamada método de sumatorio; existen diferentes tipos de métodos algúns dos cales son explicados nas seccións seguintes, os cales se caracterizan polas propiedades que comparten coa suma convencional.

As manipulacións amosadas previamente demostran que: dado un método de suma que é lineal e estable, se suma á serie 1 − 2 + 3 − 4 + ... entón a suma debe ser ¹⁄₄, e este método tamén permite sumar a serie de Grandi 1 − 1 + 1 − 1 + ... obtendo o valor ¹⁄₂.

Malia que o punto de vista explicado no parágrafo anterior limita os valores que poden coller as sumas xeneralizadas de 1 − 2 + 3 − 4 + ..., o mesmo non indica cales son os métodos que permitirán sumar ou non a serie. En efecto, algúns métodos de suma lineais e estables, como a suma ordinaria, non suman a serie 1 − 2 + 3 − 4 + ... En troques, se se expresa a serie nunha forma alternativa como un produto, entón é posible determinar cales son os métodos que permiten obter ¹⁄₄. Ademais, como

${\begin{array}{rcllll}2s&=&&(1-2+3-4+\cdots )&+&(1-2+3-4+\cdots )\\&=&1+&(-2+3-4+\cdots )&+1-2&+(3-4+5-\cdots )\\&=&0+&(-2+3)+(3-4)+(-4+5)+\cdots \\{\frac {1}{2}}&=&&1-1+1-1+\cdots \\\end{array}}$

tal método tamén pode sumar a serie de Grandi como 1 − 1 + 1 − 1 + ... = ¹⁄₂.

Produto de Cauchy

Xa en 1891, Ernesto Cesàro coidaba que as series diverxentes serían incorporadas no futuro ó cálculo matemático dunha maneira rigorosa:

“

Hoxe en día xa se escribe $(1-1+1-1+...)^{2}=1-2+3-4+...$ e se afirma que ámbolos dous membros valen ${\frac {1}{4}}$.

”

Para Cesàro, esta ecuación era o resultado de aplicar un teorema que el publicara durante o ano previo, sendo identificado como o primeiro teorema ó longo da historia das series diverxentes sumables. Os detalles do seu método de suma explícanse nas seccións subseguintes; a idea central é que 1 − 2 + 3 − 4 + ... é o produto de Cauchy de 1 − 1 + 1 − 1 + ... con 1 − 1 + 1 − 1 + ...

1 − 2 + 3 − 4 + ... expresada como o produto de Cauchy entre dúas series 1 − 1 + 1 − 1 + ...

O produto de Cauchy de dúas series infindas defínese aínda que ámbalas dúas sexan diverxentes. No caso Σa_n = Σb_n = Σ(−1)ⁿ, os termos do produto de Cauchy obtéñense mediante a suma das sumas finitas das diagonais:

${\begin{array}{rcl}c_{n}&=&\displaystyle \sum _{k=0}^{n}a_{k}b_{n-k}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}(-1)^{n-k}\\[1em]&=&\displaystyle \sum _{k=0}^{n}(-1)^{n}=(-1)^{n}(n+1).\end{array}}$

Polo tanto a serie produto é:

$\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}(n+1)=1-2+3-4+\cdots .$

Polo tanto os métodos de suma que "respectan" o produto de Cauchy de dúas series e suman 1 − 1 + 1 − 1 + ... = ¹⁄₂, tamén suman 1 − 2 + 3 − 4 + ... = ¹⁄₄. E en concordancia cos resultados da sección previa isto implica unha equivalencia entre a sumabilidade de 1 − 1 + 1 − 1 + ... e 1 − 2 + 3 − 4 + ..., por métodos que son lineais, estables e que respectan o produto de Cauchy.

O teorema de Cesàro é un exemplo sutil disto. A serie 1 − 1 + 1 − 1 + ... é sumable Cesàro no sentido máis feble, chamado sumable (C, 1), mentres que 1 − 2 + 3 − 4 + · · · require o uso dunha forma máis forte do teorema de Cesàro, sendo sumable (C, 2). Xa que logo todas as formas do teorema de Cesàro son lineais e estables, as sumas resultan nos valores indicados previamente.

Métodos específicos

Cesàro e Hölder

Expresión da suma (H, 2) de ¹⁄₄

Para calcular a suma de Cesàro (C, 1) de 1 − 2 + 3 − 4 + ..., no caso que existise, débese calcular a media aritmética das sumas parciais dos termos da serie. As sumas parciais son:

1, −1, 2, −2, 3, −3, ...

e as medias aritméticas destas sumas parciais que son:

1, 0, ²⁄₃, 0, ³⁄₅, 0, ⁴⁄₇, ...

Xa que esta sucesión non converxe, conclúese que 1 − 2 + 3 − 4 + ... non é sumable segundo o método de Cesàro.

Existen dúas xeneralizacións do método de suma de Cesàro: a máis sinxela conceptualmente é a sucesión dos métodos (H, n) por números naturais n. A suma (H, 1) é o sumatorio de Cesàro, e os métodos de maior orde repiten o cálculo das medias. Na expresión anterior, as medias pares converxen en ¹⁄₂, mentres que as medias impares son igual a cero, polo tanto a media das medias converxe no valor medio de 0 e ¹⁄₂, ou sexa ¹⁄₄. Polo tanto 1 − 2 + 3 − 4 + ... é sumable (H, 2) e dá ¹⁄₄.

A "H" emprégase na honra de Otto Hölder, que foi o primeiro en demostrar en 1882 o que hoxe os matemáticos coidan que é a conexión entre o sumatorio de Abel e o sumatorio (H, n); o seu primeiro exemplo foi 1 − 2 + 3 − 4 + ... O feito de que ¹⁄₄ sexa a suma (H, 2) de 1 − 2 + 3 − 4 + ... garante que tamén é a suma de Abel; feito que se demostra na seguinte sección.

Outra xeneralización coñecida da suma ordinaria segundo Cesàro (C,1) son os métodos métodos (C, n), que equivalen aos (H, n) de Hölder, malia que teñen diferentes fundamentos históricos. En 1887, Cesàro estivo moi preto de desenvolver a definición do sumatorio(C, n), pero só deu uns poucos exemplos, incluíndo 1 − 2 + 3 − 4 + ..., que sumou obtendo o valor ¹⁄₄ por un método que podería ser interpretado como (C, n) mais que non foi xustificado como tal daquela. En 1890, Cesàro definiu formalmente os métodos (C, n) co obxectivo de estabelecer a demostración do seu teorema, o cal di que o produto de Cauchy dunha serie sumable (C, n) e unha serie sumable (C, m) é unha serie sumable (C, m + n + 1).

Sumatorio de Abel

Algúns parciais de 1−2x+3x²+...; 1/(1 + x)²; e límites en 1.

Nun traballo que Leonhard Euler escribiu contra o ano 1749, admite que a serie diverxe, pero de tódolos xeitos fai todo o posible por sumala:

... semella un paradoxo dicir que a suma da serie 1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 etc. obtén o valor ¹⁄₄. Xa que cando sumamos os primeiros 100 termos da serie obtense o valor –50, mentres que a suma dos primeiros 101 termos obtén o valor +51, o cal é moi diferente de ¹⁄₄ e a suma é cada vez maior a medida que medra o número de termos que se suman. É por isto que dende hai tempo cheguei á conclusión de que é preciso dar á palabra suma un significado máis amplo...

En diferentes oportunidades Euler propuxo unha xeneralización da palabra "suma". As súas ideas sobre o caso 1 − 2 + 3 − 4 + ..., son semellantes ó que hoxe se coñece como sumatorio de Abel:

... xa non queda ningunha dúbida de que a suma da serie 1 − 2 + 3 − 4 + 5 - 6 etc. é ¹⁄₄; xa que xorde da expansión da fórmula ¹⁄_(1+1)², o valor da cal é incontestablemente ¹⁄₄. É posible aclarar o concepto se se considera a serie xeral 1 − 2x + 3x² − 4x³ + 5x⁴ − 6x⁵ + &c. que se obtén ó expandir a expresión ¹⁄_(1+x)², que é igual á serie se se asigna x = 1.

Existen diferentes xeitos de comprobar que, cando menos para valores absolutos |x| < 1, Euler non está errado en afirmar que:

$1-2x+3x^{2}-4x^{3}+\cdots ={\frac {1}{(1+x)^{2}}}.$

Por exemplo, se se calcula o desenvolvemento en serie de Taylor do lado dereito da igualdade, ou se aplica o formalismo da división polinominal. Comezando dende o lado esquerdo, pódese seguir a heurística xeral indicada previamente e probar de multiplicar por (1+x) dúas veces ou elevar ó cadrado a serie xeométrica 1 − x + x² − ... Semella que Euler suxire calcular a derivada desta última serie termo a termo.

Dende o punto de vista moderno, a serie 1 − 2x + 3x² − 4x³ + ... non define unha función en x = 1, polo tanto este valor non pode ser substituído na expresión resultante. Por mor do feito de que a función está definida para todo |x| < 1, é posible calcular o límite cando x tende a 1, e esta é precisamente a definición da suma de Abel:

$\lim _{x\rightarrow 1^{-}}\sum _{n=1}^{\infty }n(-x)^{n-1}=\lim _{x\rightarrow 1^{-}}{\frac {1}{(1+x)^{2}}}={\frac {1}{4}}.$

Euler e Borel

Sumatorio de Euler en ¹⁄₂ − ¹⁄₄

Euler tamén aplicou ás series outra técnica da súa invención: a transformada de Euler. Para calcular a transformada de Euler comézase pola sucesión de termos positivos que forman a serie alternada: Neste caso 1, 2, 3, 4, ... Ó primeiro elemento desta sucesión chámaselle a₀.

Logo obtense a sucesión das diferenzas anteriores de 1, 2, 3, 4, ...; que é 1, 1, 1, 1, ... Ó primeiro elemento desta sucesión chámaselle Δa₀. A transformada de Euler depende tamén das diferenzas das diferenzas, e iteracións de maior orde, pero todas as diferenzas subseguintes de 1, 1, 1, 1, ... son 0. A transformada de Euler de 1 − 2 + 3 − 4 + ... defínese como:

${\frac {1}{2}}a_{0}-{\frac {1}{4}}\Delta a_{0}+{\frac {1}{8}}\Delta ^{2}a_{0}-\cdots ={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}.$

Empregando terminoloxía moderna, dise que 1 − 2 + 3 − 4 + ... é Euler sumable, e dá ¹⁄₄.

A suma de Euler implica tamén outro tipo de suma. Representando 1 − 2 + 3 − 4 + ... como:

$\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}(k+1),$

obtense a serie totalmente converxente asociada:

$a(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}(k+1)x^{k+1}}{(k+1)!}}=x\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-x)^{k}}{k!}}=e^{-x}x.$

A suma de Borel de 1 − 2 + 3 − 4 + ... polo tanto é:

$\int _{0}^{\infty }e^{-x}a(x)\,dx=\int _{0}^{\infty }e^{-2x}x\,dx=-{\frac {\partial }{\partial \beta }}{\bigg |}_{2}\int _{0}^{\infty }e^{-\beta x}\,dx=-{\frac {\partial }{\partial \beta }}{\bigg |}_{2}\beta ^{-1}={\frac {1}{4}}.$

Separación de escalas

Saichev e Woyczyński chegan a 1 − 2 + 3 − 4 + · · · = ¹⁄₄ empregando só dous principios físicos: relaxación infinitesimal e separación de escalas. En realidade, estes principios permítenlles definir unha familia ampla de "métodos de sumatorio-φ", onde todos eles suman a serie ó valor ¹⁄₄:

• Se φ(x) é unha función cuxas primeira e segunda derivadas son continuas e integrables no intervalo (0, ∞), con φ(0) = 1 e sendo cero o valor dos límites de φ(x) e xφ(x) en +∞ , entón

$\lim _{\delta \downarrow 0}\sum _{m=0}^{\infty }(-1)^{m}(m+1)\varphi (\delta m)={\frac {1}{4}}.$

Este resultado xeneraliza o sumatorio de Abel, o que corresponde ó caso φ(x) = exp(−x). O formalismo xeral pode ser demostrado apareando os termos da serie sobre m e convertendo a expresión nunha integral de Riemann. Para este último paso, a demostración correspondente para 1 − 1 + 1 − 1 + · · · emprega o teorema do valor medio, pero aquí requírese da poderosa forma de Lagrange do teorema de Taylor.

Xeneralizacións

Extracto de p.233 de E212 — Institutiones calculi differentialis cum eius usu in analysi finitorum ac doctrina serierum. Euler suma diversas series relacionadas con 1 − 2 + 3 − 4 + ..., ca. (1755).

O produto de Cauchy triplo de 1 − 1 + 1 − 1 + ... é 1 − 3 + 6 − 10 + ..., a serie alternada dos números triangulares; a súa suma de Abel e de Euler é ¹⁄₈.

O produto de Cauchy cuarto de 1 − 1 + 1 − 1 + ... é 1 − 4 + 10 − 20 + ..., a serie alternada dos números tetraédricos, cuxa suma de Abel é ¹⁄₁₆.

Outra xeneralización de 1 − 2 + 3 − 4 + ... nunha dirección lixeiramente diferente é a serie 1 − 2ⁿ + 3ⁿ − 4ⁿ + ..., sendo n un enteiro positivo arbitrario. Estas series teñen as seguintes sumas segundo Cesàro (C, n+1) e, polo tanto, de Abel:

$1-2^{n}+3^{n}-\cdots ={\frac {2^{n+1}-1}{n+1}}B_{n+1}$

onde B_n son os números de Bernoulli. Tendo en conta que os números de Bernoulli impares son sempre nulos, cando n=2k pares, isto redúcese a:

$1-2^{2k}+3^{2k}-\cdots =0.$

Esta última suma foi ridiculizada por Niels Henrik Abel en 1826:

As series diverxentes son un invento do demo, e é unha vergonza que se ouse basear nelas demostración algunha. Mediante o seu uso é posible extraer a conclusión que se desexe e esta é a razón pola cal estas series foron a orixe de tantas falsidades e paradoxos. É que pode alguén pensar en algo máis desalentador que dicir que:
0 = 1 − 2ⁿ + 3ⁿ − 4ⁿ + etc.,
onde n é un número positivo. Amigos, velaquí unha cousa da cal nos podemos rir.

Eugène Charles Catalan, o mestre de Cesàro, tamén menosprezaba as series diverxentes. Baixo a influencia de Catalan, Cesàro inicialmente referíase ás "fórmulas convencionais" para 1 − 2ⁿ + 3ⁿ − 4ⁿ + ... como "igualdades absurdas", e en 1883, Cesàro manifestaba o punto de vista aceptado daquela segundo o cal as fórmulas eran falsas pero aínda así dalgún xeito útiles formalmente. Finalmente, no seu traballo Sur la multiplication des series, publicado en 1890, Cesàro adoptou un punto de vista moderno comezando polas definicións.

A serie tamén foi estudada para valores non enteiros de n: estes producen a función eta de Dirichlet. Unha parte da motivación de Euler para estudar series relacionadas con 1 − 2 + 3 − 4 + ... era a ecuación funcional da función eta, a cal leva directamente á ecuación funcional da función dseta de Riemann. Euler xa se fixera famoso por atopar os valores destas funcións para enteiros pares positivos (incluíndo o problema de Basilea) e tentou atopar os valores para enteiros impares positivos (incluíndo a constante de Apéry): este último problema aínda está sen resolver hoxe en día. Coa función eta, en particular, é máis doado traballar cos métodos de Euler xa que a súa serie de Dirichlet é sumable Abel na súa totalidade; a serie da función eta de Dirichlet é moito máis complicada de sumar onde diverxe. Por exemplo, o homólogo de 1 − 2 + 3 − 4 + ... na función dseta é a serie non alternada 1 + 2 + 3 + 4 + ..., que ten importantes aplicacións en física moderna e require métodos máis sofisticados para facer a suma.

Véxase tamén

Bibliografía

• Beals, Richard (2004). Analysis: an introduction. Cambridge UP. ISBN 0-521-60047-2. 
• Davis, Harry F. (maio de 1989). Fourier Series and Orthogonal Functions. Dover. ISBN 0-486-65973-9. 
• Baez, John C. (2003). Euler’s Proof That 1+2+3+···=- 1/12 (PDF). Arquivado dende o orixinal (PDF) o 13 de outubro de 2017. Consultado o 13 de novembro de 2017. 
• Euler, Leonhard (1768). "Remarques sur un beau rapport entre les séries des puissances tant directes que réciproques" (PDF). Memoires de l'academie des sciences de Berlin (en francés) 17: 83–106. 
• Euler, Leonhard; Willis, Lucas; Osler, Thomas J (2006). "Translation with notes of Euler's paper: Remarques sur un beau rapport entre les séries des puissances tant directes que réciproques". Memoires de l'academie des sciences de Berlin 17: 83–106. 
• Ferraro, Giovanni (1999). "The First Modern Definition of the Sum of a Divergent Series: An Aspect of the Rise of 20th Century Mathematics". Archive for History of Exact Sciences 54: 101–135. doi 10.1007/s004070050036. 
• Grattan-Guinness, Ivor (1970). The development of the foundations of mathematical analysis from Euler to Riemann. MIT Press. ISBN 0-262-07034-0. 
• Hardy, G.H. (1949). Divergent Series. Clarendon Press. 
• Kline, Morris (1983). "Euler and Infinite Series". Mathematics Magazine 56: 307–314. 
• Knopp, Konrad (1954). Theory and Application of Infinite Series. Dover. ISBN 0486661652. 
• Lavine, Shaughan (1994). Understanding the Infinite. Harvard UP. ISBN 0674920961. 
• Markushevich, A.I. (1967). Series: fundamental concepts with historical exposition (3a ed.). Hindustan Pub. Corpàg. 
• Saichev, A.I.; Woyczyński, W.A. (1996). Distributions in the physical and engineering sciences, Volume 1. Birkhaüser. ISBN 0-8176-3924-1. 
• Tucciarone, John (1973). "The development of the theory of summable divergent series from 1880 to 1925". Archive for History of Exact Sciences 10: 1–40. doi 10.1007/BF00343405. 
• Vretblad, Anders (2003). Fourier Analysis and Its Applications. Springer. ISBN 0387008365. 
• Weidlich, John E. (1950). Summability methods for divergent series. Stanford M.S. theses. OCLC 38624384.