Produto vectorial

Na Galipedia, a Wikipedia en galego.
Produto vectorial.

En matemática, o produto vectorial é unha operación binaria sobre vectores nun espazo vectorial. Pode ser denominado tamén como produto externo ou produto cruz. O seu resultado difire do produto escalar por ser tamén un vector, ao contrario dun escalar. O seu principal uso baséase no feito de que o resultado dun produto vectorial é sempre perpendicular a ambos os vectores orixinais, así como que o módulo do vector resultante do produto é a área do paralelogramo que conformarían os vectores do produto.

Definición[editar | editar a fonte]

A notación do produto vectorial entre dous vectores a e b é a × b (en manuscritos, algúns matemáticos escriben ab para evitar a confusión coa x). Podemos definilo como:

onde θ é a medida do ángulo entre a e b (0° ≤ θ ≤ 180°) no plano definido polos dous vectores, e n é o vector unitario perpendicular a tanto a canto b.

O problema con esta definición é que existen dous vectores unitarios que son perpendiculares a a e b simultaneamente: se n é perpendicular, entón −n tamén o é.

O resultado correcto depende da orientación do espazo vectorial, i.e. da quiralidade do sistema de coordenadas (i, j, k). O produto vectorial a × b é definido de tal forma que (a, b, a × b) se torna destro se (i, j, k) é "a dereitas" ou zurdo se (i, j, k) é "a esquerdas".

Unha forma fácil de calcular a dirección do vector resultante é a "regra da man dereita". Se un sistema de coordenadas é destro, basta apuntar o indicador na dirección do primeiro operando e o dedo medio na dirección do segundo operando. Desta forma, o vector resultante é dado pola dirección do polgar.

Crossproduct.png

Sexan dous vectores e no espazo vectorial . O produto vectorial entre e dá como resultado un novo vector, . Para definir este novo vector é necesario especificar o seu módulo e dirección:

  • O módulo de está dado por

onde θ é o ángulo determinado polos vectores a e b.

  • A dirección do vector c, que é ortogonal a a e ortogonal a b, está dada pola regra da man dereita.

Produto vectorial de dous vectores[editar | editar a fonte]

Sexan e dous vectores concorrentes de , o espazo afín tridimensional segundo a base anterior.

Defínese o produto , e escríbese , como o vector:


No que

, é o determinante de orde 2.

Ou usando unha notación máis compacta, mediante o desenvolvemento pola primeira fila dun determinante simbólico de orde 3 (simbólico xa que os termos da primeira fila non son escalares):


Que dá orixe á chamada regra da man dereita ou regra do sacarrollas: xirando o primeiro vector cara ao segundo polo ángulo máis pequeno, a dirección de é o dun sacarrollas que xire na mesma dirección.

Exemplo[editar | editar a fonte]

O produto vectorial dos vectores e calcúlase do seguinte xeito:


Expandindo o determinante:


Pode verificarse facilmente que é ortogonal aos vectores e efectuando o produto escalar e verificando que este é nulo (condición de perpendicularidade de vectores).


Véxase tamén[editar | editar a fonte]