Produto escalar

Na Galipedia, a Wikipedia en galego.

En matemática, na álxebra linear, o produto escalar, chamado tamén produto interno, interior ou punto, é unha función binaria definida entre dous vectores que fornece un número real como resultado. O produto vectorial, que é outra operación posíbel para vectores, fornece, por outro lado, un novo vector.

Alén de para o espazo euclidiano de dúas e tres dimensión, o produto escalar pode definirse tamén nos espazos euclidianos de dimensión maior a tres, e en xeral nos espazos vectoriais reais e complexos. Os espazos vectoriais dotados de produto escalar reciben o nome de espazos prehilbertianos.

Definición[editar | editar a fonte]

Produto escalar de dous vectores

Dados dous vectores e . o produto escalar pode ser calculado como:

Onde é o ángulo formado polos vectores e , e e son as súas lonxitudes. Da figura podemos ver que o produto representa a proxección do vector na dirección do vector . Se fose unha forza, o produto escalar indicaría entón canta da forza se estaría a aplicar na dirección de .

Se o ángulo entre os vectores fose 90º ( e perpendiculares entre si), o produto escalar sería cero, pois cos 90º = 0.

Note que non fai falla mencionar ningún Sistema de coordenadas para obter o valor do produto escalar. A formula de riba é válida independentemente do sistema de coordenadas.

Nun sistema de coordenadas cartesiano, onde se escriben os vectores en termos de compoñentes como:

O produto escalar pode escribirse como:

Note que a interpretación do produto escalar como a proxección dun vector na dirección doutro, neste caso, está lonxe de ser obvia. Porén a expresión de riba fornécenos unha forma de obter a lonxitude dun vector calquera en termos das súas compoñentes:

A expresión xeral inicial soamente contén unha definición da lonxitude dun vector como a raíz cadrada do seu produto escalar, mais non fornece medios de calculalo:

Definición xeneral[editar | editar a fonte]

O produto escalar de dous vectores nun espazo vectorial é unha forma bilinear, hermítica e definida positiva, polo que se pode considerar unha forma cuadrática definida positiva.

Un produto escalar pódese expresar como unha aplicación onde V é un espazo vectorial e é o corpo sobre o que está definido V. debe satisfacer as seguintes condicións:

  1. Linearidade pola esquerda: , e linearidade conxugada pola dereita:
  2. Hermiticidade: ,
  3. Definida positiva: , y se e só se x = 0,

onde son vectores de V, representan escalares do corpo e é o conxugado do complexo c.

Se o corpo ten parte imaxinaria nula (v.g., ), a propiedade de ser sesquilinear convértese en ser bilinear e o ser hermítica convértese en ser simétrica.

Tamén adoita representarse por ou por .

Un espazo vectorial sobre o corpo ou dotado dun produto escalar denomínase espazo prehilbert ou espazo prehilbertiano. Se ademais é completo, dise que é un espazo de Hilbert, e se a dimensión é finita, dirase que é un espazo euclídeo.

Todo produto escalar induce unha norma sobre o espazo no que está definido, da seguinte maneira:


.

Definición xeométrica do produto escalar nun espazo euclídeo real[editar | editar a fonte]

AB = |A| |B| cos(θ).
|A| cos(θ) é a proxección escalar de A en B.

O produto escalar de dous vectores nun espazo euclídeo defínese como o produto dos seus módulos polo coseno do ángulo que forman.

Nos espazos euclídeos, a notación usual de produto escalar é

Esta definición de carácter xeométrico é independente do sistema de coordenadas elixido e polo tanto da base do espazo vectorial escollida.

Proxección dun vector sobre outro[editar | editar a fonte]

Posto que |A| cos θ representa o módulo da proxección do vector A sobre a dirección do vector B, isto é |A| cos θ = proy AB, será

de modo que o produto escalar de dois vectores tamén pode definirse como o produto do módulo dun deles pola proxección do outro sobre el.

Ángulos entre dous vectores[editar | editar a fonte]

A expresión xeométrica do produto escalar permite calcular o coseno do ángulo existente entre os vectores:

Vectores ortogonais[editar | editar a fonte]

Dous vectores son ortogonais ou perpendiculares cando forman ángulo recto entre si. Se o produto escalar de dous vectores é cero, ambos vectores son ortogonais.

xa que o .

Vectores paralelos ou nunha mesma dirección[editar | editar a fonte]

Dous vectores son paralelos ou levan a mesma dirección se o ángulo que forman é de 0 radiáns (0 graos) ou de π radiáns (180 graos).

Cando dous vectores forman un ángulo cero, o valor do coseno é a unidade, polo tanto o produto dos módulos vale o mesmo que o produto escalar.

Observación[editar | editar a fonte]

Unha importante variante do produto escalar estándar utilízase no espazo-tempo de Minkowski, é dicir, dotado do produto escalar:

.

Propiedades do produto escalar[editar | editar a fonte]

1. Conmutativa:

2. Distributiva respecto á suma vectorial:

3. Asociativa respecto ao produto por un escalar m:

4. Obsérvese que en xeral

5. Se os vectores son ortogonais, o seu produto escalar é nulo (cos 90º = 0), e viceversa

Nótese que o produto escalar de dous vectores pode ser nulo sen que o sexan os dous correspondentes vectores.

Expresión analítica do produto escalar[editar | editar a fonte]

Se os vectores A e B se expresan en función das súas compoñentes cartesianas rectangulares, tomando a base canónica en formada polos vectores unitarios {i , j , k} temos:

O produto escalar realízase como un produto matricial da seguinte forma:

Exemplo[editar | editar a fonte]

Un produto escalar é unha operación alxébrica que obedece á seguinte regra:

Sexan os vectores u e mais v,de tres dimensións,con compoñentes: u(a1, a2, a3) e v(b1, b2, b3). O produto escalar de u por v (u escalar v) é o número real:

uv = a1b1 + a2b2 + a3b3.

Norma ou Módulo dun vector[editar | editar a fonte]

Defínese como a lonxitude do segmento orientado (vector) no espazo métrico considerado.

Calcúlase a través do produto interno do vector consigo mesmo.

Efectuado o produto escalar, temos:

de modo que

Por compoñentes, tomando a base canónica en formada polos vectores unitarios {i, j, k}

de modo que

Produtos interiores definidos en espazos vectoriais usuais[editar | editar a fonte]

  • No espazo vectorial adóitase definir o produto interior (chamado, neste caso en concreto, produto punto) por:
  • No espazo vectorial adóitase definir o produto interior por:

Sendo o número complexo conxugado de

  • No espazo vectorial das matrices de m x n , con elementos reais

onde tr(A) é a traza da matriz B e é a matriz trasposta de A.

  • No espazo vectorial das matrices de m x n , con elementos complexos

onde tr(A) é a traza da matriz B e é a matriz trasposta conxugada de A.

  • No espazo vectorial das funcións continuas sobre o intervalo C[a, b], acotado por a e b:
  • No espazo vectorial dos polinomios de grao menor ou igual a n:

Dado tal que  :

Xeneralizacións[editar | editar a fonte]

Formas cuadráticas[editar | editar a fonte]

Dada unha forma bilinear simétrica definida sobre un espazo vectorial pode definirse un produto escalar diferente do produto escalar euclídeo mediante a fórmula:


Onde:

é unha base do espazo vectorial

Pode comprobarse que a operación anterior satisfai todas as propiedades que debe satisfacer un produto escalar.

Tensores métricos[editar | editar a fonte]

Pódense definir e manexar espazos non-euclídeos ou máis exactamente variedades de Riemann, é dicir, espazos non-planos cun tensor de curvatura diferente de cero, nos que tamén podemos definir lonxitudes, ángulos e volumes. Nestes espazos máis xerais adóptase o concepto de xeodésica en lugar do de segmento para definir as distancias máis curtas entre puntos e, tamén, se modifica lixeiramente a definición operativa do produto escalar habitual introducindo un tensor métrico , tal que a restrición do tensor a un punto da variedade de Riemann é unha forma bilinear .

Así, dados dous vectores campos vectoriais e do espazo tanxente á variedade de Riemann defínese o seu produto interno ou escalar como:

A lonxitude dunha curva rectificable C entre dous puntos A e B pódese definir a partir do seu vector tanxente do seguinte xeito:


Véxase tamén[editar | editar a fonte]

Bibliografía[editar | editar a fonte]

  • Ortega, Manuel R. (1989-2006). Monytex, ed. Lecciones de Física (4 volúmenes). ISBN 84-404-4290-4, ISBN 84-398-9218-7, ISBN 84-398-9219-5, ISBN 84-604-4445-7. 
  • Resnick,Robert & Krane, Kenneth S. (2001). John Wiley & Sons, ed. Physics. New York. ISBN 0-471-32057-9. 
  • Serway, Raymond A.; Jewett, John W. (2004). Brooks/Cole, ed. Physics for Scientists and Engineers (6ª ed.). ISBN 0-534-40842-7. 
  • Tipler, Paul A. (2000). Barcelona: Ed. Reverté, ed. Física para la ciencia y la tecnología (2 volúmenes). ISBN 84-291-4382-3. 
  • Navarro Camacho, Jorge y otros (julio 2007). MAD, ed. Cuerpo de Profesores de Enseñanza Secundaria ; Matemáticas (Volumen III). ISBN 84-665-7931-1. 
  • Marsden, J.E.;Tromba, A.J. (2004). Pearson educación, S.A., ed. Cálculo vectorial (5ª ed.). ISBN 84-7829-069-9. 
  • Reinhardt, Fritz;Soeder,Heinrich; Traducido por Vázquez Suárez,Juan Luis;Rodríguez Artalejo, Mario (Alianza universidad) (1984). Deutscher Taschenbuch Verlag GmbH&Co. KG.München (Deutschland), ed. Atlas de matemáticas 1.Fundamentos,álgebra y geometría (2 tomos). ISBN 84-206-6203-8, ISBN 84-206-6998-9. 

Ligazóns externas[editar | editar a fonte]