Hiperoperación

En matemáticas, a secuencia de hiperoperacións é unha secuencia infinita de operacións aritméticas (chamadas hiperoperacións neste contexto) que comeza cunha operación unitaria (a función sucesora con n = 0). A secuencia continúa coas operacións binarias de suma ( n = 1), multiplicación ( n = 2) e potenciación ( n = 3).

Despois diso, a secuencia continúa con operacións binarias que se estenden máis aló da potenciación, tendo en conta que non son asociativas (por exemplo, a tetración que procede da potenciación${}^{3}3=3^{(3^{3})}=3^{9}\neq 9^{3}=(3^{3})^{3}$). Para as operacións máis aló da potenciación, o membro n -ésimo desta secuencia é nomeado por Reuben Goodstein despois do prefixo grego de n sufixado con -ación (como tetración ( n = 4), pentación ( n = 5), hexación ( n = 6). ), etc.) e pódese escribir usando n − 2 frechas na notación de frecha cara arriba de Knuth . Cada hiperoperación pódese entender recursivamente en función da anterior por:

$a[n]b=\underbrace {a[n-1](a[n-1](a[n-1](\cdots [n-1](a[n-1](a[n-1]a))\cdots )))} _{\displaystyle b{\mbox{ copies of }}a},\quad n\geq 2$

Tamén se pode definir segundo unha regra recursiva parte da definición, como aparece na versión de Knuth con frecha cara arriba da función de Ackermann :

$a[n]b=a[n-1]\left(a[n]\left(b-1\right)\right),\quad n\geq 1$

Isto pódese empregar para mostrar facilmente números moito máis grandes que os que pode facer mediante a notación científica, como o número de Skewes e o googolplexplex (p. ex. $50[50]50$ é moito maior que o número de Skewes e o googolplex), pero hai algúns números que nin as hiperoperación pódenos mostrar facilmente, como o número de Graham e TREE(3) .

Esta regra de recursión é común a moitas variantes das hiperoperacións.

Definición

Definición (a máis común)

A Secuencia de hiperoperación $H_{n}(a,b)\colon (\mathbb {N} _{0})^{3}\rightarrow \mathbb {N} _{0}$ é a secuencia de operacións binarias $H_{n}\colon (\mathbb {N} _{0})^{2}\rightarrow \mathbb {N} _{0}$, definido recursivamente como segue:

$H_{n}(a,b)=a[n]b={\begin{cases}b+1&{\text{se }}n=0\\a&{\text{se }}n=1{\text{ e }}b=0\\0&{\text{se }}n=2{\text{ e }}b=0\\1&{\text{se }}n\geq 3{\text{ e }}b=0\\H_{n-1}(a,H_{n}(a,b-1))&{\text{senón}}\end{cases}}$

(Teña en conta que para n = 0, a operación binaria redúcese esencialmente a unha operación unitaria ( función sucesora ) ignorando o primeiro argumento.)

Para n = 0, 1, 2, 3, esta definición reproduce as operacións aritméticas básicas da sucesión (que é unha operación unitaria), suma, multiplicación e exponenciación, respectivamente, como

${\begin{aligned}H_{0}(a,b)&=1+b,\\H_{1}(a,b)&=a+b,\\H_{2}(a,b)&=a\times b,\\H_{3}(a,b)&=a\uparrow {b}=a^{b}.\end{aligned}}$

As $H_{n}$ operacións para n ≥ 3 pódense escribir na notación de frecha cara arriba de Knuth .

Entón, cal será a seguinte operación despois da exponenciación? Definimos a multiplicación para que $H_{2}(a,3)=a[2]3=a\times 3=a+a+a,$ e definiuse a potenciación para que $H_{3}(a,3)=a[3]3=a\uparrow 3=a^{3}=a\times a\times a,$ polo que parece lóxico definir a seguinte operación, a tetración, para que $H_{4}(a,3)=a[4]3=a\uparrow \uparrow 3={\text{tetración}}(a,3)=a^{a^{a}}$ cunha torre de tres 'a'. De xeito análogo, a pentación de (a, 3) será tetración(a, tetración(a, a)), con tres "a" nela.

${\begin{aligned}H_{4}(a,b)&=a\uparrow \uparrow {b},\\H_{5}(a,b)&=a\uparrow \uparrow \uparrow {b},\\\ldots &\\H_{n}(a,b)&=a\uparrow ^{n-2}b{\text{ para }}n\geq 3,\\\ldots &\\\end{aligned}}$

A notación de Knuth podería estenderse a índices negativos ≥ −2 de tal xeito que concorde con toda a secuencia de hiperoperacións, excepto para o atraso na indexación:

$H_{n}(a,b)=a\uparrow ^{n-2}b{\text{ para }}n\geq 0.$

Así, as hiperoperacións pódense ver como unha resposta á pregunta "que segue" na secuencia : sucesor, suma, multiplicación, potenciación, etc. Observando iso

${\begin{aligned}a+b&=1+(a+(b-1))\\a\cdot b&=a+(a\cdot (b-1))\\a^{b}&=a\cdot \left(a^{(b-1)}\right)\\a[4]b&=a^{a[4](b-1)}\end{aligned}}$

a relación entre as operacións aritméticas básicas está ilustrada, permitindo que as operacións superiores se definan de forma natural como se realizou anteriormente. Os parámetros da xerarquía de hiperoperación son ás veces referidos polo seu termo de exponenciación análogo; polo que a é a base, b é o expoñente (ou hiperexpoñente ), e n é o rango (ou grao ), e ademais, $H_{n}(a,b)$ léase como "a b- ésimo n -ación de a ", p. ex $H_{4}(7,9)$ lese como "a novena tetración de 7", e $H_{123}(456,789)$ lese como "a 789a 123-ación de 456".

En termos comúns, as hiperoperacións son formas de combinar números que aumentan o crecemento en función da iteración da hiperoperación anterior. Os conceptos de sucesor, suma, multiplicación e potenciación son hiperoperacións; a operación sucesora (producindo x + 1 a partir de x ) é a máis primitiva, o operador de suma especifica o número de veces que 1 se debe engadir a si mesmo para producir un valor final, a multiplicación especifica o número de veces que se lle debe engadir un número a si mesmo, e a exponenciación refírese ao número de veces que se debe multiplicar un número por si mesmo.

Definición, mediante iteración

Defínese a iteración dunha función f de dúas variables como

$f^{x}(a,b)={\begin{cases}f(a,b)&{\text{if }}x=1\\f(a,f^{x-1}(a,b))&{\text{if }}x>1\end{cases}}$

A secuencia de hiperoperación pódese definir en termos de iteración, como segue. Para todos os números enteiros $x,n,a,b\geq 0,$ definir

${\begin{array}{lcl}H_{0}(a,b)&=&b+1\\H_{1}(a,0)&=&a\\H_{2}(a,0)&=&0\\H_{n+3}(a,0)&=&1\\H_{n+1}(a,b+1)&=&H_{n}^{b+1}(a,H_{n+1}(a,0))\\H_{n}^{x+2}(a,b)&=&H_{n}(a,H_{n}^{x+1}(a,b))\end{array}}$

Como a iteración é asociativa, a última liña pódese substituír por

${\begin{array}{lcl}H_{n}^{x+2}(a,b)&=&H_{n}^{x+1}(a,H_{n}(a,b))\end{array}}$

Exemplos

A continuación móstrase unha lista das sete primeiras hiperoperacións (da 0 á 6) ( ou 0⁰ defínese como 1).

n	Operación, Hn(a, b)	Definición	Nomes	Dominio
0	$1+b$ ou$a[0]b$	$1+\underbrace {1+1+1+\cdots +1+1+1} _{\displaystyle b{\mbox{ copias de 1}}}$	Incremento, succesor, hyper0	Arbitrario
1	$a+b$ ou $a[1]b$	$a+\underbrace {1+1+1+\cdots +1+1+1} _{\displaystyle b{\mbox{ copias de 1}}}$	Adicion, hyper1
2	$a\times {b}$ ou $a[2]b$	$\underbrace {a+a+a+\cdots +a+a+a} _{\displaystyle b{\mbox{ copias de }}a}$	Multiplicación, hyper2
3	$a^{b}$ ou $a[3]b$	$\underbrace {a\times a\times a\times \;\cdots \;\times a\times a\times a} _{\displaystyle b{\mbox{ copias de }}a}$	Potentiation, hyper3	b real, con algunas extensiones a determinados números complexos
4	$^{b}a$ ou $a[4]b$	$\underbrace {a[3](a[3](a[3](\cdots [3](a[3](a[3]a))\cdots )))} _{\displaystyle b{\mbox{ copias de }}a}$	Tetración, hyper4	a ≥ 0 ou enteiro, b un enteiro ≥ −1 (con algunhas propostas de extensión)
5	$_{b}a$ ou $a[5]b$	$\underbrace {a[4](a[4](a[4](\cdots [4](a[4](a[4]a))\cdots )))} _{\displaystyle b{\mbox{ copias de }}a}$	Pentación, hyper5	a, b enteiros ≥ −1
6	$a[6]b$	$\underbrace {a[5](a[5](a[5](\cdots [5](a[5](a[5]a))\cdots )))} _{\displaystyle b{\mbox{ copias de }}a}$	Hexación, hyper6

Casos especiais

H _n (0, b ) =

b + 1, cando n = 0

b, cando n = 1

0, cando n = 2

1, cando n = 3 e b = 0

0, cando n = 3 e b > 0

1, cando n > 3 e b é par (incluíndo 0)

0, cando n > 3 e b é impar

H _n (1, b ) =

b, cando n = 2

1, cando n ≥ 3

H _n ( a, 1) =

0, cando n = 2

1, cando n = 0, ou n ≥ 3

a, cando n = 1

H _n ( a, a ) =

a, cando n ≥ 2

H _n ( a, a ) =

H _n+1 ( a, 2), cando n ≥ 1

H _n ( a, −1) =

0, cando n = 0, ou n ≥ 4

a - 1, cando n = 1

− a, cando n = 2

${\frac {1}{a}}$, cando n = 3

H _n (2, 2) =

3, cando n = 0

4, cando n ≥ 1, facilmente demostrable recursivamente.

Notacións

Esta é unha lista de notacións que se utilizaron para hiperoperacións.

Nome	Notación equivalente a $H_{n}(a,b)$	Comentario
Notación de frecha cara arriba de Knuth	$a\uparrow ^{n-2}b$	Empregada por Knuth (para n ≥ 3), e aparece en moitos libros de referencia.
Notación de Hilbert	$\phi _{n}(a,b)$	Empregada por David Hilbert.
Notación de Goodstein	$G(n,a,b)$	Empregada por Reuben Goodstein.
A orixinal da Función de Ackermann	${\begin{matrix}\phi (a,b,n-1)\ {\text{ para }}1\leq n\leq 3\\\phi (a,b-1,n-1)\ {\text{ para }}n\geq 4\end{matrix}}$	Empregada por Wilhelm Ackermann (para n ≥ 1)
Función de Ackermann–Péter	$A(n,b-3)+3\ {\text{para }}a=2$	Para as hiperoperación de base a = 2
Notación de Nambiar	$a\otimes ^{n-1}b$	Empregada por Nambiar (para n ≥ 1)
Notación Superscript	$a{}^{(n)}b$	Empregada porRobert Munafo.
Notación de corchetes	$a[n]b$	Empregada por foros online; conveniente para ASCII.
Notación de frechas en cadena de Conway	$a\to b\to (n-2)$	Empregada por John Horton Conway (para n ≥ 3)

 

Véxase tamén

Bibliografía

• Ackermann, Wilhelm (1928). "Zum Hilbertschen Aufbau der reellen Zahlen". Mathematische Annalen 99: 118–133. doi:10.1007/BF01459088. 
• Bennett, Albert A. (Dec 1915). "Note on an Operation of the Third Grade". Annals of Mathematics. Second Series 17 (2): 74–75. JSTOR 2007124. doi:10.2307/2007124. 
• Bezem, Marc; Klop, Jan Willem; De Vrijer, Roel (2003). "First-order term rewriting systems". Term Rewriting Systems by "Terese". Cambridge University Press. pp. 38–39. ISBN 0-521-39115-6. 
• Black, Paul E. (2009-03-16). "Ackermann's function". Dictionary of Algorithms and Data Structures. U.S. National Institute of Standards and Technology (NIST). Consultado o 2021-08-29. 
• Campagnola, Manuel Lameiras; Moore, Cristopher; Félix Costa, José (Dec 2002). "Transfinite Ordinals in Recursive Number Theory". Journal of Complexity 18 (4): 977–1000. doi:10.1006/jcom.2002.0655. 
• Clenshaw, C.W.; Olver, F.W.J. (Apr 1984). "Beyond floating point". Journal of the ACM 31 (2): 319–328. doi:10.1145/62.322429. 
• Cornelius, B.J.; Kirby, G.H. (1975). "Depth of recursion and the ackermann function". BIT Numerical Mathematics 15 (2): 144–150. doi:10.1007/BF01932687. 
• Cowles, J.; Bailey, T. (1988-09-30). "Several Versions of Ackermann's Function". Dept. of Computer Science, University of Wyoming, Laramie, WY. Consultado o 2021-08-29. 
• Doner, John; Tarski, Alfred (1969). "An extended arithmetic of ordinal numbers". Fundamenta Mathematicae 65: 95–127. doi:10.4064/fm-65-1-95-127. 
• Friedman, Harvey M. (Jul 2001). "Long Finite Sequences". Journal of Combinatorial Theory. Series A 95 (1): 102–144. doi:10.1006/jcta.2000.3154. 
• Galidakis, I. N. (2003). "Mathematics". Arquivado dende o orixinal o April 20, 2009. Consultado o 2009-04-17. 
• Geisler, Daniel (2003). "What lies beyond exponentiation?". Consultado o 2009-04-17. 
• Goodstein, Reuben Louis (Dec 1947). "Transfinite Ordinals in Recursive Number Theory" (PDF). Journal of Symbolic Logic 12 (4): 123–129. JSTOR 2266486. doi:10.2307/2266486. 
• Hilbert, David (1926). "Über das Unendliche". Mathematische Annalen 95: 161–190. doi:10.1007/BF01206605. 
• Holmes, W. N. (Mar 1997). "Composite Arithmetic: Proposal for a New Standard". Computer 30 (3): 65–73. doi:10.1109/2.573666. Consultado o 2009-04-21. 
• Knuth, Donald Ervin (Dec 1976). "Mathematics and Computer Science: Coping with Finiteness". Science 194 (4271): 1235–1242. Bibcode:1976Sci...194.1235K. PMID 17797067. doi:10.1126/science.194.4271.1235. Consultado o 2009-04-21. 
• Littlewood, J. E. (July 1948). "Large Numbers". Mathematical Gazette 32 (300): 163–171. JSTOR 3609933. doi:10.2307/3609933. 
• Meyer, Albert R.; Ritchie, Dennis MacAlistair (1967). The complexity of loop programs. ACM '67: Proceedings of the 1967 22nd national conference. doi:10.1145/800196.806014. 
• Müller, Markus (1993). "Reihenalgebra" (PDF). Arquivado dende o orixinal (PDF) o 2013-12-02. Consultado o 2021-11-06. 
• Munafo, Robert (1999a). "Versions of Ackermann's Function". Large Numbers at MROB. Consultado o 2021-08-28. 
• Munafo, Robert (1999b). "Inventing New Operators and Functions". Large Numbers at MROB. Consultado o 2021-08-28. 
• Nambiar, K. K. (1995). "Ackermann Functions and Transfinite Ordinals". Applied Mathematics Letters 8 (6): 51–53. doi:10.1016/0893-9659(95)00084-4. 
• Perstein, Millard H. (1 June 1962). "Algorithm 93: General order arithmetic". Communications of the ACM (New York City: Association for Computing Machinery) 5 (6): 344. ISSN 0001-0782. doi:10.1145/367766.368160. 
• Pinkiewicz, T.; Holmes, N.; Jamil, T. (2000). "Design of a composite arithmetic unit for rational numbers". Proceedings of the IEEE Southeast Con 2000. 'Preparing for the New Millennium' (Cat. No.00CH37105). Proceedings of the IEEE. pp. 245–252. ISBN 0-7803-6312-4. doi:10.1109/SECON.2000.845571. 
• Robbins, A. J. (November 2005). "Home of Tetration". Arquivado dende o orixinal o 13 June 2015. Consultado o 2009-04-17. 
• Romerio, G. F. (2008-01-21). "Hyperoperations Terminology". Tetration Forum. Consultado o 2009-04-21. 
• Rubtsov, C. A.; Romerio, G. F. (December 2005). "Ackermann's Function and New Arithmetical Operation". Consultado o 2009-04-17. 
• Townsend, Adam (12 May 2016). "Names for large numbers". Chalkdust magazine. 
• Weisstein, Eric W. (2003). CRC concise encyclopedia of mathematics, 2nd Edition. CRC Press. pp. 127–128. ISBN 1-58488-347-2. 
• Wirz, Marc (1999). "Characterizing the Grzegorczyk hierarchy by safe recursion" (PDF). Bern: Institut für Informatik und angewandte Mathematik. 
• Zimmermann, R. (1997). "Computer Arithmetic: Principles, Architectures, and VLSI Design" (PDF). Lecture notes, Integrated Systems Laboratory, ETH Zürich. Arquivado dende o orixinal (PDF) o 2013-08-17. Consultado o 2009-04-17. 
• Zwillinger, Daniel (2002). CRC standard mathematical tables and formulae, 31st Edition. CRC Press. p. 4. ISBN 1-58488-291-3. 

Outros artigos

• Pentación.