Saltar ao contido

Pentación

Na Galipedia, a Wikipedia en galego.
Os primeiros tres valores da expresión x[5]2. O valor de 3[5]2 é ao redor de 7.626 × 1012; os resultados para valores de x maiores son demasiado grandes para aparecer na gráfica.

En matemáticas, a pentación é a hiperoperación que lle segue á tetración e é anterior á hexación. Defínese como a iteración (repetición) de tetracións, tal e como a tetración é a iteración da potenciación.[1] É unha operación binaria definida con dous números a e b, onde a é «tetrado» a si mesmo b veces. Por exemplo, empregando a notación de hiperoperación para a pentación e tetración, quere dicir «tetrar» 2 a si mesmo 3 veces, ou . Isto pódese reducir a

Etimoloxía

[editar | editar a fonte]

A palabra «pentación» foi acuñada por Reuben Goodstein en 1947 das raíces penta- (cinco) e iteración. É parte do esquema xeral para nomear as hiperoperacións.[2]

Notación

[editar | editar a fonte]

Non existe un consenso xeral para a notación da pentación; polo tanto existen varias maneiras de escribir a operación. Unhas úsanse máis que outras e existen distintas vantaxes entre unha e outra forma de uso.

  • A pentación pódese escribir como unha hiperoperación como . Neste formato, pode ser interpretado como o resultado de aplicar repetidamente a función , por repeticións, comezando co número 1. De forma análoga, , a tetración, representa o valor obtido ao aplicar repetidamente a función , por repeticións, comezando co número 1, e a pentación representa o valor obtido ao aplicar repetidamente a función , por repeticións, comezando co número 1.[3] Esta será a notación usada no resto do artigo
  • Na notación frecha de Knuth, represéntase como ou . Nesta notación, representa á función potenciación e representa á tetración. A operación pódese adaptar facilmente a hexación engadindo outra frecha.
  • Na notación de cadea de Conway, .[4]
  • Outra notación proposta é , aínda que esta non é extensible a hiperoperacións de maior orde.[5]

Os valores da función de pentación tamén poden ser obtidos dos valores na cuarta fila de valores nunha variante da función de Ackermann: se defínese como a recorrencia de Ackermann coas condicións iniciais e , entón .[6]

Como a tetración, a súa operación base, non se estende a alturas non enteiras, a pentación actualmente só está ben definida para valores enteiros de a e b onde e , e uns poucos valores enteiros adicionais que poderían estar unicamente definidos. Como todas as hiperoperacións de orde 3 e maior, a pentación ten os seguintes casos triviais (identidades) que son verdadeiros para todos os valores de a e b no seu dominio:

Adicionalmente, pódense definir:

Ademais dos casos triviais arriba expostos, a pentación xera números extremadamente grandes moi rápidamente tal que só hai uns poucos casos non-triviais que producen números que poden ser escritos na notación convencional, como se mostra a continuación:

  • (unha torre de 65536 expoñentes de altura)
  • (unha torre de 7.625.597.484.987 expoñentes de altura)
  • (un número con máis de díxitos)
  • (un número con máis de díxitos)
  1. Oettinger, Anthony G.; Aiken, Howard. "Retiring computer pioneer—" 5 (6): 298–299. ISSN 0001-0782. doi:10.1145/367766.367776. Consultado o 8 de marzo de 2019. 
  2. "Transfinite Ordinals in Recursive Number Theory" 12 (4). 2 de xullo de 2007: 123–129. ISSN 0022-4812. Consultado o 8 de marzo de 2019. 
  3. "Mathematics and Computer Science: Coping with Finiteness" 194 (4271). 17 de decembro de 1976: 1235–1242. ISSN 0036-8075. PMID 17797067. doi:10.1126/science.194.4271.1235. Consultado o 8 de marzo de 2019. 
  4. Conway, John Horton. The Book of Numbers. .
  5. "Copia archivada". Arquivado dende o orixinal o 06 de maio de 2021. Consultado o 8 de marzo de 2019. 
  6. Nambiar, K. K. (1995). "Ackermann functions and transfinite ordinals" 8 (6). Nueva Delhi: 51–53. Consultado o 7 de marzo de 2019. l

Véxase tamén

[editar | editar a fonte]

Outros artigos

[editar | editar a fonte]