Función exponencial

A función exponencial, é coñecida formalmente como a función e^x, onde e é o número de Euler; esta función ten por dominio de definición o conxunto dos números reais, e ten a particularidade de que a súa derivada é a mesma función. Denótase equivalentemente como f(x)=e^x ou exp(x), onde e é a base dos logaritmos naturais e corresponde á función inversa do logaritmo neperiano.

En termos moita máis xerais, unha función real E(x) dise que é do tipo exponencial en base a se ten a forma

$E(x)=K\cdot a^{x}$

sendo a, K ∈ R números reais, con a > 0, a ≠ 1. Deste xeito obtense un conxunto de exponenciais, todas elas similares, que dependen da base a que utilicen.

Definicións

A función exponencial e^x pode definirse de diversos xeitos equivalentes entre eles, como unha serie infinita ou como un límite dunha sucesión. En particular pode ser definida como unha serie de potencias:

$e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{x^{n} \over n!}=1+x+{x^{2} \over 2!}+{x^{3} \over 3!}+{x^{4} \over 4!}+\ldots$

ou como o límite da sucesión:

$e^{x}=\lim _{n\to \infty }\left(1+{x \over n}\right)^{n}$

$x=\int _{1}^{y}{1 \over t}\mathrm {d} t$

Propiedades

A función exponencial (e exponenciais en base distinta a e) satisfán as seguintes propiedades xerais:

• Son as únicas funcións que son iguais á súa derivada (multiplicada por unha constante, no caso de que teñan unha base distinta a e)
• $\exp(x+y)=\exp(x)\cdot \exp(y)$
• $\exp(x-y)=\exp(x)/\exp(y)\,$
• $\exp(-x)={1 \over \exp(x)}$
• $\exp(0)=1\,$

Derivada

A importancia das funcións exponenciais en matemáticas e ciencias radica principalmente nas propiedades da súa derivada. En particular,

${d \over dx}e^{x}=e^{x}$

é dicir, e^x é a súa propia derivada. É a única función con esa propiedade (sen considerar a multiplicación da función exponencial por unha constante).

Outras formas de expresar o anterior son:

• a pendente do gráfico en calquera punto é a altura da función nese punto.
• a razón de aumento da función en x é igual ao valor da función en x.
• a función é solución da ecuación diferencial $y'=y$.

Se a base da función exponencial é calquera número real a maior que 0, entón a súa derivada pode xeneralizarse así:

${d \over dx}a^{x}=a^{x}\cdot \ln(a)$

onde a función ln(a) é o logaritmo neperiano de a. No caso particular de a = e resulta que ln(e) = 1 e polo tanto $\textstyle {d \over dx}e^{x}=e^{x}$.

Función exponencial complexa

Gráfico da parte real dunha función exponencial no campo dos complexos
$z=\operatorname {Re} \left(\exp \left(x+iy\right)\right)$

Como no caso real, a función exponencial pode ser definida como unha función holomorfa no plano complexo de diferentes xeitos. Algunhas delas son simples extensións das fórmulas que se utilizan para definila no dominio dos números reais. Especificamente, a forma máis usual de definila para o dominio dos números complexos é mediante a serie de potencias, onde o valor real x se substitúe pola variable complexa z:

$e^{z}=\sum _{n=0}^{\infty }{z^{n} \over n!}$

para valores imaxinarios puros cúmprese a identidade

$e^{i\cdot t}=\cos t+i\cdot \sin t$,

no que un caso particular é a identidade de Euler, que relaciona números tan importantes como o un, o cero, o número e, o número pi e a unidade imaxinaria.

Empregando a identidade anterior, onde agora z=x+yi, con x e y números reais, obtense unha definición equivalente á primeira,

$e^{z}=e^{x+yi}=e^{x}\cdot (\cos y+i\,\sin y)$

ecuación que mostra que esta función, ademais de ser holomorfa, é periódica, con período para a parte imaxinaria de $2\pi i$.

Véxase tamén

Bibliografía

• Abramowitz, M. e Stegun, I. A.. Exponential Function. §4.2 en Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 9th printing. Nova York: Dover, pp. 69–71, 1972. (en inglés)
• Ahlfors, Lars. Complex Analysis: an Introduction to the Theory of Analytic Functions of One Complex Variable (1953, 1966, 1979) (ISBN 0-07-000657-1) (en inglés)
• Apostol, T. M., Calculus. Tomo I. Cálculo con funcións de una variable, con unha introducción al Álgebra lineal. Editorial Reverte, 2005 ISBN 84-291-5002-1. (en castelán)
• Courant, Richard e Fritz, John. Introducción al cálculo y al análisis matemático Vol.I. Editorial Limusa,1999. ISBN 968-18-0639-5. (en castelán)

Outros artigos

• Número e
• Logaritmo neperiano
• Exponenciación

Ligazóns externas

• Exponential function
• Taylor Series Expansions of Exponential Functions en efunda.com.
• Complex exponential interactive graphic.
• Derivative of exponential function interactive graph.