Experimento de Melde

Modelo do experimento de Melde: un pulsador eléctrico, unido a un cable, conduce a unha polea que soporta unha masa que causa tensión; cada nodo é propio da onda estacionaria.

O experimento de Melde é un experimento científico realizado polo físico alemán Franz Melde sobre as ondas estacionarias producidas nun cable tenso unido a un pulsador eléctrico. Este experimento puido demostrar que as ondas mecánicas experimentan fenómenos de interferencia. Ondas mecánicas viaxando en sentido contrario forman puntos inmóbiles, denominadas nodos. Estas ondas foron denominadas estacionarias por Melde xa que a posición dos nodos e os ventres (puntos de vibración) permanece estática.

Historia

James Clerk Maxwell, físico inglés pioneiro nas investigacións sobre a radiación electromagnética e investigador do fenómeno ondulatorio.

Os fenómenos ondulatorios na natureza foron investigados durante séculos, sendo algúns deles algúns dos temas máis controvertidos da historia da ciencia, tal é o caso da natureza ondulatoria da luz. A luz fora descrita por Isaac Newton no século XVII por medio dunha teoría corpuscular. Posteriormente, o físico inglés Thomas Young, contrastou as teorías de Newton, no século XVIII, e estableceu as bases científicas que sustentan as teorías sobre as ondas. A finais do século XIX, no auxe da segunda revolución industrial, a entrada da electricidade como tecnoloxía da época brindou unha nova achega ás teorías sobre as ondas. Este adianto permitiu a Franz Melde recoñecer o fenómeno de interferencia das ondas e a formación das ondas estacionarias. Máis tarde, no século XIX, o físico inglés James Clerk Maxwell, nos seus estudos da natureza ondulatoria da luz, puido expresar nunha linguaxe matemática as ondas e o espectro electromagnético.

Principio

Ondas estacionarias, cada punto inmóbil representa un nodo.

As ondas transversais mecánicas producidas nunha corda impulsadas por un vibrador eléctrico, viaxan a unha polea que conduce ao outro extremo do mesmo, onde é producida unha determinada tensión sobre o cable. Ao atoparse ambas ondas viaxando en direccións opostas prodúcese un fenómeno de interferencia de ondas. Ao tensarse apropiadamente a corda, mantendo a distancia entre o pulsador eléctrico e a polea, prodúcense ondas estacionarias, nas cales existen puntos da súa traxectoria denominados nodos que permanecen inmóbiles.

Análise teórica

O principio que Melde empregou no seu experimento considerou a suposición de que unha corda ten un peso desprezable. Franz estableceu que debido á curvatura do cable, as forzas en realidade non son directamente opostas.

Melde supuxo dúas situacións que sucedían nos eixes x e y. El suxeriu que no eixe x non hai desprazamento da porción da corda e estableceu a seguinte relación:

$T'_{x}=T_{x}\,$

No eixe y, porén, descompuxo vectorialmente as forzas en función do ángulo producido polas mesmas no lado da curvatura, obtendo estas relacións:

$T'_{y}=Tsen\alpha '\,$

$T'_{y}=-Tsen\alpha \,$

Esquema do experimento de Melde mostrando un cable e a descomposición vectorial das forzas actuantes sobre el.

Franz estableceu que a forza resultante na porción ${\overline {AB}}\,$ é:

$F_{y}=T(sen\alpha '-sen\alpha )\,$ ;

porén Melde suxeriu que estes ángulos poden ser pequenos na análise polo que reformulou a expresión anterior en termos da tanxente do ángulo.

$F_{y}=T(tg\alpha '-tg\alpha )\,$

A partir dunha análise matemático desta ecuación, Franz estableceu que ocorría un troco no ángulo a medida que a onda continuaba co seu percorrido polo que estableceu:

$F_{y}=T\Delta (tg\alpha )\,$

Melde reformulou esta última expresión en base a termos de diferenciais para obter unha aproximación máis precisa achegada a casos reais.

$F_{y}=T{\partial \over \partial x}tg(\alpha )dx\,$

Melde cambiou o parámetro do ángulo en base á súa dependencia funcional con respecto á posición e o tempo. Polo que estableceu que a tanxente do ángulo dependería da diferencial dunha altura $\xi \,$ con respecto á diferencial da posición $x\,$.

$tg\alpha \rightarrow f(x,t)\,$

$tg\alpha ={\partial \xi \over \partial x}\,$

Mediante o cálculo diferencial, Franz Melde estableceu que a forza dependía da tensión e da diferencial parcial de segunda orde da altura da onda $\xi \,$ con respecto á posición.

$F_{y}=T{\partial ^{2}\xi \over \partial x^{2}}dx\,$

En base á segunda lei de Newton da mecánica clásica, Melde introduciu o parámetro da densidade lineal e formulou esta ecuación:

$\rho dx{\partial ^{2}\xi \over \partial t^{2}}=T{\partial ^{2}\xi \over \partial x^{2}}dx\,$, que resolvendo se obtén,

${\partial ^{2}\xi \over \partial t^{2}}={T \over \rho }{\partial ^{2}\xi \over \partial x^{2}}\,$

Melde comparou esta última expresión coa definición da velocidade en base a diferenciais do cálculo de Newton e mediante un axuste estableceu a dependencia da velocidade da onda estacionaria con respecto á tensión aplicada e a densidade lineal.

${\partial ^{2}\xi \over \partial t^{2}}={T \over \rho }{\partial ^{2}\xi \over \partial x^{2}}\,$

${\partial ^{2}\xi \over \partial t^{2}}=v^{2}{\partial ^{2}\xi \over \partial x^{2}}\,$

$v={\sqrt {T \over \rho }}\,$

Finalmente, á derradeira ecuación a denominou velocidade da onda estacionaria, e en base a cálculos alxébricos estableceu a velocidade en función: da frecuencia $\nu \,$, da lonxitude de onda $\lambda \,$ e da tensión aplicada sobre o cable que serve de medio de condución da onda.

$v=\nu \lambda \,$

$T=\rho \nu ^{2}\lambda ^{2}\,$

Demostración experimental

Nas condicións existentes ao interior dun laboratorio é posible reproducir o experimento de Melde e confirmar o que se puido demostrar no século XIX. A corrente eléctrica doméstica posúe unha frecuencia de 50 Hz. Un observador agudo podería predicir que esta é a mesma frecuencia que experimentarían as ondas estacionarias. Con todo, Melde correctamente supuxo que estas ondas sofren unha interferencia ao momento de atoparse cando ambas viaxan en dúas direccións, polo que esta frecuencia inicial é alterada case ao dobre.

Un exemplo deste experimento foi realizado nos laboratorios de Física da UNMSM, no ano 2006. E os resultados reportados foron os seguintes.

Cantidade de crestas producidas	Tensión (N)	Lonxitude de onda $\lambda \,$ (m)	Lonxitude de onda elevada ó cadrado $\lambda ^{2}\,$ (m²)
3	4,89	1,17	1,37
4	2,93	0,94	0,88
5	1,46	0,72	0,52
6	0,68	0,6	0,36
7	0,48	0,52	0,27
8	0,20	0,47	0,22

O termo da densidade lineal que se empregou no experimento foi de 2,84 \times 10@^4} {kg \over m}.

Gráfica da dependencia de tensión-lonxitude de onda, a distribución proxectada é de natureza cadrática.

Análise gráfico

Unha forma moi útil que se empregou durante o estudo das ondas estacionarias por Melde foi a análise das gráficas que se producen ao rexistrar os datos. Dado que as rectas ou curvas obtidas nunha gráfica poden predicir o comportamento dun fenómeno, este foi o método que se utilizou para coñecer a frecuencia das ondas oscilatorias.

Dependencia de tensión-lonxitude de onda

A gráfica producida na distribución dos datos de tensión con respecto da lonxitude de onda, é similar a unha parábola. Melde puido demostrar que a relación existente entre a tensión e a lonxitude de onda é de natureza cadrática. Deste xeito estableceu que así se presenta o comportamento da frecuencia nas ondas estacionarias.

Dependencia de tensión-lonxitude de onda ao cadrado

As curvas e trazos, son moi útiles para poder recoñecer o comportamento dun fenómeno da natureza, pero os científicos prefiren empregar exclusivamente as rectas na predición dun fenómeno dado que é posible predicir cal ou que punto, será o que virá.

Un exemplo diso foi a interpretación da recta a partir da curva que obtiveron os científicos Leonor Michaelis e Maud Menten nos anos 1910 cando estudaron a cinética das reaccións bioquímicas.

Gráfica da función linear producida da distribución da tensión con respecto do cadrado da lonxitude de onda.

Melde atopou que, mediante o método de aproximación de mínimos cadrados aplicado na distribución de función linear da tensión-lonxitude de onda, era posible coñecer e predicir mediante a pendente desa recta o valor da frecuencia. Na pendente xa estaban incluídos de forma estatística, os fenómenos producidos pola tensión aplicada no cable e as ondas provocadas polo pulsador eléctrico, en consecuencia, unha descrición matemática de todo o fenómeno; o mesmo que el puido predicir nos seus cálculos teóricos.

Frecuencia das ondas estacionarias

Ao ser empregada a aproximación de mínimos cadrados no experimento de Melde en base aos datos reportados polas lonxitudes de onda e a tensión, pódese establecer que a ecuación da recta que goberna este modelo para este caso específico é a seguinte:

$f(x)=4.0826x-0.6898\,$

Como o valor que acompaña á variable $x\,$ representa o valor da pendente dunha recta, que neste caso non pasa pola orixe do sistema de coordenadas, é posible coñecer a frecuencia da onda, a partir dea relación que predixo Melde en base ao cálculo diferencial.

Se a relación tensión e lonxitude de onda ao cadrado expresada pola pendente da recta é;

$m={T \over \lambda ^{2}}$

$T=\lambda ^{2}m\,$

entón, emprazada na relación de Melde

$\nu ={1 \over \lambda }{\sqrt {T \over \rho }}$

é posible reformular a expresión de Melde en base á pendente dunha recta (m) obtida mediante o axuste de mínimos cadrados.

$\nu ={\sqrt {m \over \rho }}$

Polo tanto pódese coñecer a frecuencia dunha onda estacionaria no experimento de Melde, coñecendo o valor da pendente e do termo da densidade lineal. En base a eses cálculos pódese predicir o seu valor. (Respectando as unidades do Sistema internacional).

$\nu ={\sqrt {4.0826kg{m \over s^{2}} \over 2.84\times 10^{-4}{kg \over m}}}=119.897Hz$

Con este resultado queda demostrado que Melde estaba no certo ao sospeitar que a frecuencia vese alterada cando sucede o fenómeno da interferencia de ondas. Ademais este valor é case o duplo da frecuencia da corrente eléctrica doméstica.

Influencia do experimento de Melde na actualidade

Aínda que o experimento de Melde permitiu o recoñecemento e estudo das ondas estacionarias, iso non quedou limitado a ese campo. As ondas estacionarias son un fenómeno con implicacións moi importantes no campo da acústica e o fenómeno da reflexión e interferencia construtiva das ondas.

Sonar

Artigo principal: Sonar

Ondas estacionarias producidas ao encontro de dous pulsos sónicos que se atopan.

O sonar (acrónimo de Sound Navigation And Ranging) é, basicamente, un sistema de navegación e localización similar ao radar pero que, en troques de emitir sinais de radiofrecuencia, emite impulsos ultrasónicos. O transmisor emite un haz de impulsos ultrasónicos a través do emisor. Cando chocan cun obxecto, os impulsos reflíctense e forman un sinal de eco (onda estacionaria) que é captada polo receptor.

Algúns animais posúen un sonar natural como é o caso dos golfiños. Estes utilízano para orientarse en augas turbias e cazar con seguridade.

Os morcegos utilízano para orientarse e cazar na escuridade, emitindo vibracións ultrasónicas curtas que se reflicten nas paredes da cova ou lugar no que se atopen ou na súa presa.

Aínda que os animais non posúen un sistema instrumental que permita localizar os nodos ou anti-nodos, os seus órganos biolóxicos poden distinguir as ondas estacionarias e así guiarse durante a noite ou na profundidade do mar.

Ecografía

Artigo principal: Ecografía

Taboleiro dun aparello de ecografía, na pantalla pódese distinguir un feto.

A ecografía é un procedemento de radioloxía que emprega os ecos dunha emisión de ultrasóns dirixida sobre un corpo ou obxecto como fonte de datos para formar unha imaxe dos órganos ou masas internas con fins de diagnóstico. Un pequeno instrumento similar a un micrófono chamado transdutor emite ondas de ultrasóns. Estas ondas sonoras de alta frecuencia transmítense cara a área do corpo baixo estudo, e recíbese o seu eco. O transdutor recolle o eco das ondas sonoras (fenómeno das ondas estacionarias) e unha computadora converte este eco nunha imaxe que aparece na pantalla da computadora.

A ecografía é un procedemento moi sinxelo, no que non se emprega radiación, e non se limita ao campo da obstetricia, tamén pode detectar tumores no fígado, vesícula biliar, páncreas e ata no interior do abdome.

Telecomunicacións

Artigo principal: Telecomunicacións

Ao realizarse unha transmisión de televisión ou unha comunicación radial ou telefónica, prodúcense as ondas estacionarias. As radiofrecuencias de televisión, aparellos de fax, telefonía móbil, e transmisións satelitais prodúcense no campo electromagnético. A radiación electromagnética é unha combinación de campos eléctricos e magnéticos oscilantes e perpendiculares entre si que se propagan a través do espazo transportando enerxía dun lugar a outro. Cada punto onde ambas ondas atópanse representa un nodo. Esta superposición de ondas xera un efecto de ondas estacionarias.

Música

Artigo principal: Instrumento de vento

Teclado dun órgano da Basílica de San Martín en Alemaña: á beira das teclas, pódense ver os interruptores do paso de aire para cada tubo.

Os tubos de cana ou doutras plantas de tronco oco, constituíron os primeiros instrumentos musicais. Emitían son soprando por un extremo. O aire contido no tubo entraba en vibración emitindo un son.

As versións modernas destes instrumentos de vento son as frautas, as trompetas e os clarinetes, todos eles desenvolvidos de forma que o intérprete produza moitas notas dentro dunha ampla gama de frecuencias acústicas.

Ao interior do tubo dun órgano, o aire transfórmase nun chorro na fenda entre a alma (unha placa transversal ao tubo) e o beizo inferior. O chorro de aire interacciona coa columna de aire contida no tubo. As ondas que se propagan ao longo da corrente turbulenta manteñen unha oscilación uniforme, producindo ondas estacionarias na columna de aire, facendo que o tubo produza son.

Véxase tamén

Notas

• Jerry D. Wilson, Anthony J. Buffa (2005), College Physics, Prentice Hall. ISBN 0-1306-7644-6.
• Francis Weston Sears, Hugh D. Young, Mark W. Zemansky (1991), College Physics, Prentice Hall. ISBN 0-2011-7285-2.
• Raymond A. Serway, Jerry S. Faughn, Charles A. Bennett, Chris Vuille (2005), College Physics, Thompson. ISBN 0-5349-9723-6.
• Georg Joos, Ira M. Freeman (1987), Theoretical Physics, Dover Publications. ISBN 0-4866-5227-0.
• Stan Gibilisco (2002), Physics Demystified: A Self-Teaching Guide, The McGraw-Hill Companies. ISBN 0-0713-8201-1.
• John D. Cutnell, Kenneth W. Johnson (2003), Physics Volume 1, Sixth Edition, Wiley, John & Sons, Incorporated. ISBN 0-4712-0940-6.
• Douglas C. Giancoli (2004), Physics: Principles with Applications, Prentice Hall. ISBN 0-1306-0620-0.
• Michael Browne (1999), Schaum's Outline of Physics for Engineering & Science, The McGraw-Hill Companies. ISBN 0-0700-8498-X.
• Paul G. Hewitt (2005), Conceptual Physics, Pearson Education. ISBN 0-8053-9190-8.
• Frederick J. Bueche, Eugene Hecht (2005), Schaum's Outline of College Physics, The McGraw-Hill Companies. ISBN 0-0714-4814-4.
• David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker (2004), Fundamentals of Physics, Vol. 2, Wiley, John & Sons, Incorporated. ISBN 0-4714-2960-0.
• Paul E. Tippens (2005), Physics, The McGraw-Hill Companies. ISBN 0-0732-2270-4.

Outros artigos

• Onda estacionaria
• Onda mecánica
• Onda transversal
• Radiación electromagnética