Distribución Weibull

Na Galipedia, a Wikipedia en galego.
Weibull
Función de densidade

Función de distribución
Parámetros \lambda>0\, escala (real)
k>0\, forma (real)
Soporte x \in [0; +\infty)\,
pdf (k/\lambda) (x/\lambda)^{(k-1)} e^{-(x/\lambda)^k}
cdf 1- e^{-(x/\lambda)^k}
Media \mu=\lambda \Gamma(1+1/k)\,
Mediana \lambda\ln(2)^{1/k}\,
Moda
Varianza \sigma^2=\lambda^2\Gamma(1+2/k) - \mu^2\,
Asimetría \frac{\Gamma(1+3/k)\lambda^3-3\mu\sigma^2-\mu^3}{\sigma^3}
Curtose
Entropía \gamma\left(1\!-\!\frac{1}{k}\right)+\left(\frac{\lambda}{k}\right)^k
+\ln\left(\frac{\lambda}{k}\right)
mgf
Func. caract.

Na Teoría de probabilidade e na estatística, a Distribución Weibull (chamada así por Waloddi Weibull) é unha función de distribución de probabilidade continua con función densidade de probabilidade

 f(x;k,\lambda) = (k/\lambda) (x/\lambda)^{(k-1)} e^{-(x/\lambda)^k}\,

onde x \geq0 e k >0 é o parámetro de forma e \lambda >0 é o parámetro de escala da distribución.

A función de densidade está definida como

F(x;k,\lambda) = 1- e^{-(x/\lambda)^k}\,

onde de novo x >0.

As distribucións Weibull úsanse a miudo para modelar o tempo entre fallos de equipos. Se a velocidade de fallo do equipo decrecenta co tempo, escóllese un k<1 (resultando unha densidade decrecente f). Se a velocidade de fallo do equipo é constante co tempo, escóllese k=1, resultando de novo nunha función decrecetnte f. Se a velocidade de fallo do equipo increméntase co tempo, escóllese un k>1 é obtense unha densidade f a cal incrementase ata un máximo e logo decreméntase sempre. Os construtores de equipos acostuman subministrar os parámetros de forma e escala para a distribución de vida útil dos equipos. A distribución Weibull tamén se acostuma utilizar para modelar a velocidade de vento nunha zona concreta da Terra. De novo, cada zona está caracterizada polos seus parámetros de escala e forma.

Propiedades[editar | editar a fonte]

O momento de orde n ven dado por:

m_n = \lambda^n \Gamma(1+n/k)\,

onde \Gamma é a Función Gamma. O valor esperado é o desvío estándar dunha variable aleatoria Weibull pode expresarse como:

\textrm{E}(X) = \lambda \Gamma(1+1/k)\,

e

\textrm{var}(X) = \lambda^2[\Gamma(1+2/k) - \Gamma^2(1+1/k)]\,

Xeración de variables aleatorias Weibull[editar | editar a fonte]

Dada unha variable aleatoria U derivada dunha distribución uniforme no intervalo (0, 1], entón a variable

X=\lambda (-\ln(U))^{1/k}\,

ten unha distribución Weibull con parámetros k e λ. Isto ven dado da forma da función de distribución da variable.

Distribucións relacionadas[editar | editar a fonte]

Usos[editar | editar a fonte]

A distribución Weibull úsase a miudo no sitio da distribución Normal debido ó feito de que unha variable Weibull pode xerarse mediante inversión, mentres que as variables normales xéranse tipicamente utilizando o método Box-Muller, que requiere duas variables aleatorias uniformes. As distribucións Weibull tamén se poden utilizar para representar tempos de entrega e proceso en problemas de enxeñería industrial.

Ligazóns externas[editar | editar a fonte]