Desvío estándar

En probabilidade e estatística, o desvío estándar é a medida máis común de dispersión. Dito de xeito sinxelo, mide qué tan dispersos están os valores en unha colección de datos.

O desvío estándar está definida como a raíz cadrada da varianza. Defínese de esta maneira para darnos unha medida da dispersión que é (1) un número non negativo e (2) ten as mesmas unidades que os datos.

O termo desvío estándar foi introducido en estatística por Karl Pearson en 1894.

[editar] Interpretación e aplicación

O desvío estándar é unha medida do grao de dispersión dos datos do valor promedio. Dito de otra maneira, o desvío estándar é simplemente o "promedio" ou variación esperada con respecto da media aritmética.

Un desvío estándar grande indica que os puntos están lonxe da media e un desvío pequeno indica que os datos están agrupados cerca da media.

Por exemplo, as tres mostras (0, 0, 14, 14), (0, 6, 8, 14) e (6, 6, 8, 8) cada unha teñen unha media de 7. Os seus desvíos estándar son 7, 5 e 1, respectivamente. A terceira mostra ten un desvío moito menor que as outras duas porque os seus valores están máis cerca de 7.

O desvío estándar pode ser interpretada como unha medida de incertidume. O desvío estándar de un grupo repetido de medidas danos a precisión de estas. Cando se vai determinar se un grupo de medidas está de acordo co modelo teórico, o desvío estándar desas medidas é de vital importancia: se a media das medidas está demasiado alonxada da predición (coa distancia medida en desvíos estándar), entón consideramos que as medidas contradicen a teoría. Isto é de esperarse xa que as medicións caen fora do rango de valores dos cuales sería razoable esperar que ocurreran se o modelo teórico fora correcto.

[editar] Desglose

O desvío estándar (DS/DE), tamén coñecida como desvío típico, é unha medida de dispersión usada en estatística que nos dice cánto tenden a alonxarse os valores puntuales do promedio nunha distribución. De feito, especificamente o desvío estándar é "o promedio da distancia de cada punto respecto do promedio". Sóese representar por unha S ou coa letra sigma, $\sigma^{}_{}$ .

O desvío estándar dun conxunto de datos é unha medida de cánto se desvían os datos da súa media. Esta medida é máis estable que o percorrido e toma en consideración o valor de cada dato.

É posible calcular o desvío estándar como a raíz cadrada da integral

${\sigma}^2 = \int_{-\infty}^\infty {(x - \mu)}^2 f(x) dx$

onde

$\mu = \int_{-\infty}^\infty x f(x) dx$

A DS é a raíz cadrada da varianza da distribución

$\sigma^2 = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \left( x_i - \overline{x} \right) ^ 2$

Así a varianza é a media dos cadrados das diferencias entre cada valor da variable e a media aritmética da distribución.

Aínda que esta fórmula é correcta, na práctica interesa realizar inferencias poboacionais, polo que no denominador en vez de n, úsase n-1 (Corrección de Bessel)

$s^2 = \frac{ \sum_{i=1}^n \left( x_i - \overline{x} \right) ^ 2 }{n-1}$

Tamén temos outra función máis sinxela de realizar e con menos risco de ter equivocacións:

$s^2 = \frac{ \sum_{i=1}^n x_i^2 }{n-1} - \overline{x}^2$

[editar] Exemplo

Aquí móstrase cómo calcular o desvío estándar de un conxunto de datos. Os datos representan a idade dos membros de un grupo de nenos. { 5, 6, 8, 9 }

1. Calcular o promedio $\overline{x}$ .

$\overline{x}=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N x_i$ .

Neste caso, N = 4 porque temos catro datos:

$x_1 = 5\,\!$

$x_2 = 6\,\!$

$x_3 = 8\,\!$

$x_4 = 9\,\!$

$\overline{x}=\frac{1}{4}\sum_{i=1}^4 x_i$ Sustituindo N por 4

$\overline{x}=\frac{1}{4} \left ( x_1 + x_2 + x_3 +x_4 \right )$

$\overline{x}=\frac{1}{4} \left ( 5 + 6 + 8 + 9 \right )$

$\overline{x}= 7$ Este é o promedio.

2. Calcular o desvío estándar $\sigma\,\!$

$\sigma = \sqrt{\frac{1}{N} \sum_{i=1}^N (x_i - \overline{x})^2}$

$\sigma = \sqrt{\frac{1}{4} \sum_{i=1}^4 (x_i - \overline{x})^2}$ Sustituindo N por 4

$\sigma = \sqrt{\frac{1}{4} \sum_{i=1}^4 (x_i - 7)^2}$ Sustituindo $\overline{x}$ por 7

$\sigma = \sqrt{\frac{1}{8} \left [ (4.589-4.596)^2 + (4.318-4.596)^2 + (4.256-4.596)^2 + (4.624-4.596)^2+(4.903-4.596)^2+(4.867-4.596)^2+(4.420-4.596)^2 +(4.790-4.596)^2\right ] }$