Área

Na Galipedia, a Wikipedia en galego.

Área é a extensión ou superficie comprendida dentro dunha figura (de dúas dimensións), expresada en unidades de medida denominadas superficiais. Para superficies planas o concepto é intuitivo. Calquera superficie plana de lados rectos pode triangularse e pódese calcular a súa área como suma de triángulos.

Con todo, para calcular a área de superficies curvas requírese introducir métodos de xeometría diferencial.

Para poder definir a área dunha superficie en xeral, que é un concepto métrico, tense que definir un tensor métrico sobre a superficie en cuestión: cando a superficie está dentro dun espazo euclídeo, a superficie herda unha estrutura métrica natural inducida pola métrica euclídea.

Índice

1 Historia
2 Área de figuras planas
3 Área de superficies curvas
- 3.1 Superficie de revolución
- 3.2 Cálculo xeral de áreas
4 Unidades de medida de superficies
- 4.1 Sistema métrico (SI)
- 4.2 Sistema inglés de medidas
5 Referencias
- 5.1 Bibliografía

[editar] Historia

A idea de que a área é a medida que proporciona o tamaño da rexión encerrada nunha figura xeométrica provén da antiguedad. No Antigo Exipto, tras a crecida anual de río Nilo inundadando os campos, xorde necesidade de calcular a área de cada parcela agrícola para restablecer os seus límites; para liquidar iso, os exipcios inventaron a xeometría, segundo Heródoto.Heródoto Historias, Libro II.

O modo de calcular a área dun polígono como a suma das áreas dos triángulos, é un método que foi proposto por primeira vez polo sabio grego Antifón cara ao ano 430 a. C. Achar a área dunha figura curva entraña máis dificultade. O método de esgotamento consiste en inscribir e circunscribir polígonos na figura xeométrica, aumentar o número de lados de devanditos polígonos e achar a área buscada. Con este sistema, que se coñece como método de exhaución de Eudoxo, conseguiu achar a fórmula para calcular a área dun círculo. Devandito sistema foi empregado tempo despois por Arquímedes para resolver outros problemas similares: o problema da área así como o cálculo aproximado do número π.

[editar] Área de figuras planas

[editar] Área dun triángulo

A área de un triángulo calcúlase mediante a seguinte fórmula:^[1]

$A =\frac{l\cdot h}{2}$

onde l é calquera dos lados e h es la altura correspondente a ese lado.

Se o triángulo es rectángulo, a altura coincide cun dos catetos, e a fórmula quedaría da seguinte forma:

$A =\frac{a\cdot b}{2}$

onde a e b son os catetos.

Se o que coñecemos é a lonxitude dos seus lados aplicamos a fórmula de Herón.

$S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$

onde a, b , c son os valores das lonxitudes dos seus lados s = ½ (a + b + c) é o semiperímetro do triángulo.

Se o triángulo é equilátero, de lado a, a súa área está dada por

$A =\frac{\sqrt{3}\cdot a^2}{4}$

Áreas

[editar] Área dun cuadrilátero

O rectángulo é un paralelogramo cuxos ángulos son todos de 90º; a área sería a multiplicación de dúas dos seus lados contiguos a e b:

$A = a \cdot b \,$

O Rombo, cuxos 4 lados son iguais, ten a súa área dada polo semiproduto das súas dúas diagonais:

$A = \frac{D\cdot d}{2}$

O cadrado é o polígono regular de catro lados, é á vez un rectángulo e un rombo, polo que a súa área pode ser calculada da mesma maneira que a destes dous. En particular, dado que os seus lados son iguais, úsase a fórmula:

$A = a \cdot a \, = a^2$

Os paralelogramos en xeral teñen a súa área dada polo produto un dos seus lados e o seu altura respectiva:

$A = b\cdot h\,$

O trapecio (que ten dous lados paralelos entre si e dous lados non paralelos) cuxa área vén dada pola media aritmética dos seus lados paralelos multiplicado pola distancia entre eles (altura):

$A = \frac{1}{2}h(B+d)$

O trapezoide ou cuadrilátero totalmente irregular que ten os seus catro ángulos diferentes e lados de lonxitudes desiguais. Neste caso a área pódese obter mediante triangulación sendo:

$A = \frac{1}{2}\left(a_1a_2 \sin \alpha + b_1b_2 \sin \beta \right)$

Sendo:

$\alpha\,$ o ángulo comprendido entre os lados $a_1\,$ e $a_2\,$ .

$\beta\,$ o ángulo comprendido entre os lados $b_1\,$ e $b_2\,$ .

[editar] Área do círculo e a elipse

A área dun círculo, ou a delimitada por unha circunferencia, calcúlase mediante a seguinte expresión matemática:

$A = \pi \cdot r^2\,$

A área delimitada entre a gráfica de dúas curvas pode calcularse mediante a diferenza entre as integrais de ambas as funcións.

A área delimitada por unha elipse é similar e obtense como produto do semieixe maior polo semieixe menor multiplicados por π:

$A = \pi \cdot a \cdot b$

[editar] Área delimitada entre dúas funcións

Unha forma para achar a área delimitada entre dúas funcións, é utilizando o cálculo integral:

$A(a,b) = \int^b_a | f(x) - g(x) | dx$

O resultado desta integral é a área comprendida entre as curvas: $f(x)\,$ y $g(x) [< f(x)]\,$ en el intervalo $[a,b]\,$ .

Exemplo

Se se quere achar a área delimitada entre o eixo x e a función f(x) = 4 - x^2 no intervalo [-2;2], utilízase a ecuación anterior, neste caso: g(x)=0 entón avaliando a integral, obtense:

$A(-2,2) = \int^2_{-2} | 4 - x^2 - 0 | dx = 2 \int^2_0 4 - x^2 dx = 2 \left[ 8 - \left(\frac{2^3 - 0}{3}\right) \right] = \frac{32}{3}$

Polo que se conclúe que a área delimitada é $\frac{32}{3}$ ..

O volume encerrado entre dúas funcións tamén pode ser reducido ao cálculo dunha integral, similar.

[editar] Área de superficies curvas

A área dunha superficie curva é máis complexo e en xeral supón realizar algún tipo de idealización ou límite para medilo.

Cando a superficie é desenvolvíbel, como sucede coa área lateral dun cilindro ou dun cono a área da superficie pode calcularse a partir da área desenvolvida que sempre é unha figura plana. Unha condición matemática necesaria]] para que unha superficie sexa desenvolvíbel é que a súa curvatura gaussiana sexa nula.
Cando a superficie non é desenvolvíbel, o cálculo da superficie ou a fórmula analítica para atopar devandito valor é máis traballoso. Un exemplo de superficie non desenvolvíbel é a esfera xa que a súa curvatura gaussiana coincide co inverso do seu radio ao cadrado, e por tanto non é cero. Con todo a esfera é unha superficie de revolución.

[editar] Superficie de revolución

Unha superficie de revolución xerada por un tramo da curva y=2+cos x rotada arredor do eixo x.

Cando unha superficie curva pode ser xerada facendo virar unha curva plana ao redor dun eixo directriz, a superficie resultante chámase superficie de revolución e a súa área pode ser calculada facilmente a partir da lonxitude da curva xeratriz que ao virar conforma a superficie. Se y=f(x) é a ecuación que define un tramo de curva, ao virar esta curva ao redor do eixo X xérase unha superficie de revolución cuxa área lateral vale:

$A_r(a,b) = 2\pi \int_a^b f(x)\sqrt{1+\left(\frac{df(x)}{dx}\right)^2}\ dx$

[editar] Cálculo xeral de áreas

Mediante a xeometría diferencial de superficies ou máis xeralmente a xeometría riemanniana pode calcularse a área de calquera superficie curva finita. Se a superficie vén dada pola función explícita z = f(x, y) entón, dada unha rexión Ω contida nunha superficie a súa área resultar ser:

$A(\Omega) = \iint_\Omega \sqrt{1+ \left(\frac{\partial f}{\partial x} \right )^2+ \left(\frac{\partial f}{\partial y}\right )^2} dxdy$

De maneira un pouco máis xeral se coñecemos a ecuación paramétrica da superficie en función de dúas coordenadas calquera o e v entón a área anterior pode escribirse como:

$A(\Omega) = \iint_\Omega \sqrt{EG-F^2}\ dudv$

Onde E, F e G son as compoñentes do tensor métrico ou primeira forma fundamental da superficie nas coordenadas paramétricas u e v.

[editar] Unidades de medida de superficies

[editar] Sistema métrico (SI)

Múltiplos:

Quilómetro cadrado: 10⁶ metros cadrados
Hectárea: 10⁴ metros cadrados
Área: 10² metros cadrados

Unidade básica:

metro cadrado: Unidade derivada do SI

Submúltiplos:

centímetro cadrado: 10^-4 metros cadrados
barn: 10^-28 metros cadrados

[editar] Sistema inglés de medidas

[editar] Referencias

↑ Spiegel y Abellanas, 1992, p.9

[editar] Bibliografía

Spiegel, Murray R., Abellanas, Lorenzo, McGraw-Hill Fórmulas y tablas de matemática aplicada. ISBN 84-7615-197-7.

[0] Spiegel y Abellanas, 1992, p.9

[1]