Área

Na Galipedia, a Wikipedia en galego.
Este é un dos 1000 artigos que toda Wikipedia debería ter.

Área é a extensión ou superficie comprendida dentro dunha figura (de dúas dimensións), expresada en unidades de medida denominadas superficiais. Para superficies planas o concepto é intuitivo. Calquera superficie plana de lados rectos pode triangularse e pódese calcular a súa área como suma de triángulos.

Con todo, para calcular a área de superficies curvas requírese introducir métodos de xeometría diferencial.

Para poder definir a área dunha superficie en xeral, que é un concepto métrico, tense que definir un tensor métrico sobre a superficie en cuestión: cando a superficie está dentro dun espazo euclídeo, a superficie herda unha estrutura métrica natural inducida pola métrica euclídea.

Historia[editar | editar a fonte]

Os exipcios desenvolveron a xeometría pola necesidade que tiveron de medir as terras á beira do río Nilo.

A idea de que a área é a medida que proporciona o tamaño da rexión encerrada nunha figura xeométrica provén da antigüidade. No Antigo Exipto, tras a crecida anual do río Nilo inundando os campos, xorde necesidade de calcular a área de cada parcela agrícola para restablecer os seus límites; para liquidar iso, os exipcios inventaron a xeometría, segundo Heródoto. Heródoto Historias, Libro II.

O modo de calcular a área dun polígono como a suma das áreas dos triángulos, é un método que foi proposto por primeira vez polo sabio grego Antifón cara ao ano 430 a. C. Achar a área dunha figura curva entraña máis dificultade. O método de esgotamento consiste en inscribir e circunscribir polígonos na figura xeométrica, aumentar o número de lados de devanditos polígonos e achar a área buscada. Con este sistema, que se coñece como método de exhaución de Eudoxo, conseguiu achar a fórmula para calcular a área dun círculo. Devandito sistema foi empregado tempo despois por Arquimedes para resolver outros problemas similares: o problema da área así como o cálculo aproximado do número π.

Área de figuras planas[editar | editar a fonte]

Área dun triángulo[editar | editar a fonte]

A área de un triángulo calcúlase mediante a seguinte fórmula:[1]


A =\frac{l\cdot h}{2}

onde l é calquera dos lados e h es la altura correspondente a ese lado.

Se o triángulo é rectángulo, a altura coincide cun dos catetos, e a fórmula quedaría da seguinte forma:

A =\frac{a\cdot b}{2}

onde a e b son os catetos.

Se o que coñecemos é a lonxitude dos seus lados aplicamos a fórmula de Herón.

S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}

onde a, b , c son os valores das lonxitudes dos seus lados s = ½ (a + b + c) é o semiperímetro do triángulo.

Se o triángulo é equilátero, de lado a, a súa área está dada por

A =\frac{\sqrt{3}\cdot a^2}{4}

Áreas

Área dun cuadrilátero[editar | editar a fonte]

Trapezoide.
  • O trapezoide ou cuadrilátero totalmente irregular que ten os seus catro ángulos diferentes e lados de lonxitudes desiguais. Neste caso a área pódese obter mediante triangulación sendo:


A = \frac {a \cdot d \cdot \sin \alpha + b \cdot c \cdot \sin \gamma}{2}

Sendo:
\alpha\, o ángulo comprendido entre os lados a\, y d\,.
\gamma\, o ángulo comprendido entre os lados b\, y c\,.
  • O rectángulo é un paralelogramo cuxos ángulos son todos de 90º; a área sería a multiplicación de dúas dos seus lados contiguos a e b:


A = a \cdot b \,

  • O rombo, cuxos 4 lados son iguais, ten a súa área dada polo semiproduto das súas dúas diagonais:


A = \frac{AC\cdot BD}{2}

  • O cadrado é o polígono regular de catro lados, é á vez un rectángulo e un rombo, polo que a súa área pode ser calculada da mesma maneira que a destes dous. En particular, dado que os seus lados son iguais, úsase a fórmula:


A = a \cdot a \, = a^2

  • Os paralelogramos en xeral teñen a súa área dada polo produto un dos seus lados e a súa altura respectiva:


A = b\cdot h\,

  • O trapecio (que ten dous lados paralelos entre si e dous lados non paralelos) cuxa área vén dada pola media aritmética dos seus lados paralelos multiplicado pola distancia entre eles (altura):


A = \frac{a + b}{2} \cdot h

Área do círculo e a elipse[editar | editar a fonte]

A área dun círculo, ou a delimitada por unha circunferencia, calcúlase mediante a seguinte expresión matemática:


 A = \pi \cdot r^2\,

A área delimitada entre a gráfica de dúas curvas pode calcularse mediante a diferenza entre as integrais de ambas as funcións.

A área delimitada por unha elipse é similar e obtense como produto do semieixe maior polo semieixe menor multiplicados por π:


 A = \pi \cdot a \cdot b

Área delimitada entre dúas funcións[editar | editar a fonte]

Unha forma para achar a área delimitada entre dúas funcións, é utilizando o cálculo integral:


 A(a,b) = \int^b_a | f(x) - g(x) | dx

O resultado desta integral é a área comprendida entre as curvas: f(x)\, y g(x) [< f(x)]\, en el intervalo [a,b]\,.

Exemplo

Se se quere achar a área delimitada entre o eixo x e a función f(x) = 4 - x^2 no intervalo [-2;2], utilízase a ecuación anterior, neste caso: g(x)=0 entón avaliando a integral, obtense:


 A(-2,2) = \int^2_{-2} | 4 - x^2 - 0 | dx = 2 \int^2_0 4 - x^2 dx = 2 \left[ 8 - \left(\frac{2^3 - 0}{3}\right) \right] = \frac{32}{3}

Polo que se conclúe que a área delimitada é \frac{32}{3}..

O volume encerrado entre dúas funcións tamén pode ser reducido ao cálculo dunha integral, similar.

Área de superficies curvas[editar | editar a fonte]

Dous exemplos de conos.

A área dunha superficie curva é máis complexo e en xeral supón realizar algún tipo de idealización ou límite para medilo.

  • Cando a superficie é desenvolvíbel, como sucede coa área lateral dun cilindro ou dun cono a área da superficie pode calcularse a partir da área desenvolvida que sempre é unha figura plana. Unha condición matemática necesaria para que unha superficie sexa desenvolvíbel é que a súa curvatura gaussiana sexa nula.
  • Cando a superficie non é desenvolvíbel, o cálculo da superficie ou a fórmula analítica para atopar devandito valor é máis traballoso. Un exemplo de superficie non desenvolvíbel é a esfera xa que a súa curvatura gaussiana coincide co inverso do seu radio ao cadrado, e por tanto non é cero. Con todo a esfera é unha superficie de revolución.

Superficie de revolución[editar | editar a fonte]

Unha superficie de revolución xerada por un tramo da curva y=2+cos x rotada arredor do eixo x.

Cando unha superficie curva pode ser xerada facendo virar unha curva plana ao redor dun eixo directriz, a superficie resultante chámase superficie de revolución e a súa área pode ser calculada facilmente a partir da lonxitude da curva xeratriz que ao virar conforma a superficie. Se y=f(x) é a ecuación que define un tramo de curva, ao virar esta curva ao redor do eixo X xérase unha superficie de revolución cuxa área lateral vale:


A_r(a,b) = 2\pi \int_a^b f(x)\sqrt{1+\left(\frac{df(x)}{dx}\right)^2}\ dx

Cálculo xeral de áreas[editar | editar a fonte]

Mediante a xeometría diferencial de superficies ou máis xeralmente a xeometría riemanniana pode calcularse a área de calquera superficie curva finita. Se a superficie vén dada pola función explícita z = f(x, y) entón, dada unha rexión Ω contida nunha superficie a súa área resultar ser:


 A(\Omega) = \iint_\Omega \sqrt{1+
\left(\frac{\partial f}{\partial x} \right )^2+
\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right )^2} dxdy

De maneira un pouco máis xeral se coñecemos a ecuación paramétrica da superficie en función de dúas coordenadas calquera o e v entón a área anterior pode escribirse como:


 A(\Omega) = \iint_\Omega \sqrt{EG-F^2}\ dudv

Onde E, F e G son as compoñentes do tensor métrico ou primeira forma fundamental da superficie nas coordenadas paramétricas u e v.

Unidades de medida de superficies[editar | editar a fonte]

Artigo principal: Unidades de superficie.

Sistema métrico (SI)[editar | editar a fonte]

Múltiplos:

Unidade básica:

Submúltiplos:

Sistema inglés de medidas[editar | editar a fonte]

Notas[editar | editar a fonte]

  1. Spiegel y Abellanas, 1992, p.9

Bibliografía[editar | editar a fonte]

Spiegel, Murray R.; Abellanas, Lorenzo. Fórmulas y tablas de matemática aplicada. McGraw-Hill. ISBN 84-7615-197-7.