Teorema central do límite

Na Galipedia, a Wikipedia en galego.

O teorema do límite central ou teorema central do límite indica que, en condicións moi xerais, se Sn é a suma de n variables aleatorias independentes e de varianza non nula pero finita, entón a función de distribución de Sn «aproxímase ben» a unha distribución normal (tamén chamada distribución gaussiana, curva de Gauss ou campá de Gauss). Así pois, o teorema asegura que isto ocorre cando a suma destas variables aleatorias independentes é o suficientemente grande.[1][2]

Definición[editar | editar a fonte]

Sexa a función de densidade da distribución normal definida como[1]


cunha media µ e unha varianza σ2. O caso no que a súa función de densidade sexa , a distribución coñécese como normal estándar.

Defínese Sn como a suma de n variables aleatorias, independentes, identicamente distribuídas, e con media µ e varianza σ2 finitas (σ2≠0):


de maneira que, a media de Sn é nµ e a varianza nσ2, dado que son variables aleatorias independentes. Con tal de facer máis fácil a comprensión do teorema e o seu posterior uso, faise unha estandarización de Sn como


para que a media da nova variable sexa igual a 0 e o desvío estándar sexa igual a 1. Así, as variables Zn converxerán en distribución á distribución normal estándar N(0,1), cando n tende a infinito. Como consecuencia, se Φ(z) é a función de distribución de N(0,1), para cada número real z:


onde P( ) indica probabilidade e lim refírese ao límite matemático.

Enunciado formal[editar | editar a fonte]

De maneira formal, normalizada e compacta o enunciado do teorema é:[3]

Teorema do límite central: Sexa , , ..., un conxunto de variables aleatorias, independentes e identicamente distribuídas con media μ e varianza . Sexa


Entón

.

É moi común atopalo coa variable estandarizada Zn en función da media da mostra ,

posto que son equivalentes, así como atopalo en versións non normalizadas como pode ser:[4]

Teorema (do límite central): Sexa , , ..., un conxunto de variables aleatorias, independentes e identicamente distribuídas dunha distribución con media μ e varianza σ2≠0. Entón, se n é suficientemente grande, a variable aleatoria
ten aproximadamente unha distribución normal con e .

É importante sinalar que este teorema non informa nada acerca da distribución de , agás a existencia de media e varianza.[4]

Propiedades[editar | editar a fonte]

  • O teorema central do límite garante unha distribución normal cando n é suficientemente grande.
  • Existen diferentes versións do teorema, en función das condicións empregadas para asegurar a converxencia. Unha das máis simples establece que é suficiente que as variables que se suman sexan independentes, identicamente distribuídas, con valor esperado e varianza finitas.
  • Este teorema, pertencente á teoría da probabilidade, atopa aplicacións en moitos campos relacionados, tales como a inferencia estatística ou a teoría de renovación.

Varianza nula ou infinita[editar | editar a fonte]

No caso de n variables aleatorias Xi independentes e identicamente distribuídas, cada unha delas con varianza nula ou infinita, a distribución das variables:


non converxen en distribución cara a unha normal. A continuación preséntanse os dous casos por separado.

Varianza infinita[editar | editar a fonte]

Considérese o caso de variables que seguen unha distribución de Cauchy:


Neste caso pode demostrarse que a distribución asintótica de Sn vén dada por outra distribución de Cauchy, con menor varianza:


Para outras distribucións de varianza infinita non é fácil dar unha expresión pechada para a súa distribución de probabilidade aínda que a súa función característica si ten unha forma sinxela, dada polo teorema de Lévy-Khintchine:[5]


onde y:


As condicións anteriores equivalen a que unha distribución de probabilidade sexa unha distribución estable.

Varianza nula[editar | editar a fonte]

Este caso corresponde trivialmente a unha función dexenerada tipo delta de Dirac cunha función de distribución que vén dada por:


Neste caso resulta que a variable trivialmente ten a mesma distribución que cada unha das variables independentes.

Notas[editar | editar a fonte]

  1. 1,0 1,1 Filmus, Yuval (xaneiro a febreiro de 2010). "Two Proofs of the Central Limit Theorem" (PDF) (en inglés): 1–3. Consultado o 13 de decembro de 2010. 
  2. Grinstead, Charles M.; Snell, J. Laurie (1997). "9. Central Limit Theorem" (PDF). Introduction to Probability (PDF) (en inglés) (2 ed.). AMS Bookstore. pp. 325–360. ISBN 0821807498. Consultado o 15 de abril de 2009. 
  3. Stanton, Charles. "Central limit theorem" (en inglés). Consultado o 13 de decembro de 2010. 
  4. 4,0 4,1 Wasserman, Larry. "5. Converxence of Random Variables". All of Statistics (en inglés). Springer. p. 77. ISBN 0-387-40272-1. 
  5. P. Ibarrola, L. Pardo e V. Quesada: Teoría da Probabilidade, p. 521-522

Véxase tamén[editar | editar a fonte]

Outros artigos[editar | editar a fonte]

Ligazóns externas[editar | editar a fonte]

  • Blaiotta, Jimena; Delieutraz, Pablo (30 de xullo de 2004). "Teorema central del límite" (PDF) (en español). Consultado o 15 de decembro de 2010. 
  • Behar Gutiérrez, Roberto; Grima Cintas, Pere (2004). 55 respuestas a dudas típicas de Estadística (en español). Madrid: Edicións Díaz de Santos, S.A. pp. 187–189. ISBN 84-7978-643-4.