Distribución de Cauchy

Na Galipedia, a Wikipedia en galego.
Distribución de Cauchy-Lorentz
Función de densidade
A liña verde é a distribución estándar de Cauchy
Función de distribución
Cauchy distribution cdf.png
Parámetros (real)
escala (real)
Soporte
Función de densidade
Función de distribución
Media Non definida
Mediana
Moda
Varianza Non definida
Asimetría Non definida
Curtose Non definida
Entropía
F. xeradora de momentos Non definida
Func. caract.

A distribución de Cauchy, coñecida tamén como distribución Cauchy-Lorentz en honor a Augustin Cauchy e Hendrik Lorentz, é unha distribución de probabilidade continua. No campo da Física coñécese como distribución de Lorentz, función Lorentziana ou distribución de Breit-Wigner. A súa importancia na física vén dada por ser a solución da ecuación diferencial que describe a resonancia forzada. En espectroscopia describe a forma das liñas espectrais que son ampliadas por diversos mecanismos, en particular, o mecanismo de alargamento por colisión.[1]

Características[editar | editar a fonte]

,

onde x0 é o parámetro que especifica a localización do pico da distribución, e γ é o parámetro de escala que especifica a largura media ao máximo medio (half-width at half-maximum, HWHM).

O caso especial no que x0 = 0 e γ = 1 denomínase distribución estándar de Cauchy, que ten a función de densidade de probabilidade:

.
  • En xeral a distribución de Cauchy non ten esperanza matemática nin varianza.
  • A función de distribución é e a función inversa de distribución é
  • A función característica da distribución Cauchy está ben definida:

Propiedades[editar | editar a fonte]

A distribución de Cauchy é un exemplo dunha distribución que non ten momentos definidos. A súa moda e a súa mediana están ben definidas e son ambas iguais a x0.

Cando U e V son dúas variables aleatorias independendentes e normalmente distribuídas con media igual a 0 e varianza igual a 1, entón a razón U/V segue a distribución estándar de Cauchy.

Se X1, …, Xn son variables aleatorias, independentes e identicamente distribuídas, cada unha cunha distribución de Cauchy, entón a media da mostra () ten a mesma distribución Cauchy estándar (a media da mostra, que non está afectada polos valores extremos, pode ser empregada como medida da tendencia central). Para comprobar que isto é certo calcúlase a función característica da media da mostra:

onde é a media da mostra. Este exemplo serve para demostrar que a hipótese da varianza finita no teorema central do límite non pode ser eliminada, ao igual que a hipótese da esperanza finita na lei dos grandes números. É tamén un exemplo dunha versión máis xeralizada do teorema central do límite que é característica de todas as distribucións asimétricas alpha-estables de Lévy, das que a distribución de Cauchy é un caso especial.

A distribución de Cauchy é unha función de distribución infinitamente divisible. É tamén unha distribución estritamente estable.

A distribución de Cauchy coincide coa distribución t de Student cun grao de liberdade.

Se e son dúas variables aleatorias uniformes entre -1 e 1 e , entón o cociente segue a distribución de Cauchy.

Notas[editar | editar a fonte]

Véxase tamén[editar | editar a fonte]

Ligazóns externas[editar | editar a fonte]