Distribución de Cauchy

Para outras páxinas con títulos homónimos véxase: Distribución.

Distribución de Cauchy-Lorentz

Función de densidade
Función de distribución
Parámetros	$x_{0}\!$ (real) $\gamma >0\!$ escala (real)
Soporte	$x\in (-\infty ;+\infty )\!$
Función de densidade	${\frac {1}{\pi \gamma \,\left[1+\left({\frac {x-x_{0}}{\gamma }}\right)^{2}\right]}}\!$
Función de distribución	${\frac {1}{\pi }}\arctan \left({\frac {x-x_{0}}{\gamma }}\right)+{\frac {1}{2}}$
Media	Non definida
Mediana	$x_{0}$
Moda	$x_{0}$
Varianza	Non definida
Asimetría	Non definida
Curtose	Non definida
Entropía	$\ln(4\,\pi \,\gamma )\!$
F. xeradora de momentos	Non definida
Func. caract.	$\exp(x_{0}\,i\,t-\gamma \,|t|)\!$

A distribución de Cauchy, coñecida tamén como distribución Cauchy-Lorentz en honor a Augustin Cauchy e Hendrik Lorentz, é unha distribución de probabilidade continua. No campo da Física coñécese como distribución de Lorentz, función Lorentziana ou distribución de Breit-Wigner. A súa importancia na física vén dada por ser a solución da ecuación diferencial que describe a resonancia forzada. En espectroscopia describe a forma das liñas espectrais que son ampliadas por diversos mecanismos, en particular, o mecanismo de alargamento por colisión.

Características

• A función de densidade dunha distribución de Cauchy é:

${\begin{aligned}f(x;x_{0},\gamma )&={\frac {1}{\pi \gamma \left[1+\left({\frac {x-x_{0}}{\gamma }}\right)^{2}\right]}}\\[0.5em]&={1 \over \pi }\left[{\gamma \over (x-x_{0})^{2}+\gamma ^{2}}\right]\end{aligned}}$,

onde x₀ é o parámetro que especifica a localización do pico da distribución, e γ é o parámetro de escala que especifica a largura media ao máximo medio (half-width at half-maximum, HWHM).

O caso especial no que x₀ = 0 e γ = 1 denomínase distribución estándar de Cauchy, que ten a función de densidade de probabilidade:

$f(x;0,1)={\frac {1}{\pi (1+x^{2})}}.\!$.

• En xeral a distribución de Cauchy non ten esperanza matemática nin varianza.
• A función de distribución é $F(x;x_{0},\gamma )={\frac {1}{\pi }}\arctan \left({\frac {x-x_{0}}{\gamma }}\right)+{\frac {1}{2}}$ e a función inversa de distribución é $F^{-1}(p;x_{0},\gamma )=x_{0}+\gamma \,\tan \left[\pi \,\left(p-{\tfrac {1}{2}}\right)\right].$
• A función característica da distribución Cauchy está ben definida:

$\phi _{x}(t;x_{0},\gamma )=\mathrm {E} (e^{i\,X\,t})=\exp(i\,x_{0}\,t-\gamma \,|t|).\!$

Propiedades

A distribución de Cauchy é un exemplo dunha distribución que non ten momentos definidos. A súa moda e a súa mediana están ben definidas e son ambas iguais a x₀.

Cando U e V son dúas variables aleatorias independendentes e normalmente distribuídas con media igual a 0 e varianza igual a 1, entón a razón U/V segue a distribución estándar de Cauchy.

Se X₁, …, X_n son variables aleatorias, independentes e identicamente distribuídas, cada unha cunha distribución de Cauchy, entón a media da mostra (${\frac {X_{1}+...+X_{n}}{n}}$) ten a mesma distribución Cauchy estándar (a media da mostra, que non está afectada polos valores extremos, pode ser empregada como medida da tendencia central). Para comprobar que isto é certo calcúlase a función característica da media da mostra:

$\phi _{\overline {X}}(t)=\mathrm {E} \left(e^{i\,{\overline {X}}\,t}\right)\,\!$

onde ${\overline {X}}$ é a media da mostra. Este exemplo serve para demostrar que a hipótese da varianza finita no teorema central do límite non pode ser eliminada, ao igual que a hipótese da esperanza finita na lei dos grandes números. É tamén un exemplo dunha versión máis xeneralizada do teorema central do límite que é característica de todas as distribucións asimétricas alpha-estables de Lévy, das que a distribución de Cauchy é un caso especial.

A distribución de Cauchy é unha función de distribución infinitamente divisible. É tamén unha distribución estritamente estable.

A distribución de Cauchy coincide coa distribución t de Student cun grao de liberdade.

Se $U$ e $V$ son dúas variables aleatorias uniformes entre -1 e 1 e $U^{2}+V^{2}<1$, entón o cociente $U/V$ segue a distribución de Cauchy.

Véxase tamén

Ligazóns externas

• GNU Scientific Library - Reference Manual
• Calculadora da distribución de Cauchy