Función de distribución

Na Galipedia, a Wikipedia en galego.

En teoria da probabilidade, a función de distribución ou función de distribución acumulada , é a función que describe completamente a distribución da probabilidade dunha variable aleatoria de valor real X. Para cada número real x, a función de distribución vén dada por[1]:

é dicir, a función de nome "F" é igual á probabilidade de que a variable aleatoria X tome un valor inferior ou igual a un determinado x. Segundo esta definición, para cada x, a función F asumirá un valor diferente.

A probabilidade de que X se sitúe nun intervalo ]ab] (aberto en a e pechado en b) é F(b) − F(a) se a ≤ b. Por convención emprégase un F maiúsculo para a función de distribución, en contraste co f minúsculo empregado para a función de densidade e a función de masa de probabilidade.

A función de distribución pode ser facilmente obtida a partir da función de probabilidade respectiva. No caso dunha variable aleatoria discreta:

Para unha variable aleatoria continua:

Na definición, o sinal "menor ou igual", '≤' podería ser substituído por "menor" '<'. Isto produciría unha función diferente, mais calquera das funcións pode ser deducida facilmente a partir da outra. Tamén se podería substituír por un sinal "maior" '>' e deducir as propiedades desta nova función. Porén, cómpre axustar a definición ao sinal pretendido.

Exemplos[editar | editar a fonte]

Como exemplo, se a variable X é distribuída uniformemente no intervalo [0, 1] a función de distribución vén dada por:

F(x) = 0, se x < 0;
F(x) = x, se 0 ≤ x ≤ 1;
F(x) = 1, se x > 1.

Se X toma só os valores 0 e 1, con igual probabilidade, é dicir, se X segue a distribución de Bernoulli con p = 1/2, entón a función de distribución vén dada por:

F(x) = 0, se x < 0;
F(x) = 1/2, se 0 ≤ x < 1;
F(x) = 1, se x ≥ 1.

Propiedades[editar | editar a fonte]

Se X é unha variable aleatoria discreta, entón toma os valores x1, x2, ... con probabilidade p1, p2 etc., a función de distribución de X é descontinua nos puntos xi e constante entre eles.

Se a función de distribución F de X é continua, entón X é unha variable aleatoria continua; se alén diso F é absolutamente continua, entón existe unha función integral de Lebesgue f(x) tal que

para todos os números reais a e b. A primeira das dúas igualdades non sería xeral se a distribución non fose continua. A continuidade da distribución implica que P(X = a) = P(X = b) = 0, de modo que a diferenza entre "<" e "≤" deixa de ser importante neste contexto. A función f é igual á derivada de F (en case todos os puntos), e chámase función de densidade de probabilidade da distribución de X.

Para calquera función de distribución , tense:

  • é non decrecente (crecente ou constante):
  • é continua pola dereita:
  • , con , e

As seguintes propiedades permiten ligar os diferentes tipos de desigualdades, e que se aplican as funcións de distribución de variables aleatorias discretas:

No caso das variables aleatorias continuas, cúmprense as seguintes propiedades:

  • é continua en todos os puntos (no caso das v. a. discretas era só continua pola dereita)

O test de Kolmogorov-Smirnov baséase en funcións de distribución acumulada e pode empregarse para ver se dúas distribucións empíricas son diferentes ou se unha distribución empírica é diferente dunha distribución ideal. Relacionado con este está o test de Kuiper, que é útil se o dominio da distribución é cíclico como por exemplo nos días da semana. Por exemplo podemos usar o test de Kuiper para ver se o número de tornados varía durante o ano ou se as vendas dun produto varían día a día ou por día do mes.

Notas[editar | editar a fonte]

Véxase tamén[editar | editar a fonte]

Bibliografía[editar | editar a fonte]