Función característica

Na Galipedia, a Wikipedia en galego.
Saltar ata a navegación Saltar á procura

A función característica dunha variable aleatoria ou da súa distribución de probabilidade é unha función de variable real que toma valores complexos e que permite a aplicación de métodos analíticos (é dicir, da análise funcional) no estudo da probabilidade.

Historia[editar | editar a fonte]

O método das funcións características foi introducido nas probabilidades por A. Lyapunov en 1904 para a demostración do teorema central do límite que hoxe leva o seu nome. A versión definitiva deste teorema foi obtida posteriormente por J. W. Lindeberg.

Definición[editar | editar a fonte]

Dada unha variable aleatoria continua a súa función característica, que se denota mediante para real, defínese como

onde se fai uso da función exponencial complexa e denota a esperanza matemática. Usando as propiedades da función exponencial complexa, a función característica pode rescribirse en termos dunha parte real e unha imaxinaria:

Momentos[editar | editar a fonte]

Cando os momentos dunha variable aleatoria existen, pódense calcular mediante as derivadas da función característica. Derivando formalmente ambos lados da definición e tomando ,


e derivando dúas veces e substituíndo resulta


.

Desta maneira pódense obter expresións que permiten determinar a varianza e esperanza de . Analogamente, se relacionan momentos e derivadas de ordes superiores:


Probabilidade e análise funcional[editar | editar a fonte]

En análise funcional se se identifica a distribución da variable aleatoria considerada cunha medida positiva, a función característica denomínase transformada de Fourier da medida correspondente.

Función xeradora de momentos[editar | editar a fonte]

Unha función relacionada coa función característica é a función xeradora de momentos, designada como que se define mediante


Aínda que esta función é máis sinxela, non sempre existe, dado que a esperanza matemática que a define pode non existir, dependiendo da distribución da variable aleatoria e do valor de .