Rectángulo dourado

O rectángulo dourado (denominado tamén rectángulo áureo ou rectángulo de ouro) é un rectángulo que posúe unha proporcionalidade entre os seus lados igual á razón áurea.^[1] Ao dividir a base deste rectángulo pola súa altura, obtense o número áureo 1.618. Ao subtraer a imaxe dun cadrado igual ao do seu lado menor, o rectángulo resultante é igualmente un rectángulo dourado. A partir deste rectángulo pódese obter a espiral dourada, que é unha espiral logarítmica.

Construción[editar | editar a fonte]

Na matemática clásica constrúese mediante regra e compás seguindo os pasos:

Constrúese un cadrado de lado unidade $ABCD$
Trázase unha liña desde a metade do lado do cadrado ( $G$ ) até un dos vértices do lado oposto, dando un segmento $GC$
Empregando esta liña $GC$ como raio, colócase a punta do compás na metade do cadrado e abátese até cortar en $E$ .
Complétase o rectángulo $AEDF$ así como o rectángulo $BCEF$ .

Desenvolvementos[editar | editar a fonte]

De acordo co divulgador científico Mario Greco, desde a publicación do libro de Bruno Miere titulado Divina Proportione en 1509, é cando a razón dourada aparece descrita nos tratados de arte e de arquitectura, facendo que moitos artistas e arquitectos a empregasen a súa cantidade no deseño por consideralo esteticamente agradable.^[2]^[3]^[4]

Alxébrica[editar | editar a fonte]

Se a lonxitude do lado maior se denomina $x$ , tense por definición:

{\frac {x}{1}}={\frac {1}{x-1}}

Isto leva a resolver a ecuación de segundo grao:

x^{2}-x-1=0

Na que unha das dúas raíces é a proporción dourada.

O rectángulo de Euclides[editar | editar a fonte]

Trátase dunha das demostracións máis coñecidas desde a antigüidade.

O rectángulo cuxos vértices se definen polos puntos $AEFD$ defínese como áureo debido a que o seu lado maior $AE$ e o seu lado curto $AD$ presentan a proporción do número áureo. O matemático grego Euclides, na súa obra Os elementos, obtén a súa construción. Sendo o triángulo $GBC$ pitagórico, tense que $GC$ (a hipotenusa) ten como valor:

GC={\sqrt {5}}

Con centro en $G$ , prolongando até a recta $AE$ , obtense por intersección o punto $E$ , e por tanto:

GE=GC={\sqrt {5}}

con todo iso pódese ver que resulta evidente que os lados:

AE=AG+GE=1+{\sqrt {5}}

de onde:

{\frac {AE}{AD}}={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}=\varphi

Por outra banda, os rectángulos $AEFD$ e $BEFC$ son semellantes, de modo que este último é así mesmo un rectángulo áureo.

Na arquitectura[editar | editar a fonte]

O rectángulo áureo foi cualificado polos gregos clásicos como unha das figuras xeométricas máis belamente estruturadas. Por un longo lapso de séculos, os arquitectos utilizaron este cuadrilátero para templos, rañaceos e edificacións de diversa índole, desde o Partenón de Atenas (s. V a.C.), cuxa fachada dianteira se inscribe nun rectángulo áureo^[5] até a sede das Nacións Unidas.

Galería[editar | editar a fonte]

A espiral dourada
O icosaedro posúeo nas súas caras interiores
Suma de rectángulos
Rectángulo áureo mediante Fibonacci
Sede das Nacións Unidas: a fachada do edificio é formada por rectángulos dourados.
O Partenon hoxe e como tería sido na súa época.

O rectángulo dourado na industria[editar | editar a fonte]

A norma DIN 476 é a que define a medida do DIN A4 e outros tamaños de papel. O DIN A4 e os seus derivados A3, A2... non manteñen as proporcións do rectángulo dourado, senón que manteñen a relación ${\sqrt {2}}=1.4142$ , casualmente a proporción que usaba Policleto para o seu canon.

Investigacións psicolóxicas[editar | editar a fonte]

As pescudas e debates sobre o tema naceron no s. XIX cos experimentos de Fechner, que tentou confirmar a superioridade estética do rectángulo dourado a través de investigacións dirixidas a demostrar a súa preferencia polos humanos.

A enquisa realizouse segundo tres metodoloxías complementarias.

De elección (Wahl): solicitude aos suxeitos para escolleren os rectángulos que preferían.
De produción (Herstellung): os suxeitos debuxan o rectángulo que consideran máis agradábel.
De uso (Verwendung): medindo obxectos de uso cotián para verificar a presenza da proporción áurea.

Nos resultados publicados en 1879 só a primeira enquisa deu un resultado positivo, segundo as súas conviccións, cunha preferencia do 35% polo rectángulo dourado. Porén, de inmediato xurdiron críticas ao método do experimento. Fechner amosara a 347 persoas unha disposición de 10 rectángulos de igual área coa relación entre os lados en orde crecente (de 1:1 a 1:2,5), na que o rectángulo dourado ocupaba a 7ª posición, preguntando cal era máis agradábel. As críticas xurdiron en tres ordes de observación:

Ter desatendido a influencia da orientación vertical ou horizontal na elección das persoas.
A influencia da posición mediana. Os suxeitos puideron estar orientados a indicar o rectángulo dourado xa que representaba a figura coas proporcións medias entre os presentados.
Os suxeitos non foron escollidos ao azar e sobre todo eran conscientes das crenzas do científico, o que supón todos os posibles problemas para os que hoxe se adopta o procedemento de dobre cego.

Os experimentos, aínda que só un deu o resultado esperado, abriron unha liña de investigacións nas que a preferencia pola sección dourada resultou cada vez máis unha quimera, até que finalmente tivo unha conclusión negativa na última década do século XX.

Notas[editar | editar a fonte]

↑ Livio, Mario (2002). Editorial Ariel, ed. La proporción áurea (Primera (Español) ed.). Barcelona.
↑ Pacioli, Luca. De divina proportione, Luca Paganinem de Paganinus de Brescia (Antonio Capella) 1509, Venecia.
↑ Livio, Mario (2002). The Golden Ratio: The Story of Phi, The World's Most Astonishing Number. Nueva York: Broadway Books. ISBN 0-7679-0815-5.
↑ Van Mersbergen, Audrey M., Rhetorical Prototypes in Architecture: Measuring the Acropolis with a Philosophical Polemic, Communication Quarterly, Vol. 46, 1998 ("a 'Golden Rectangle' has a ratio of the length of its sides equal to 1:1.61803+. The Parthenon is of these dimensions.")
↑ Clemens y coautores: «Geometría /con aplicaciones y solución de problemas» ISBN 0-201-64407-X