Espiral dourada

Na Galipedia, a Wikipedia en galego.
Saltar ata a navegación Saltar á procura
Espiral áurea construída a partir da evolución dun rectángulo dourado.
As espirais áureas son autosimilares. A forma repítese indefinidamente cando se amplía. (Fractais)

A espiral dourada (denominada tamén espiral áurea) é unha espiral logarítmica asociada ás propiedades xeométricas do rectángulo dourado.[1] A razón de crecemento é Φ, é dicir a razón dourada ou número áureo. Aparece esta espiral representada en diversas figuras da natureza (plantas, galaxias espirais), así como na arte.

Desenvolvemento matemático[editar | editar a fonte]

A ecuación polar que describe a espiral dourada é a mesma que calquera outra espiral logarítmica, pero co factor de crecemento () igual Φ, isto é:[2]

ou, da mesma forma

Sendo e a base do logaritmo natural, é unha constante real positiva e é tal que cando o ángulo θ é un ángulo recto:

Por tanto, atópase determinado por

O valor numérico de depende de se o ángulo θ é medido en graos ou radiáns; como pode tomar valores positivos ou negativos segundo o signo de θ o máis sinxelo é indicar o seu valor absoluto:

Unha espiral de Fibonacci aproxímase á espiral dourada cando se inscribe en cadrados cuxos lados responden á sucesión de Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34...
para θ en graos
para θ en radiáns

Unha fórmula alternativa para a espiral dourada obtense en:[3]

onde a constante está determinada por:

para a espiral dourada os valores de son:

se θ se mide en graos sexaxesimais, e

se θ se mide en radiáns.

Espirais douradas verdadeiras e aproximadas: a espiral verde está formada por cuartos de circunferencias inscritas en cadrados; a espiral vermella é unha espiral dourada, un tipo particular de espiral logarítmica. Ao solaparse as dúas espirais, obtense a espiral amarela

Aproximacións á espiral dourada[editar | editar a fonte]

Existen aproximacións á espiral dourada, que non son iguais.[4] Este tipo de espirais, a miúdo confúndense coa espiral dourada. Un exemplo é a espiral de Fibonacci que resulta ser unha aproximación á espiral dourada.

Galería[editar | editar a fonte]

Notas[editar | editar a fonte]

  1. Steven L. Griffing, (2007), The Golden Section: An Ancient Egyptian and Grecian Proportion, Elsevier, New York, pág. 121-124
  2. Priya Hemenway (2005). Divine Proportion: θ Phi in Art, Nature, and Science. Sterling Publishing Co. pp. 127–129. ISBN 1402735227. 
  3. Klaus Mainzer (1996). Symmetries of Nature: A Handbook for Philosophy of Nature and Science. Walter de Gruyter. pp. 45, 199–200. ISBN 3110129906. 
  4. Charles B. Madden (1999). Fractals in Music: introductory mathematics for musical analysis. High Art Press. pp. 14–16. ISBN 0967172764. 

Véxase tamén[editar | editar a fonte]

Outros artigos[editar | editar a fonte]

Ligazóns externas[editar | editar a fonte]