Produto tensorial

Na Galipedia, a Wikipedia en galego.

Nas matemáticas, o produto tensorial, denotado por , pódese aplicar en diversos contextos de vectores, matrices, tensores e espazos vectoriais. En cada caso a significación do símbolo é a mesma: a operación bilinear máis xeral.

Un caso representativo é o produto de Kronecker de dúas matrices calquera. Exemplo:

rango resultante = 2, dimensión resultante = 3x4.

Aquí o rango denota o número de índices indispensables, mentres que a dimensión conta o número de graos de liberdade na matriz que resulta.

Definición formal[editar | editar a fonte]

Produto tensorial de grupos abelianos[editar | editar a fonte]

Sexan e dous grupos abelianos. Consideramos o grupo abeliano libre de e . Este grupo abeliano é o formado por aplicacións

de forma que eventualmente (p.e., para cada excepto para unha cantidade finita de elementos ). Como todo grupo abeliano, podemos consideralo como -módulo. Baixo esta óptica, o grupo abeliano libre pode expresarse como o conxunto das combinacións -lineares dos elementos:

onde é a delta de Kronecker do elemento , que é unha función de forma que se e só se e , e 0 en calquera outro caso.

Tomando agora o conxunto dos de forma que, calquera que sexan e é

para algúns ou ben

para algúns . Denominamos o subgrupo xerado por este conxunto. É un subgrupo normal (xa que é un subgrupo dun grupo abeliano) de .

O produto tensorial de e é o grupo cociente . Denótase por . A clase de equivalencia do elemento denótase .

Produto tensorial de módulos[editar | editar a fonte]

Sexan un anel unitario, un -módulo a dereitas e N un R-módulo a esquerdas. Consideramos o módulo libre de e . Tomando agora o conxunto dos de forma que, calquera que sexan e todo é

para algúns , ou ben para algúns , ou ben

para algúns e . Denominamos o submódulo xerado por este conxunto.

O produto tensorial de e é o grupo cociente . Denótase por . A clase de equivalencia do elemento denótase .

Produto tensorial de dous tensores[editar | editar a fonte]

Véxase tamén: Cálculo tensorial.

Hai unha fórmula particular para o produto de dous (ou máis) tensores

,

onde se esta asumindo, para simplificar, tensores ortogonais, sen distinción entre índices covariantes e contravariantes.

Os parámetros introducidos arriba traballan así:

Produto tensorial de funciones multilineares[editar | editar a fonte]

Dadas as funcións multilineares f(x1... xk) e g(x1... xm) o seu produto tensorial é a función multilinear

Produto tensorial de espazos vectoriais[editar | editar a fonte]

O produto de dous espazos vectoriais V e W teñen unha definición formal polo método de xeradores e relacións. A clase de equivalencia de (v, w) chámase un tensor e é denotada por . Por construción, pódese probar só tantas identidades entre os tensores, e as sumas de tensores, como se seguen das relacións usadas.

Tómese o espazo vectorial xerado por W x V e aplíquense (factorizar os subespazos xerados) as relacións multilineares detalladas abaixo. Con esta notación as relacións toman a forma:

  • cada elemento do produto tensorial é unha suma finita de tensores: requírese máis dun tensor xeralmente para facer iso. Móstrase simplemente como construír unha base dos .

Dadas bases para V e W, o conxunto de produtos tensoriais dos vectores de base, un de V e un de W, fórmase unha base para .

A dimensión do produto tensorial polo tanto é o produto de dimensións.

Propiedade universal do produto tensorial[editar | editar a fonte]

Sexan un grupo abeliano, un anel unitario, un -módulo a dereitas, un -módulo a esquerdas e unha aplicación -equilibrada (se e os consideramos só como grupos abelianos, entón ; se fosen e espazos vectoriais, entón sería un corpo, se e fosen espazos vectoriais reais, sería ). Existe un único homomorfismo de grupos de maneira que , calquera que sexan e .

Particularización a espazos vectoriais reais[editar | editar a fonte]

O espazo de todos as funcións bilineares desde V x W a R é naturalmente isomorfo ao espazo de todas as funcións lineares de a R. Isto é por construción: teñen só as relacións que son necesarias para asegurarse de que un homomorfismo dos a R será bilinear.

Produto tensorial de espazos de Hilbert[editar | editar a fonte]

O produto tensorial de dous espazos de Hilbert é outro espazo de Hilbert, que se define segundo o descrito abaixo.

Definición[editar | editar a fonte]

Sexan H1 e H2 dous espazos de Hilbert cos produtos internos < ·, ·>1 e < ·, ·>2, respectivamente. Constrúese o produto tensorial de H1 e H2 como espazos vectoriais segundo o explicado arriba. Podemos converter este produto tensorial de espazos vectoriais nun con produto escalar definindo:

e estendendo por linearidade. Finalmente, tomamos completación deste produto interno. O resultado é o produto tensorial de H1 e H2 como espazos de Hilbert.

Propiedades[editar | editar a fonte]

Se H1 e H2 teñen bases ortonormaisk} e {ψl}, respectivamente, entón {φk⊗ψl} son unha base ortonormal para H1H2.

Exemplos e aplicacións[editar | editar a fonte]

Os exemplos seguintes mostran que os produtos tensoriais se presentan naturalmente.

Dados dous espazos de medida X e Y, con μ e ν as medidas respectivamente, un pode considerar L²(X × Y), o espazo das funcións en X × Y que son cadrado-integrables con respecto á medida produto μ × ν. Se f é unha función cadrado-integrable en X, e g é unha función cadrado-integrable en Y, entón podemos definir unha función h en X × Y por h(x, y) = f(x) g(y). A definición da medida produto asegúranos que todas as funcións desta forma son cadrado-integrables, así que esta define unha función bilinear de L²(X) × L²(Y) → L²(X × Y). As combinacións lineares das funcións da forma f(x) g(y) están tamén en L²(X × Y). Resulta que o conxunto de combinacións lineares é de feito denso en L²(X × Y), se L²(X) e L²(Y) son separables. Isto demostra que L²(X) ⊗ L²(Y) é isomorfo a L²(X × Y), e tamén explica porque necesitamos tomar a completación na construción do produto tensorial do espazo de Hilbert.

Semellantemente, podemos demostrar que L²(X; H), denotando o espazo das funcións cadrado-integrables de XH, é isomorfo ao L²(X) ⊗ H se este espazo é separable. O isomorfismo manda f(x) ⊗ψ ∈ L²(X)⊗ H a f(x)ψ ∈ L²(X; H). Podemos combinar isto co exemplo anterior e concluír que L²(X) ⊗ L²(Y) e L²(X × Y) son ambos isomorfos a L²(X; L²(Y)).

Os produtos tensoriais dos espazos de Hilbert preséntanse a miúdo na mecánica cuántica. Se unha certa partícula é descrita polo espazo de Hilbert H1, e se describe outra partícula por H2, entón o conxunto que consiste en ambas partículas é descrito polo produto tensorial de H1 e H2. Por exemplo, o espazo de estado dun oscilador harmónico cuántico é L²(R), así que o espazo de estado de dous osciladores é L²(R) ⊗ L²(R ), o cal é isomorfo a L²(R²). Polo tanto, o conxunto de dúas partículas é descrito polas funcións da onda da forma φ(x1, x2). Un exemplo máis intricado é proporcionado polos espazos de Fock, que describen un número variable de partículas.

Descrición intrínseca[editar | editar a fonte]

Na álxebra abstracta, a álxebra linear é elevada a álxebra multilinear introducindo o produto tensorial de dous espazos vectoriais. Introdúcese para reducir o estudo dos operadores bilineares ao dos operadores lineares. Isto é suficiente para facer o mesmo con todas as funcións multilineares.

Formalmente, o produto tensorial dos dous espazos vectoriais V e W sobre o mesmo corpo base F é definido pola seguinte propiedade universal: é un espazo vectorial T sobre F, xunto cun operador bilinear: , tales que para cada operador bilinear existe un operador linear L único: L: T → X con , i.e. para todo x en V e y en W.

O produto tensorial é único salvo isomorfismo, especificado univocamente por este requisito, e podemos polo tanto escribir en vez de T. Pola construción directa, segundo o suxerido na sección anterior, un pode demostrar que existe o produto tensorial para dous espazos vectoriais calquera. O espazo é xerado pola imaxe da e aínda máis: se S é unha base de V e T é unha base de W, entón os (tal que e ) son unha base para .

A dimensión do espazo polo tanto está dada polo produto das dimensións de V e de W. É posible xeneralizar a definición a un produto tensorial de calquera número de espazos. Por exemplo, a propiedade universal de é que cada operador tri-linear en corresponde a un operador linear único en .

O produto binario tensorial é asociativo: é naturalmente isomorfo a .

O produto tensorial dos tres pódese polo tanto identificar con calquera deses: o binario será suficiente. Os espazos tensoriais permiten que utilicemos a teoría de operadores lineares para estudar operadores multilineares, onde o caso bilinear é o principal.

Relación co espazo dual[editar | editar a fonte]

Nótese que o espazo (espazo dual de que contén todos os funcionais lineares nese espazo) corresponde naturalmente ao espacio de todos os funcionais bilineares nos . É dicir, cada funcional bilinear é un funcional no produto tensorial, e viceversa. Cando os espazos e son de dimensión finita, existe un isomorfismo natural entre e . Así pois, os tensores dos funcionais lineais son funcionais bilineares. Isto dános unha nova maneira de mirar o espazo de funcionais bilineares: como produto tensorial. No caso de dimensión arbitraria, tan só temos a inclusión .

Tipos de tensores, v.g. alternantes[editar | editar a fonte]

Os subespazos lineares de operadores bilineares (ou en xeral, operadores multilineares) determinan espazos cociente naturais do espazo tensorial, que son con frecuencia útiles. Vexa produto cuña para o primeiro exemplo principal. Outro sería o tratamento das formas alxébricas como tensores anti-simétricos.

Sobre aneis máis xerais[editar | editar a fonte]

É tamén posible xeneralizar a definición para os produtos tensoriais de módulos sobre o mesmo anel. Se o anel é non conmutativo, necesitaremos ter coidado en distinguir os módulos dereitos e os módulos esquerdos. Escribiremos RM para un módulo esquerdo, e MR para un módulo dereito. Se un módulo M ten unha estrutura esquerda de módulo sobre un anel R e unha estrutura de módulo dereito sobre un anel S, e ademais para cada m en M, r en R e s en S temos r(ms) = (rm)s, entón diremos que M é un bimódulo, e notarémolo RMS. Nótese que cada módulo esquerdo é un bimódulo con Z actuando por mn = m + m +... +m de m como o anel dereito, e viceversa.

Ao definir o produto tensorial, necesitamos ser coidadosos respecto ao anel: a maioría dos módulos pódense considerar como distintos módulos sobre diversos aneis ou sobre o mesmo anel con diversas accións do anel nos elementos do módulo. A forma máis xeral da definición de produto tensorial é como segue: Sexan MR e RN un módulo dereito e un módulo esquerdo, respectivamente. O seu produto tensorial R é un grupo abeliano P xunto cun operador R-bilineal T: M x NP tal que para cada operador R-bilinear B: M x NO hai un homomorfismo de grupos único L: PO tales que L ou T = B. P non necesita ser un módulo sobre R. Mais se S1MR é un S1-R-bimódulo, entón hai unha única estrutura de S1-módulo esquerdo en P que é compatible con T. Similarmente RMS2 é un R-S2-bimódulo, entón semellantemente hai unha única estrutura de S2-módulo dereito en P que é compatible con T. Se M e N son ambos bimódulos, entón P é tamén un bimódulo, outra vez dunha maneira única. (P, T) é único salvo un isomorfismo único, e chámaselle "produto tensorial" de M e N. Se R é un anel, RM é un R-módulo esquerdo, e o conmutador rs-sr de dous elementos calquera r e s de R está no anulador de M, entón pódese facer de M un módulo dereito de R fixando mr=rm. Obsérvese que nesta situación a acción de R en M factoriza por unha acción do anel comutativo R/Z(R), i.e. R módulo o seu centro. Neste caso o produto tensorial de M consigo mesmo sobre R é outra vez un R-módulo. Se M e N é ambos R-módulos que satisfán esta condición, entón o seu produto tensorial é outra vez un R-módulo. Isto é unha técnica moi común na álxebra comutativa.

Exemplo: Considere os números racionais Q e os enteros módulo n Zn. Ambos pódense considerar como módulos sobre os números enteiros, Z. Sexa B: Q x ZnM sexa un operador Z-bilinear. Entón B(q, i) = B(q/n, n*i) = B(q/p, 0) = 0, así que cada operador bilinear é identicamente cero. Polo tanto, se definimos P como o módulo trivial, e T como a función bilinear cero, entón as propiedades para o produto tensorial son satisfeitas. Polo tanto, o produto tensorial de Q e Zn é {0}.

Véxase tamén[editar | editar a fonte]

Outros artigos[editar | editar a fonte]

Ligazóns externas[editar | editar a fonte]