Módulo libre

En álxebra, un módulo libre é un módulo M que ten unha base B, é dicir, un subconxunto de M tal que cada elemento de M se escribe de forma única como unha combinación lineal (finita) de elementos de B.

Definicións

Unha base de M é unha parte B de M que cumpre as dúas seguintes condicións :

• xerador para M, é dicir que cada elemento de M é unha combinación lineal de elementos de B;
• libre, é dicir, que para todas as familias finitas (e_i)_1≤i≤n de elementos de B dous a dous distintos e (a_i)_1≤i≤n de elementos do anel subxacente tal que a₁e₁ +... + a_ne_n = 0, temos que : a₁ =... = a_n = 0.

Un módulo libre é un módulo que ten unha base.

Exemplos e contraexemplos

• Dado un anel A, o exemplo máis inmediato dun módulo libre de A é Aⁿ. Recíprocamente, calquera módulo A libre básico con n elementos é isomorfo a Aⁿ.
• Cada grupo abeliano admite unha estrutura única de ℤ-módulo.Os grupos abelianos libres son exactamente ℤ-módulos libres.
• A diferenza dos espazos vectoriais, casos particulares de módulos nun corpo, un módulo non sempre é libre. Por exemplo, os ℤ-módulos ℤ/2ℤ e ℚ non son libres. Por outra banda, calquera módulo é o cociente dun módulo libre.
• Un submódulo dun módulo libre xeralmente non é libre. Por exemplo, cada ideal (á esquerda) de A é un A-módulo (pola esquerda), mais só é libre se é xerado por un só elemento.
• O teorema para construír bases partindo dunha parte libre ou xeradora non é válido para módulos. Así, a parte non libre {2,3} xera ℤ como un ℤ-módulo (porque xera 1 por 3 - 2 = 1). Por outra banda, nin o singleton {2} nin o {3} xeran ℤ eles soiños. Do mesmo xeito a parte libre {2} non se pode completar nunha base de ℤ.

Propiedades xerais

• Se $(M_{i})_{i}$ é unha familia de módulos libres en A, entón a súa suma directa $\oplus _{i}M_{i}$ é libre en A.

Supoña que M e N son módulos libres en A.

• O seu produto tensorial M ⊗ N é libre.
• O conxunto Hom_A (M, N) de mapas lineais A, que ten unha estrutura de módulo A natural, é libre. En particular, o dual Hom_A (M, A) é libre.
• Se C é unha A-álxebra, entón $M\oplus _{A}C$ é libre en C.
• Nun anel principal, calquera submódulo dun módulo libre F é libre e de rango inferior ou igual ao de F .
• Calquera módulo libre é proxectivo e, en xeral, plano. Estas últimas propiedades son máis flexibles que ser módulo libre: por exemplo, se 0 → M → N → L → 0 é unha secuencia exacta de módulos con N e L libres, isto non implica en xeral que M sexa libre. Por outra banda, esta propiedade é certa para os módulos proxectivos e para os módulos planos.

Rango dun módulo libre nun anel conmutativo ou noetheriano

Unha cuestión natural é se, como para os espazos vectoriais, todas as bases dun módulo libre teñen a mesma cardinalidade. A resposta é negativa en xeral, pero afirmativa con condicións adicionais febles no anel subxacente. Por exemplo, é suficiente que o anel sexa conmutativo, ou noetheriano, para que o resultado se manteña; neste caso podemos falar da dimensión, tamén chamada rango, do módulo libre.

Supoñamos no que segue que A é conmutativo e non cero.

• O rango dunha suma directa súmase, dun produto tensor multiplícase e permanece inalterado por extensión dos escalares.
• Se P é un ideal máximo de A, entón M/PM é un espazo vectorial no corpo A/P, de dimensión igual ao rango de M.
• Se M → N é un mapa linear inxectivo entre dous módulos libres con N de rango finito, entón M é de rango finito e menor ou igual ao de N .
• Se M → N é un mapa linear surxectivo entre dous módulos libres, entón o rango de M é maior ou igual que o de N (de feito temos entón un mapa linear surxectivo de espazos vectoriais M/PM → N/PN).
• Se M → N é un mapa linear surxectivo entre módulos libres do mesmo rango finito, entón é un isomorfismo (o seu determinante é invertible).

As propiedades anteriores tamén se traducen do seguinte xeito: nun módulo libre de rango $\alpha$ (finito ou non), calquera parte xeradora ten unha cardinalidade maior ou igual a $\alpha$; nun módulo libre de rango finito n, calquera parte libre ten como máximo n elementos e calquera parte xeradora con n elementos é unha base.

• Calquera secuencia exacta curta 0 → M → N → L → 0 de módulos libres divídese (xa que L é proxectivo) e N é isomórfico a M ⊕ L, noutras palabras: o rango de N é a suma dos rangos de M e L. Isto pódese ver como a xeneralización do teorema de rangos, que se refire aos espazos vectoriais.

• Supoña que B é un anel conmutativo que contén A, e tamén un módulo libre de A para o produto, con base $\{b_{i}\}$. Se C é un módulo libre de B con base $\{c_{j}\}$, entón C é un módulo libre de A con base $\{b_{i}c_{j}\}$. En particular, o rango de C sobre A é o produto dos rangos de B sobre A e de C sobre B (finito ou infinito).

Véxase tamén

Bibliografía

• Adamson, Iain T. (1972). Elementary Rings and Modules. University Mathematical Texts. Oliver and Boyd. pp. 65–66. ISBN 0-05-002192-3. MR 0345993. 
• Keown, R. (1975). An Introduction to Group Representation Theory. Mathematics in science and engineering 116. Academic Press. ISBN 978-0-12-404250-6. MR 0387387. 
• Govorov, V. E. Free module (SpringerEOM). Free_module&oldid=13029. .
• Matsumura, Hideyuki (1986). Commutative ring theory. Cambridge Studies in Advanced Mathematics 8. Cambridge University Press. ISBN 0-521-36764-6. MR 0879273. Zbl 0603.13001.